精品解析：　陕西省西安市灞桥区西安滨河学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考 试题

2025—2026—1单元学情调查（二）八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 25的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 直线向左平移个单位长度，所得图象恰好过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 8. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______． 12. 比较大小：___________．（填“＞”“＜”或“＝”） 13. 西安滨河学校数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》讲题大赛综合成绩由解题思路、语言表达、板书呈现、时间把控四部分构成．其中解题思路占，语言表达占，板书呈现占，时间把控占．小王同学上述四项成绩依次为95分、90分、88分、92分，则他的综合成绩为______分． 14. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 三．解答题（共8小题，共72分，解答题应写出过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的； （3）在y轴上存在一点，使得的值最大，则点的坐标为 ． 19. 为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）． 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 7 6 b 9 6 乙组 7 a 7 7 7 （1）在以上成绩统计表中， ， ． （2）通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ （3）小瑜认为甲、乙两组学生成绩的平均数一样，推荐哪组队员参赛都可以．你认为他说得对吗？（写出一条合理理由即可） 20. 小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 21. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点B的坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点M，使．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 22. 西安滨河学校为奖励在数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》中获奖的同学，年级组委派张老师为获奖同学每人购买一件奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． （2）张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请问有哪几种购买方案？ （3）若该学科活动只奖励30名同学，每位同学只能得到一本笔记本或者一支钢笔，要求笔记本的数量不能超过15本，求张老师购买的总费用P（元）与笔记本数量a（本）之间的关系，并通过计算说明总费用至少是多少元． 23. 【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026—1单元学情调查（二）八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐一判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、属于无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意； 故选：． 2. 25的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，掌握“()的算术平方根为”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据平面直角坐标系中象限的定义，点的横纵坐标符号决定所在象限，横正纵负的点在第四象限，即可求解． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴点P在第四象限． 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理，通过计算各选项判断是否能得到直角. 【详解】对于A：∵ ，且 ，∴ ，∴ ，故能判定直角三角形； 对于B：设，∵ ，∴，故能判定直角三角形； 对于C：∵ ，∴ ，故能判定直角三角形； 对于D：设 ，∵，∴ ，∴ ，无角，故不能判定直角三角形. 故选D 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差与稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．根据方差越小越稳定求解作答即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，，，， 又， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B． 6. 直线向左平移个单位长度，所得图象恰好过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识， 直线向左平移a个单位，解析式变为，代入点求解a即可． 【详解】解：∵直线向左平移个单位长度， ∴平移后函数解析式为， 又∵平移后图象过点， ∴， 解得：． 故选：A． 7. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用加减消元法求参数，熟练掌握加减消元法是解题的关键．通过将两个方程相减，直接得到 的表达式，然后利用解出k． 【详解】解：∵ 方程组 由得：， 化简得：， 又∵， ∴ ， 解得． 故选：B． 8. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 9. 已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【详解】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 10. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ，， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ，， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标，， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______． 【答案】 -3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 12. 比较大小：___________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键；因此此题可根据二次根式的大小比较方法进行求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为＞． 13. 西安滨河学校数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》讲题大赛综合成绩由解题思路、语言表达、板书呈现、时间把控四部分构成．其中解题思路占，语言表达占，板书呈现占，时间把控占．小王同学上述四项成绩依次为95分、90分、88分、92分，则他的综合成绩为______分． 【答案】 91.8 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，将各项成绩乘以其对应的权重后求和即可 【详解】解题思路：；语言表达：；板书呈现：；时间把控：； 综合成绩：． 故答案为91.8 14. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作轴于点H，先证，设点C坐标为，得到，，得到点B坐标为，则点B始终在直线上，过直线作点O的对称点，连接，根据三角形三边关系可知，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握一线三等角和将军饮马的数学模型是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分，解答题应写出过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）将方程①代入方程②消去x，求出，把代入①可求出，从而可求出方程组的解； （2）将方程②整理为③，可求出，再把代入③可求出，从而可求出方程组的解． 【小问1详解】 解： ①代入②得：， 解得， 把代入①可得， 所以，方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由②得③， 得， 解得， 把代入③得：， 解得， 所以，方程组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的； （3）在y轴上存在一点，使得的值最大，则点的坐标为 ． 【答案】（1）， （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（）根据图形写成坐标即可； （）根据轴对称的性质画图即可； （）由三角形的三边关系可得当点共线且点在轴上时，的值最大，再利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴当点共线且点在轴上时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 故答案为：． 19. 为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）． 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 7 6 b 9 6 乙组 7 a 7 7 7 （1）在以上成绩统计表中， ， ． （2）通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ （3）小瑜认为甲、乙两组学生成绩的平均数一样，推荐哪组队员参赛都可以．你认为他说得对吗？（写出一条合理理由即可） 【答案】（1）6，6 （2）乙组队员发挥更加稳定 （3）小瑜的说法不对，理由：因为仅凭平均数相同就认为推荐哪组都可以，理由不充分，还需要结合方差、中位数等其他数据进行综合评判，从不同角度分析，可以得到不同结论． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据四分位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义即可得出答案； （3）将两组成绩的平均数、中位数、众数进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：把乙组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10，则， 把甲组数据从小到大排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，排在中间的两个数分别是6，6，故中位数； 故答案为：6，6； 【小问2详解】 解：甲组数据的方差为：； 乙组数据的方差为：， 因为，即乙组的方差比甲小， 所以乙组队员发挥的更加稳定； 【小问3详解】 略 20. 小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】（1）， 理由：已知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． （2）小亮跑的路线更短 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 21. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点B的坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点M，使．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． （1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积； （3）先求出，当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由直线可知：令，则， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴点到轴的距离是4， ∵， 的面积； 【小问3详解】 解：存在； ， ， 当点在线段上时， ， ∴， 解得， ∴（舍正）， ∴； 当点在线段延长线上时， ， ∴， 解得， ∴（舍正）， ∴； 综上所述：的坐标为或． 22. 西安滨河学校为奖励在数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》中获奖的同学，年级组委派张老师为获奖同学每人购买一件奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． （2）张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请问有哪几种购买方案？ （3）若该学科活动只奖励30名同学，每位同学只能得到一本笔记本或者一支钢笔，要求笔记本的数量不能超过15本，求张老师购买的总费用P（元）与笔记本数量a（本）之间的关系，并通过计算说明总费用至少是多少元． 【答案】（1）每本笔记本18元，每支钢笔20元 （2）购买方案有：①笔记本30本、钢笔9支；②笔记本20本、钢笔18支；③笔记本10本、钢笔27支 （3），总费用至少是570元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出P关于a的函数关系式． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总价=单价×数量，可找出P关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据题意得： ， 解得：． 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； 【小问2详解】 解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 即， ∵， ∴P随a的增大而减小， 又∵， ∴当时，P取得最小值，最小值为（元）． 答：总费用至少是570元． 23. 【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【答案】（），；（）存在，；（）， 【解析】 【分析】（）根据三角形中线的性质、等腰三角形的性质及勾股定理解答即可求解； （）过点作交直线于点，取的中点，连接，作，可证，得，，即得，又根据梯形中位线的性质得，，即得到四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同，得到，再证明，得到，进而可得，即得，根据得，即得到，得到，最后根据线段的和差关系解答即可求解； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，由平行线的性质可得，即得，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵点是边的中点， ∴， ∴， 对于图，当点是的中点时，有， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （）存在，理由如下： 如图，过点作交直线于点，取的中点，连接，作， ∵， ∴，，四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即所在直线将四边形的面积分成相等的两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $