精品解析：河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

邢台市2025—2026学年高二（上）第三次月考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占55%，选择性必修第二册第四章占45%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程转化为抛物线的标准形式，再确定参数P的值，最后代入计算出焦点坐标即可. 【详解】因为，所以， 因为，解得 ， 又因为抛物线开口向上，对称轴为y轴，所以焦点坐标为 ， 代入 ，得 ，因此焦点坐标为 . 故选：B. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】从中解出，由分别求出，，，得到是以3为周期的周期数列，则从而得解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，，， 所以是以3为周期的周期数列，则. 故选：A. 6. 在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 7. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列性质得，且， ，所以. 故选：C. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得点的轨迹，根据将问题转化为求的最小值，再根据几何关系点在线段上时有最小值，最后联立方程求解点的坐标即可 . 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线平分圆：的周长，且直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆方程可得圆心坐标，由题意可得直线过圆心，根据截距的概念，分过原点与不过原点两种情况，结合截距式，可得答案. 【详解】由题意可得直线过圆的圆心. 当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距都是0，符合题意， 此时直线的方程为，即. 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则，解得， 故直线的方程为，即. 故选：AC. 10. 设数列的前项和为，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得，进而得到是首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式求得，进而根据列方程求解即可. 【详解】由，令，得， 则是首项为2，公比为2的等比数列， 故， 因为，所以，则，. 故选：BD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上的点，G是的内心，记，，的面积分别为，，，且，，则（ ） A. B. C. 的最大值是7 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用内切圆半径表示出三角形面积，结合双曲线的定义和已知可判断A；根据双曲线定义和切线定理得，结合求解可判断B；利用双曲线定义转化为求的最大值，结合图形可判断C；利用角平分线定理，结合双曲线定义可判断D. 【详解】设内切圆的半径为r，则， 所以， 又，所以，故，A正确． 作，垂足为H，则． 由双曲线的定义及切线长定理可得． 又，解得，， 所以，B错误． 因为，所以． 因为，所以，C正确． 延长PG交于点M． 因为，所以． 由角平分线定理可得，所以， 所以，解得，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆：的离心率是，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据离心率公式建立方程求解即可. 【详解】由题意可得，，且，则， 因为椭圆的离心率为，所以，解得. 故答案为：7. 13. 在数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得，则是以500为首项，1.1为公比的等比数列，再求即可． 【详解】由，得， 因为， 所以是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 14. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到，即，代入直线l的方程求出直线过定点， 求出圆心到直线的距离的取值范围，再利用弦长公式求出的取值范围. 【详解】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以， 所以，则直线l的方程为，即， 故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点， 所以的取值范围是，即，弦长是的减函数， 故的最小值为当时取得，即， 的最大值为当时取得，即， 故的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明： 因为，所以. 因为，所以， 是以3为首项，2为公差的等差数列， 则， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）由得到.从而得到是以3为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，进而得到. （2）利用分组求和法求解，利用等差数列和等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 证明略，通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，则 . 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为，则，再结合，得到，联立求出，得到圆心，再求半径即可； （2）由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可． 【小问1详解】 解：设圆心的坐标为，则， 因为，是圆上的两点，所以， 所以，即， 由得即， 则圆的半径， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以， 所以四边形的面积，解得. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面平面ABC． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为，所以． 因为，，所以， 则，所以． 因为，平面ABC，平面ABC，且，所以平面ABC． 因为平面，所以平面平面ABC． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面ABC，进行求解； （2）以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可知，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为， 则,令，得． 设平面的法向量为， 则,令，得． 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点. （Ⅰ）若直线过点，且，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）长轴长为4，即 ，将代入椭圆方程即可求解． （2）（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求出中点，求出直线的方程，再将直线方程与椭圆方程联立，表示出的长即可求的值. （Ⅱ）设直线,的方程与椭圆方程联立，化简即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得：，， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （Ⅰ） 直线：过点， 解得：，即， 由得， 则. 设，，则， 所以，， 即点的坐标为，则直线的方程为. 由，得：， 则. 因为， 所以，解得，（舍去）. （Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，，. 由,得，则. 因为， 所以，则直线的方程为， 同理可得，则. 故. 当直线，中一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 此时, 综上，. 19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. （1）证明：是等比数列； （2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； （3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 【答案】（1）证明： 证法一：由，则， 则， 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 证法二：由，得，即， 则，， 则，即，， 显然满足上式，则， 所以， 因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2） （3） 证明：， 因为是“混双等比数列”，所以，且. 设，则. 因为，所以当时，是递增数列，； 当时，是递减数列，. 故当时，. 【解析】 【分析】（1）证法一：根据题设推导可得，进而求证即可； 证法二：根据题设可得，利用累加法求得，再求出即可求证； （2）解法一：由（1）中证法一可得，再利用分组求和法求解即可； 解法二：由（1）中证法二可得，再根据分组求和法求解即可； （3）根据分组求和先求得，结合混双等比数列的定义可得，且，设，可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由（1）证法一可得， 又因为， 所以，即， 则， 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 解法二：由（1）证法二可得， 所以， 即. 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市2025—2026学年高二（上）第三次月考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占55%，选择性必修第二册第四章占45%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线平分圆：的周长，且直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上的点，G是的内心，记，，的面积分别为，，，且，，则（ ） A. B. C. 的最大值是7 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆：的离心率是，则______. 13. 在数列中，，，则______. 14. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）求的前项和. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面平面ABC． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点. （Ⅰ）若直线过点，且，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. （1）证明：是等比数列； （2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； （3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $