假期作业十三 平面向量初步-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（人教B版）

飞密快乐假期 3.C[因为P(C)=0.6,事件B与C对立，所以P(B)=0.4.又 P(A)=0.3,事件A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.3十0.4=0.7，故选C. 4.D[由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确；又因为从100 件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(A)=0=方' 2 P(B)=10P(C)=0 P(AUB)= ≠P(C,故A,B 正确，D错误.故选D.」 5.BCD[对于A,画树形图如下： 甲 石头 剪刀 布 乙石头剪刀布石头剪刀布 石头剪刀布 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结 果出现的可能性相等， P(甲获胜)=号，P(乙获胜)=弓，故玩一局甲不输的概率 是号，故A储误；对于B,不起过14的素数有2,357,11， 13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与 7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与 11,5与13,7与11,7与13,11与13，共15种结果，其中和 等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机 选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；对 于C,抛掷一个骰子1次的点数有1,2,3,4,5,6，事件A= 2 “向上的点数是1,2”，则事件A发生的概率：P(A)= 3,事件B=“向上的点数是1,3”，则事件B发生的概率： 号=子，A,B同时发生的概率为：P(AB)=日≠ P(B)=2=1, P(A)·P(B),由独立事件的关系可知，故C正确；对于D, 记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所 有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种，其中 两件都是正品的有A1A2,A1A,A2A3,共3种，则所求概率 为P==合，故D正确，故选BCD.] 6.BCD[排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互 斥，而BC、D中，甲、乙站位情况均可以同时发生，因此它们 都不互斥.故选BCD.」 7.6 8.解析：已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为 1 ,兰和生，且三人是否考135分以上相互独立， 三人中两人数学考135分以上的概率为：7义三。 (-)+合×(-号)×告+-)×号×号品 三人数学都考135分以上的概率为：2×号×专是， 所以甲、乙、丙三人在高考中至少有两人数学能考135分以 上的概率为品+酷一贵 411 11 答案：5 9.0.50.8 10.解析：摸到黑球的概率为1一0.42一0.28=0.3.设黑球有n 个，则，2_03，故m=15. 21n 答案：15 11.解：(1)设A=“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1,2,3,4,5表 示第一关的5道灯谜，其中1,2,3,4表示甲猜对的4道， 则样本空间为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)》, 所以n(2)=10,n(A)=6,根据古典概型的计算公式， 得P(A)=n(A)_3 n(2)-5· (2)设B=“任选一道灯谜，甲猜对”，C=“任选一道灯谜，乙 精对”，D=“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据 题唐可得PB号PE)分PO品PO 因为D=BCUBC,且BC,BC互斥，又甲、乙两位选手独立 ·5 0M= 参加竞猜，所以B,C相互独立，从而B,C,B,C也相互独立. 所以P(D)=P(BCUBC)=P(BC)+P(BC)=P(B)X PC+PB)XPO)=8×8+号×0-0 即甲，乙两人拾有一个人精对的概率为易 12.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件 “略付会颜为400元”，以频率估计概率得P(A)=150 -0.15,PB)-10-0.12 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的 情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已 知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而 赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120= 24(辆)，所以样本车辆中是新司机的车主获赔金额为4000 元的频率为总=0,24，由频率估计概率得P(C)=0:24 高考冲浪 1.解析：由题可知，A题库占比为品，B题库占比为弓C题库 占地为，P=是×0.92+号×0.86+}×0.72=号 答案：品 2.解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段 至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， .比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)= 0.686. (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成 绩为15分的概率为P。=[1一(1一p)3]q 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分 的概率为Pz=[1一(1一q)3]·p ∴P甲-P,=q3-(q-pg)3-p3+(p-q)3 =(q-)(g+q+p2)+(p-q)·[(p-pg)2+(q-q)2 +(p-q)(q-q)] =(p-q)(3p2q-3p2q-3pg) =39(p-q)(pg-p-q)=3pq(p-q)[(1-)(1-q)-1]>0 Pp>P,应该由甲参加第一阶段比赛. (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取 值为0,5,10,15， P(X=0)=(1-)3+[1-(1一)3]·(1-g) P(X=5)=[1-(1-)3]Cgq·(1-q)2 P(X=10)=[1-(1-)3]·C%g2(1-q) P(X=15)=[1-(1-)3]·g .E(X)=15[1-(1-p)3]g=15(p3-3p2+3p)·g 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩y的所有可能取值为 0,5,10,15 同理E(Y)=15(q-3q2+3q)·p .E(X)-E(Y)=15[9(p+q)(p-q)-3q(p-q)] =15(p-q)pg(p+q-3)>0 ·应该由甲参加第一阶段比赛 假期作业十三 技能提升台 技能提升 1.A2.A 3.D[已知在△ABC中，D为三角形所在 平面内-点，且AD=号A店+名AC,点 D在AB边的中位线上，所以△D= S△ABC -分] 4.B[如图，因为CB=CA十AB,BD= 2DA,所以AD=AC+CD=n-m, AB=3 AD,CB=CA+3AD=m+ 3(n-m)=3n-2m,故选B.] B 三0022 5.ABD[由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数个相 等的向量，故C错误.故选ABD.] 6.ABC[(1)当平行四边形为口ABCD时，设，点D的坐标为 (x,y),所以(4,6)-(3,7)=（1，-2)-(x,y), {2-1,所以{0.所以D0,-1D 所以1x=1 0y=-1. (2)当平行四边形为□ABDC时，仿(1)可得D(2,一3)； (3)当平行四边形为□ADBC时，仿(1)可得D(6,15). 综上可知点D可能为(0，一1)，(2，一3)或(6,15).故 选ABC.] 7.48.35km/h259.510.4 11.解：(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与DA平行的 向量有AD,BC,CB. (2)由菱形的性质及∠DAB=60°可知，与DA模相等的向量 AD,BC,CB,AB,BA,DC,CD,BD,DB. 12.解：(1)因为OM=AOB+(1-λ)OA, 所以OM=1OB+OA-λOA, OM-OA=OB-0A, 即AM=λAB. 又λ∈R,A≠1，A≠0且AM,AB有公共点A, 所以A,B,M三点共线， (2)由(1)知AM=AAB,若点B在线段AM上， 则AM,AB同向且AM>AB(如图所示)，所以>1. A B M 高考冲浪 1.D先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可以用向量 OA,OB表示出2CA十AB,即可解出 图为|OA=|OB|=√2，AB|=2, 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0,所以(OA,OB) 2CA+AB=2(0A-0C)+OB-0A=0A+0B-20元， 10C1=√32+42=5， 所以，2CA+AB12=OA+OB+4OC-4(OA+OB)· 0C=2+2+4×25-4(OA+0B)·0C=104-4(0A+0B) ·OC,又|(OA+OB)·OC1≤|OA+OB|IOC=5×√2+2 =10,即-10≤(OA十OB)·0C≤10， 所以|2CA+AB|∈[64,144]，即|2CA+AB1∈[8,12]. 2.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),又a⊥ (a-b) 所以a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,解得x=1 所以|a=√+1平=√2 答案：√2 假期作业十四 1.D[由B={xx2-4x+3=0}=(1,3},AUB={-1,1,2, 3},所以Cu(AUB)={-2,0},故选D.] 2.C[对于A,y=x2为二次函数，其图象的对称轴为y轴，在 其定义域内是偶函数，但在（一∞，0)上单调递减，不符合 题意； 对于B,y=2=?≥0，在其定义战内是偶函数，但在 {2r,x<0, (一∞，0)上单调递减，不符合题意； 1 对于C,f)=g7=1og1z=,0, {-log2(-x),x<0, 在其定义域内是偶函数，又在（一∞，0）上单调递增，符合题意； 对于Dy=(仁，.在买定又该内是专西数，不特 合题意.故选C.] ·5 版高一数学垫 3.C[根据题中频率分布表可知，频率最大的分组为[30， 50),众数为40.设中位数为x,则0.1十00×0.6= 0.5,解得x=43弓即中位教为43号故选C] 4.D[A中，不妨取x=1,y=-2,x=-3,此时|1X(-2)|< 1(-2)×(-3,所以A是假命题；B中，若<名<0，则 b<a<0,则b2>ab,所以B是假命题；C中，不防取a=-1,b= -2,c=-3,d=-4,则-1×(-3)<-2×(-4)，所以C是假 命题；D中，若ax>ay,则a2(x-y)>0,则x-y>0,即x>y, 所以D是真命题.故选D.] 5.A[如图，连接AE,由于F为BE中 B 点，故AF=(AB+ABD)= 合A店+合(Ad+号A)-是A正+ 名Ai=mA店+nAd, 所以m=是n=是] 6.D[由题意可得，函数f(x)在[2，十∞)上为增函数，故有 a>0, 2,解得≥.] 2a 7.C[容器是球形，在一开始，单位时间内高度的增长速度越 来越慢，超过球心后高度的增长速度越来越快，观察各图象 可得对应的图象是C.] &.B[fx)=(1+2)81ogGx= 1+2 ,x>2, (logrx,0<x≤2， 作出函数f(x)的图象如图， 0234567x -1/ 函数g(x)=f(x)一恰有两个零点可转化为函数f(x)的 图象与直线y=k有两个不同的交点，故1<k<2.故选B.] 9.ABC[如图，由Venn图可知，A、B、C都是B二A的充要条 件.故选ABC.] U A 10.BD[对于A选项，构造暴函数y =x0(x>0),因为x>0,所以暴 函数在(0，十∞)上单调递增.因为 >g所以(2)广>（合）广 恒成立，故A是假命题； 对于B选项，如图所示，函数y= logx的图象为虚线部分，函数y =l6gx的图象为实线部分，显 然3xo∈(0,1)， 使得logx>log号x,故B是真命题； 对于C选项，Vx(0,十∞)，0<（侵） <1恒成立，而当 =时，log号=2，所以（侵）广>1ogr不恒成立，C 是假命题；对于D选项，Vx∈(0，子)由指数画数y (合)广的图象（圈略）知，函数值恒小于1，由对数函数) 1gx的园象（国略）知，函数值恒大于1，所以（合）广< logx恒成立，故D是真命题.故逃BD.]三-0022. 假期作业十三 平面 《思维整合室 wei zheng he shi 知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫向量； 向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向 是任意的 (3)单位向量：长度等于 的向量 (4)平行向量：方向相同或 的非零向 量，又叫共线向量，规定：0与任一向量 共线 (5)相等向量：长度相等且 相同的 向量 (6)相反向量：长度相等且 相反的 向量 2.向量的线性运算 向量 法则（或 定义 运算律 运算 几何意义) (1)交换 atb 6 律：a+b 求两个向 =b+a. 加法 量和的 法则 (2)结合 运算 b 律：(a+ a+b b)十c=a 法则 +(b+c) 求a与b 的相反向 量一b的 b a-b a-b=a 减法 和的运算 Q +(-b) 叫做a与 法则 b的差 3 有志者事竟成。 向量初步 完成日期： 月 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数入与向量a的积是一个向量，这 种运算叫向量的数乘，记作λa,它的长度 与方向规定如下： ①|λa=λ||al; ②当λ>0时，a与a的方向 ；当 λ<0时，λa与a的方向 ;当λ=0 时，a=0. (2)运算律：设入，4是两个实数，则 ①λ（μa)=(u)a;②（λ十）a=a十ua; ③λ(a+b)=λa+b. 4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数λ，使得b=a. 5.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向 量，那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数入1，入2，使a=入1e1十入22，其 中不共线的向量e1,e2叫表示这一平面内所 有向量的一组基底. 6.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1y),b=(x2,y2),则a十b= a-b= ,a= ,a =√十. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 即为向量的坐标 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= 1AB=√(x2-x1)2+(y2-y1) 7.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0，当 且仅当 时，向量a,b共线： 火燮快乐假期 自测自查 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位 (4)相反(5)方向(6)方向2.三角形 平行四边形三角形3.(1)②相同相反 5.不共线6.(1)(x1+x2y十y2) (x1一x2y一y2）(λx1,入y1)（2)②(x2-x1, %-h）7.x1y2-x2y1=0 要点记忆 1.共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否 则入可能不存在，也可能有无数个 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线；另外，利用向量平行证明向量所 在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 2.基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一 组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向 量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表 示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的、 《技能提升台 JI neng ti sheng tai 技能提升 1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0，一1， 则AB的坐标是 ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.在四边形ABCD中，AB∥CD,|AB|≠|CD, 则四边形ABCD是 A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 3.在△ABC中，D为三角形所在平面内一点， 且AD=专AB+名AC,则m等于() D△ABC A号 B C. D.2 ·4 00M- 4.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点D 在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n, 则CB= ( A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 5.(多选)给出下面的几种说法正确的是() A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点，该点为 终点的向量一一对应 6.(多选)已知平面上三个点坐标为A(3,7), B(4,6),C(1,一2)，若点D使这四个点成为 构成平行四边形的四个顶点，则点D的坐 标可以是 A.(0,-1) B.(2,-3) C.(6,15) D.(2,3) 7.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1). 若A,C,D三点共线，则k= 8.船在静水中的速度为6km/h,水流速度为 3km/h,当船以最短时间到达对岸时，船的实 际速度的大小为 ,船的实际速度方向 与水流速度方向的夹角的正弦值为 9.在△ABC中，AB=|BC=|CA|=1,则 AB-BCI= 10.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所 示，若c=a十h(入，μ∈R),则的值为 三0022 11.如图所示，菱形ABCD中， 对角线AC,BD相交于O A 点，∠DAB=60°，分别以 R A,B,C,D,O中的不同两点为始点与终点 的向量中 (1)写出与DA平行的向量； (2)写出与DA模相等的向量. 展高一数学空) 12.已知O,A,M,B为平面上四点，且OM= λOB+(1-λ)OA(入∈R,λ≠1，λ≠0). (1)求证：A,B,M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值 范围。 高考冲浪 1.（2025·北京卷，10)已知平面直角坐标系 xOy中，OA=|OB=√2，|AB|=2,若C (3,4),则|2CA十AB的取值范围是() A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a= (x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a ∥