假期作业十 函数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（人教B版）

快乐假期 假期作业十 函数的 〈《《思维整合室 wei zheng he shi 知识梳理 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立 的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图象与 零点的关系 △>0 △=0 △<0 二次函数 y y=ax2+ bx+c(a> O1=x2元 0)的图象 与x轴的 (x1,0) 无交点 交点 零点个数 两个 一个 零个 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 ,使区间 的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法， 4.应用函数模型解决问题的基本过程 收集数据 检验 符合实际 用函数模型解决实际问题 2 000-= 应用（二） 锲而不舍，金石可镂。 完成日期： 日 自测自查 1.f(x)=0 2.(x1,0),(x2,0) 3.f(a)·f(b)<0一分为二零点 4.画出散点图选择函数模型求出函数模型 要点记忆 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的 实数根就有几个零点 (2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴 的交点个数，从而判定零点的个数 (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0,可判定 y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题， 例如，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个 数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数， 也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的 图象交点的个数 《技能提升台 neng ti sheng ta司 技能提升 1.实数a,b,c是图象连续不断的函数y= f(x)定义域中的三个数，有满足a<b<c, f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数y =f(x)在区间(a,c)上的零点有() A.2个 B.奇数个 C.1个 D.至少2个 2.函数f(x)=x3一4x的零点为 () A.(0,0),(2,0) B.（-2,0),(0,0),(2,0) C.-2,0,2 D.0,2 三0022 3.函数f()=工-1山的图象为 ( 4.设x。是函数f(x)=lnx十x一4的零点，则 x。所在的区间为 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.(多选)当生物死亡后，其体内原有的碳14 的含量大约每经过5730年衰减为原来的一 半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内 的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一 般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物 体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则 它经过的“半衰期”个数可能是 () A.8 B.9 C.10 D.11 6.(多选)某同学求函数f(x)=lnx十2x-6的零 点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066 则方程lnx+2x一6=0的近似解（精确度 0.01)可取为 A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75 7.若一次函数f(x)=x十b的零点是2，那么 函数g(x)=bx2+x的零点是 ·27 富一数类恐少 8.从上海到旧金山的海底电缆有15个接点， 现发现某处接点发生故障，需及时修理，为 了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检 查接点的个数是 9.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系 为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有 100只，到第8年它们发展到 只. 10.已知某种药物在血液中以每小时20%的 比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 2500mg,设经过x个小时后，药物在病人 血液中的量为ymg. (1)y与x的关系式为 (2)当该药物在病人血液中的量保持在 1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg 时，病人就有危险.则要使病人没有危险， 再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到0.1）. (参考数据：0.2°.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.82≈ 0.2,0.89.9≈0.1) 11.已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2)=3. (1)求f(x)的解析式； (2)判断函数g(x)=一1+1gf2(x)在区间 [0,9]上零点的个数， 火曼快乐假阴 12.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术， 我国在航天领域取得了巨大成就.2025年 4月24日，神舟二十号载人飞船搭载航天 员飞往中国空间站，与神舟十九号航天员 “会师”太空.据了解，在不考虑空气阻力和 地球引力的理想状态下，可用公式= ,lnM计算火箭的最大速度v(m/s),其中 m v(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭 (除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与 火箭质量的总和，州称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为500(m/s) (1)当总质比为200时，利用给出的参考数 据求A型火箭的最大速度； ·2 S0M-= (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭 的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总 质比变为原来的？，若要使火箭的最大速 度至少增加500(m/s),求在材料更新和技 术改进前总质比的最小整数值， (参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6,2.718< e<2.719) 高考冲浪 1.(2024·北京卷，10)已知M={(x,y)|y=x +t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角 坐标系中的点集.设d是M中两点间的距 离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 () A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=/10,S<1 D.d=/10,S>1 2.（多选)(2023·新课标I卷，10)噪声污染问 题越来越受到重视.用声压级来度量声音的 强弱，定义声压级L,=20×1g卫，其中常数 （>0)是听觉下限阈值，p是实际声压. 下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, 3,则 () A.1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100po D.p1≤100p2飞快乐假 1.解：(1)f)=1+22:2-1≠0,5x≠0， 函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}. (2)证明：任意设x1,x2∈（-∞，0)，且1<x2 2 2 2(22-21) fz)-fx)=24-12-1(21-1)(2-1D x1,x2∈(-∞，0)且x1<x2, .22>25且251<1,22<1. .f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). .函数f(x)在（一∞，0）上为减函数. 12.解：(1)证明：设x1,x2是R上任意两个实数，且x2>x1,则 4-西>0，f(x)-f(x1)=20-}-2-1 22+121+1 2(22-21) (25+1)(22+1)’ x2>x1,.2*2>21,.2*-21>0. 又(25+1)(22+1)>0，∴.f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)是R上的增函数. 2f)-22=1-24 2 2+1 2+1>10242,即-240， -1长1-2子<1f)的值装为(-1D. (3)g(x)为偶函数. x2+1 由题意知g(x)=f-2-·x, 易知函数g(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)， g-)-(-岩-(-甚荟-… 20-1 2x-1 =g(x), .函数g(x)为偶函数 高考冲浪 1.B[1og,十业-1og22522≥1ogV2·29 2 2 =10g,2当=西十，：z1≠4等号取不到， 2 即10g当十业>十.] 2 2 2.D[由y=1.01在R上递增，则a=1.015<b=1.01.6, 由y=x.5在(0，十o∞)上递增，则a=1.01.5>c=0.65.所 以b>a>c.故选D.] 假期作业九 技能提升台技能提升 1.B2.B 3.D[由题中图可知，直线y=1与x轴上半部分图象交点的横 坐标从小到大依次为c,d,a,b,由此可知0<c<d1<ab.] 4.D[:log20.3<log21=0,.a<0, 1og10.4=-1oga0.4=log:号>1og:2=1,b>1, 0<0.4°.3<0.4°=1，.0<c<1, a<c<b.故选D.] 5.BCD 6.ABD[由于1og,2=03故问题等价于满足f()= f()的画数.对于A遮项f(仕)=2+2≠f,符 合题意：时于B选项（仕）十是≠），持合题意：时 于C选项，f(x)=x十 1 :对于D选项()+1号 =1二工≠f(x),符合题意， 故选A、B、D.] 7.38.号0.(-5，-2)U(2510.31 ·5 E 1.解：(1①)由1og。号>1得1og合>log0. ①当>1时，有a<分，北时uE⑦： ②当0<a<1时，有 <a,从而2<a<1. 2 心0的取值范国是（合1 (2):函数y=log.7x在(0，十∞)上为减函数， .由logo.72x<1ogo.7（x-1) 12x0, 得x一1>0，解得x>1. 2x>x-1, 12.解：(1)要使此函数有意义，则有x十10或十1二0：解 x-1>0 x-1<0, 得x>1或x<-1,此函数的定义域为（一∞，一1）U(1,十∞). (2)-)=lgg号-lg告-f '.f(x)为奇函数. f)=16g号og(1+是)：数-1计名在区 x-1 间(-∞，-1)和区间(1，十∞)上单调递减.所以当a>1 时，)=lbg要号在(-，一D和区同1，+o)上单洞 递减：当0a<1时，)=lb6g号在(-0，-1D和区间1， 十∞)上单调递增， 高考冲浪 1.C[当x<-a时x十a<0,当x>-a时x十a>0,当x<1 -b时ln(x+b)<0, 当x>1一b时ln(x十b)>0,所以要f(x)恒非负，必须一a 1-b,即b-a=1, 所以。十-a-b》'士a+b≥2， 2 当a=一合，6=号时取等.】 1 2.C[将log3=b转化为指数，得到8=3.再结合指数的运 第性质，=(2=2-3，因光2”-三-号，所以4 -百，故本题选C] 假期作业十 技能提升台技能提升 1.D2.C 3.D[函数f()=1t山的定义战为(zx≠0， 且f-x=1-2-1山=-lx-1山=-f(, 函数f(x)为奇函数，A选项错误； 又当z<0时，)=工1山≤0，C逃项错误； 当>1时，f()=x1山=1=-上函教单调递 D 增，故B选项错误.故选D.] 4.C[.f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=1n3-1>lne 一1=0，由零点定理得f(2)·f(3)<0.x所在的区间为 (2,3).故选C.」 5.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“率泉期后的含量为（合）广，由（侵）广<d得n≥10， 1 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不 到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 6.AB[由表格可知方程lnx十2x一6=0的近似根在 (2.5,2.5625)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56 也符合，故选A、B.] 7.0,号8.39.20010.(1)y=2500×0.8(2)7.2 11.解：(1)设f(x)=ax十b(a≠0)，由已知条件得 {8中。，解得a=61,所以)=x+1xeR。 (2)因为g(x)=-1+lgf2(x)=-1+1g(x+1)2在区间 [0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+lg102 =1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个. 三0022 12.解：(1)由已知可得v=500ln200=500(ln2+ln100)= 500[1n2+2(ln2+ln5)]=500(3ln2+2ln5)≈2650m/s. (2)设在材料更新和技术改进前总质比为x,且，=lnx =500lnx,2=1000ln2, 若要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 所以%-4=1001n号-5001hx≥500， 即2ln-lhz≥1，ln(）-lnx=n7>≥1， 所以无≥e,解得x≥4e, 因为2.718<e<2.719,所以10.872<4e<10.876, 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11。 高考冲浪 1.C[1≤x≤2，x2-x∈[0,2]，.y= x十(x2-x)t,0≤t≤1可看作关于t的一 次函数，则y关于t单调递增或y是关于t 的常数函数 又y=tz2+(1-t)x,1≤x≤2，.函数y 2 =tx2十(1一t)x图象的对称轴为直线x= 合-≤0y关于x的画数在[12]上 1 0 12x 单调递增，又t,x均为非负数. 当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两点间的距 离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4)间的距 离最大，得d=√10. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去小 正方形及两个梯形的面积，可得S<1.门 2.AcD[L-h,=20×1g会-20x1g0=20X1g≥0， “≥1，p≥，所以A正确， P2 山-山=20x0>10s会>分小会>10， 所以B错误；：L,=20×1g=40, Po .=100,所以C正确；：L1-L2=20Xlg≤90-50= 40,∴lg8≤2，≤100，所以D正确.故选ACD.] P2 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.B2.C 3.A[从平均成绩看，甲、乙均可入选，再从方差来看，甲的方 差小于乙的方差，甲更稳定，故最佳人选是甲.] 4.D[①月均花费超过80元的有200+100+80+50+25十 25十15十5=500人，小明乘坐地铁的月均花费是75元， .所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过 小明，故①正确； ②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 60~120之间，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 60~120,②正确； ③".1000×20%=200，而80+50+25+25+15+5=200， .乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，③ 正确. 5.ABD[由题中图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日 票房平均数，A正确； 由题中图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满 江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B 正确； 《满红江》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C 错误； 因为7×0.25=1.75，《满江红》日票房的第25百分位数是 从小到大排序第2个数， 因为7×0.75=5.25，《流浪地球2》日票房的第75百分位数 是从小到大排序第6个数， 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房 的第75百分位数，所以D正确.故选ABD.] ·5 高一数) 6.ACD[由频率分布直方图可得10×(0.005+0.010十 0.015十x+0.040)=1,故x=0.030,故A错误； 由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：10× (55×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95× 0.040)=84>80,故B正确； 前4组的频率为10×(0.005十0.010+0.015+0.030)=0.6， 故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于80，故C错误； 区间[60,70)对应的频率为10×0.01=0.1，故对应的人数 为200×0.1=20，故D错误.故选ACD. 7.158.东校区9.9.69.610.0.0303 11.解：(1)由(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+a)×10 =1,得a=0.030， 因为0.010×10×200=20（人）， 0.015×10×200=30(人). 20 所以5人中成绩不高于50分的人数5×20十30=2（人）. (2)平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+ 85×0.25+95×0.05=71, 因为在[40,70)内共有80人，则中位数位于[70,80)内， 则中位数为70+合0X10=0 3 12.解：(1)由频率分布直方图可估计总体的众数为7080 2 =75. (2)由频率分布直方图可知，样本中分数在区间[50,90)内 的人数为(0.01+0.02+0.04十0.02)×10×100=90. 因为样本中分数小于40的学生有5人， 所以样本中分数在区间[40,50)内的人数为 100-90-5=5. 设总体中分数在区间[40,50)内的人数为x, 5 x 则100400' 解得x=20, 故估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为20. (3)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的人数 为(0.04+0.02)×10×100=60. 因为样本中分数不小于70的男学生和女学生人数相等， 所以样本中分数不小于70的男生人数为30， 因为样本中有一半男生的分数不小于70，所以样本中男生 的人数为60，女生的人数为40. 由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为3：2. 高考冲浪 1.A[观察4幅图可知，A图散，点分布比较集中，且大体接近 某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正 相关，r值相比于其他3图更接近1.门 2.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78， 故极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35十210.68=210.015. (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, P(A)= C·Cs=3, 10’ 所以，恰有2个数据在211以上的概率为0： 3 (3)由题意，比套成绩y的平均数为0×(206.78十207.46 +207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+ 216.93+216.93)=211.399. 故y=-0.311x十b过(2006,211.399)，则b=835.265, 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成绩 约为204.56. 假期作业十二 技能提升台技能提升 1,A[将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四 位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、 3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个， 所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的 基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个， 所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相 尔的概率为号，故选A] 2.D