假期作业三 等式性质与不等式性质及基本不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（人教B版）

三00223 参芳 假期作业一 技能提升台技能提升 1.D[集合M=(z0≤<16，秦合N={xr≥号} MnN={a日<<I6燕选D] 2.A[由题意可得MUN={x|x<2),则Cu(MUN)={xx >≥2}，选项A正确； CuM={x|x≥1}，则NUCM={xx>-1},选项B错误； M∩N={x-1<x<1}, 则Cu(M∩N)={x|x≤一1，或x≥1}，选项C错误； CuN={xx≤-l,或x≥2，则MUCN= {xx<1,或x≥2}，选项D错误.故选A.] 3.A[由题设，易知M={2,4,5},对比选项，选择A.] 4.C[考查并集的概念.AUB={x1≤x<4}.] 5.BD[空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 故选项A错；真子集具有传递性，故选项B正确；若一个集 合是空集，则没有真子集，故选项C错；由Venn图易知选项 D正确.故选B、D. 6.CD[如图，要使A∩B=0,应有a<-1,故选C、D.] B a-1012x 7.解析：根据题意，a≠0，故b=0,则=0， 故{a,0,1}={a2,a,0},则a2=1,a=±1， 当a=1时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当a=-1,b=0时，{-1,0,1}={1，-1,0}，符合题意， a2025+b2026=-1. 答案：一1 8.109.{2,4}.10.m≤3 11.解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个 元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4)，{2,3,5}；当M中含有四个 元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含 有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M 为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1， 5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8. 12.解：(1)A={x0x2},∴.CRA={xx0,或x>2}. (t.UB=R8于g2-1cac0 CA B CHA +3 (2)由(1)知(CRA)UB=R时， 一1a0,而a十3∈[2,3]， ∴A二B,这与A∩B=矛盾.即这样的a不存在. 高考冲浪 1.C [8-3=5,选C.] 2.C[因为集合M={x|-3<x<1},N={x-1≤x<4},所 以MUN={x-3<x<4}.] 假期作业二 技能提升台技能提升 1.A2.D3.C4.D 5.BD[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡 L亮，开关S不一定闭合，故A中力是q的充分不必要条 件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开 关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开 关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合， 故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭 合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中 是q的充要条件.故选B、D.] 6.ABD[C选项是全称量词命题，A,B,D选项符合题意，故 选A、B、D.] 7.②③④ 8.解析：根据特称命题为假命题，可知“Vx∈R,x器一m十1≥ 0”为真命题，由此分离参数，即可求得答案. 由题意知命题“3x∈R,x8器一m十1<0”为假命题， 则命题“Vx∈R,x8器-m十1≥0”为真命题，即Hx∈R, x8器+1≥m, 答案 由于Vx∈R,x器=05/丽≥0，x=0时取等号，故Vx∈ R,x器+1≥1， 所以m≤1，即m的取值范围为（一∞，1]. 答案：（一o,1] 9.(0,2]10.0≤a≤2 11.解：(1)存在量词命题.x=2时，x一2=0成立.所以命题是 真命题. (2)全称量词命题.邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所以， 全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题. (3)全称量词命题.三角形中，两边之和大于第三边，所以，全 称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题. (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以，存在量词命题 “有些素数是奇数”是真命题 12.解：由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1. 令A={xx>2,或x<-1), 由4红+0，得B={女<-} 当B二A时，即-卫≤-1，即≥4， 4 此时x×-是≤-1px-x-2>0, 当p>≥4时，4x十p<0是x2-x-2>0的充分条件. 高考冲浪 1.A[本题考查了命题的充要条件，由x=0→sin2x=sin0=0, 由5in2x=0→2x=x,x=经，A∈Z不一定为x=0 ∴.sin2x=0px=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 2.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知q真，所以 选B.] 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3→a=b→3 =3°，3“=3→a=b→a3=b3,所以二者互为充要条件.] 假期作业三 技能提升台技能提升 1.C2.B3.B 4.B[对于A,若ac2>bc2,则a>b,故正确；对于B,根据不等 式的性质，若a<b<0,则a2>b,故错误；对于C,若a>b>0,则 品>品即方>日故正确： 对于D,,0>b>a,c>0,.ac<bc, 又c>d,b<0..bc<bd,ac<bd,故D正确.] 5.C[可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c2 a2十b).则外围的正方形的面积为c2,也就是a2十b2,四个 直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.对任意正实数 a和b,有a2十b≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.] 6.ACD 7.解析：x+|2023一x<2023,当x<0时，一x+2023-x <2023,解得x>0,故解集为0； 当0≤x≤2023时，x+2023一x<2023,解集为☑； 当x>2023时，x+x-2023<2023,解得x<2023,故解集 为0. 综上不等式的解集为⑦. 答案：心 8.②④9.42 11 10.1760 11.证明：c<d<0,.-c>-d>0. 0<-1<- a又>6>0.1-音>-2>0， .86 两边同乘以-1，得√号<√吾 12.解：(1)y=2x一5x2=x(2-5x) 、1 =5·5x·(2-5x. :0<x<号5x<2,2-5x>0, 7 飞受快乐假翻 5x(2-5)<(5+名5z)=-1,∴y≤号，当且仅当5x 2 =2-5z,即x=号时ym=号 1 (2)x>0,y>0,且x十y=1, .8+2=(8+2）(x+)=10+8y+2≥10+ x yx y x 2罗=18， 当且仅当-号，即=号y=号时等号成立， 2 y 是十号的装小位是8 高考冲浪 1.c[迪号≥29≥0分≤0分 x-1 x-1 í(x-1)(x+2)≤0台-2≤x<1.] 1x一1≠0 2.C[由基本不等式结合特例即可判断. 对于A,当a=b时，a2十b=2ab,故A错误；对于B、D,取a 合6=，此时日+合-2+4=6< 1 --8-ab'a 1,1 2× +=2+4=6>2=4= ,故B、D错误；对 √ab 于C,由基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正确.故 选：C.」 假期作业四 技能提升台技能提升 1.C 2.A 3.C 4.B 5.ACD 6.ACD 7.(3)(5) &(7号)92.8910-2-3 11.解：原不等式可化为(x-a)(x-a)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a,或x>a}； 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 当0<a<1时，a2<a,解集为{xlx<a2,或x>a}: 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}； 当a>1时，a<a2,解集为{xx<a,或x>a2). 综上所述，当a<0或a>1时， 解集为{xxa,或x>a}; 当0a<1时，解集为{xx<a,或x>a}; 当a=0时，解集为{xx≠0}； 当a=1时，解集为{xx≠1}. 12.解：若不等式mx2-2x一m十1<0恒成立， 即函数f(x)=mx2一2x一m十1的图象全部在x轴下方. 当m=0时，1-2<0，则x>,不满足题意： 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m十1为二次函数，需满足 开口向下且方程mx一2x一m十1=0无解， 即mK0, 1△=4-4m(1-m)0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的m. 新题快递 1解析：取x=一合，得号2a+b)-合(2a+b)-10,即2a+b≥ 1 一4. 另-方面，取2a+b=-4,222+而=-2，此时6=-40 =0, (2a+b)x2+bx-a-1≤0即-4x2-4x一1≤0，亦即(2x+1)2≥ 0,显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为一4. 答案：一4 2.ACD[由a<b<0,可得<】<0，故选项A正确； b a 取a=-2,b=-1,满足a<b<0,则a203=22>0>-1= 23,故选项B错误； 由a<b<0可得|a>bl,即有la>一b,故选项C正确； 由a<b<0可得一a>一b>0,所以√-a>√/-b,故选项D 正确.门 ·4 假期作业五 技能提升台技能提升 1.C2.C 3.C[根据函数的定义可知选C] 4.B[设g(x)=ax2+bx十c(a≠0)，因为g(1)=1, g(-1)=5,且图象过原点， 1a+b+c=1, 1a=3, 所以a-b十c=5,解得b=-2,所以g(x)=3x2-2x.] c=0, （c=0, 5.ABC[函数y=x2-4x-4的图象 如图f0)=f(4)=-4,f(2)=-8. 8 .x=2 因为函数y=x2一4x一4的定义域为 [0,m],值域为[-8，-4]，所以实数 m的取值范围是[2,4]，故选A、 -8-40 B、C.] 4 6.AC[因为fx)=1+文 1-,所以《 -8 1+(-x)2 x= =f(x), 1-(-x)2 空孩A7 x2-1 7.[2,1山8.2x-号成-2x+19.010.21或3 1山.解：)由题意得，()=（号+1）=(-号) =1(-合+1）f(合)=2×合+1=2 (2)当0<a<2时，由fa)=2a+1=4,得a=是； 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=√5或a=-√5（舍 去).综上所这，0=号或a=厅. 12.解：(1)设t=√元+1，则x=(t-1)2(t≥1). 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2 =t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ax十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x十17，因此应有a=2, 5a+b=17,解得 {8=,故fm)的解新式是f)=2x+7 (3)因为2fx)+f()=3x, ① 所以起x月餐换，得2/（日）十f)=三 ② 由0@解得f)=2x-子（x≠0)， 即f()的解析式是f(x)=2x-1(x≠0)】 x 高考冲浪 1.解析：f(3)=√3. 答案：√3 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2一2ax 一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即一a ≥0→a0,排除C、D项；又因为当x=0时，f(x)=1,所以 当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1，代入x=0,得-a ≤1→a≥一1，所以一1≤a≤0，故a的取值范围是[一1,0].] 假期作业六 技能提升台技能提升 1.D2.D 3.D[由题意易得，号≥1，所以a的取值范围是[2，+∞). 故选D.] 4.D 5.AB 6.BC三0022 假期作业三 等式性质 性质及基本不等式 《思维整合室 之heng he s 知识梳理 1.不等式的性质 性质1：a>b台b a. 性质2：a>b,b>c→a 性质3：a>b→a十c b+c. 性质4：①a>b,c>0→ac bc. ②a>b,c<0→ac bc. 性质5：a>b,c>d→a+c b+d. 性质6：a>b>0,c>d>0→ac bd. 性质7：a>b>0→a” b(n∈N,n≥2). 性质8：a>b>0→a 5(n∈N,n≥2). 2.对于任意实数a,b有a2+b2 2ab, 当且仅当 时等号成立 3.对任意两个正实数a6,2空叫微a,b的 √ab叫做a,b的 4.基本不等式 (1)形式： (2)成立的前提条件： (3)等号成立的条件：当且仅当 时取 等号 5.基本不等式与最值 已知x、y都是正数， (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积 xy取得 一数 与不等式 温故而知新，可以为师矣。 完成日期： 月 日 (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和 x十y取得 上述命题可归纳为口决：积定和最小，和定 积最大. 自测自查 1.<>>> > 2.≥a=b 3.算术平均值几何平均值 4.(1)Va6<a+b 2 (2)a>0且b>0(3)a=b 5.(1)最大值 (2)最小值2√ 要点记忆 应用基本不等式的常用技巧 在利用基本不等式求最值时，除注意 “一正、二定、三相等”的条件外，最重要的 是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配 凑项是常用的解题技巧，除此之外还有以下 特殊技巧： (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax十by=m(a,b, ,心均为正数)，求是+}的最小值“和 “已知g+b=1(a,b,x,y均为正数)，求 y x十y的最小值”两类题型. (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利 用基本不等式构造一个不等式从而求出和或 积的取值范围. 火壁快乐慨阴 (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件. 《技能提升台 Ji neng ti sheng tai 技能提升 1.下列命题正确的是 ( A.某人月收入x不高于2000元可表示为 “x<2000” B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比 小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 2.下列命题正确的是 A.函数y=x十的最小值为2 B.若a,6ER且b>0,则2+号≥2 C.函数+2+1 的最小值为2 √x2+2 D.函数y=2-3x-4的最小值为2-43 3.若a>b>0,则下列不等式成立的是() Aa≥b>生>a@ B.a>a生ab>b 2 C.a>>/a6 D.a>√ab>a十bb 2 0M= 4.若a,b,c为实数，则下列命题不正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a<b C.若a>b>0,则a<石 D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd 5.三国时期赵爽在《勾股方圆图 注》中对勾股定理的证明可用 现代数学表述为如图所示，我 们教材中利用该图证明 A.如果a>b,b>c,那么a>c B.如果a>b>0,那么a2>b C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当 且仅当a=b时等号成立 D.如果a>b,c>0那么ac>bc 6.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定 成立的是 () Aa+b+2柜B24%画 √Jab √ab D.a+a+6)≥4 7.不等式|x+|2023一x|<2023的解集为 8.对于实数a,b,c,给出下列命题： ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2; ④若a<60,则号>名 其中正确命题的序号是 9.已知0<x<1,则x(1一x)的最大值为 ,此时x= =0022 板高一数学空) 10.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无 (2)已知x>0,y>0,且x+y=1,求8+2 y 盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分 的最小值 别为120元和80元，那么水池的最低总造 价为 元. 1山已知。>60<da,求证：语源. 12.(1)已知0<<号求y=2x-5d的最 大值； 高考冲浪 1(2025·全国二卷，4)不等式≥2的解 集是 () A.{x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.(alx>1) 2.(2025·北京卷，6)已知a>0,b>0,则 () A.a2+62>2ab B日+6品 C.a+b>/ab 。9