专题8.4 实数（章节复习）（知识荟萃+26个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过知识梳理构建实数章节体系，以框架图呈现平方根、立方根、无理数、实数等核心知识点，涵盖定义、性质、小数点规律及运算规则，清晰展现概念间内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于26个题型讲练设计，如利用算术平方根非负性解题、新定义下实数运算等，培养运算能力与推理意识。分层训练（基础夯实、培优拔高）适配不同学生，中考真题演练对接考点，助力教师精准教学，学生自主复习时可通过典例与变式巩固知识，提升数学思维。

专题8.4 实数（章节复习） （知识荟萃+26个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：平方根 2 知识点梳理02：平方根的性质 2 知识点梳理03：平方根小数点位数移动规律 3 知识点梳理04：立方根的定义 3 知识点梳理05：立方根的性质 3 知识点梳理06：立方根小数点位数移动规律 3 知识点梳理07：无理数 3 知识点梳理08：实数 3 知识点梳理09：实数运算 4 题型讲练 4 题型1：平方根概念理解 4 题型2：求一个数的平方根 4 题型3：已知一个数的平方根，求这个数 4 题型4：利用平方根解方程 5 题型5：求一个数的算术平方根 5 题型6：利用算术平方根的非负性解题 5 题型7：估计算术平方根的取值范围 5 题型8：与算术平方根有关的规律探索题 5 题型9：算术平方根的实际应用 6 题型10：立方根概念理解 6 题型11：求一个数的立方根 7 题型12：已知一个数的立方根，求这个数 7 题型13：立方根的实际应用 7 题型14：算术平方根和立方根的综合应用 7 题型15：无理数 8 题型16：无理数的大小估算 8 题型17：无理数整数部分的有关计算 8 题型18：实数概念理解 8 题型19：实数的分类 9 题型20：实数的性质 9 题型21：实数与数轴 9 题型22：实数的大小比较 9 题型23：实数的混合运算 10 题型24：程序设计与实数运算 10 题型25：新定义下的实数运算 11 题型26：与实数运算相关的规律题 11 中考真题 12 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 13 知识点梳理01：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点梳理02：平方根的性质 知识点梳理03：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点梳理04：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点梳理05：立方根的性质 知识点梳理06：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点梳理07：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理08：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理09：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型1：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 题型2：求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25七年级下·广西梧州·期末） ． 【变式训练】（25-26七年级下·河南开封·期中）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 题型3：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【变式训练】（2024七年级下·广东佛山·竞赛）一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 题型4：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25七年级下·广东汕尾·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·月考）求下列各式中的x值． (1) (2) 题型5：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·四川巴中·月考） ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 题型6：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考），则的算术平方根为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）若实数，满足，则 ． 题型7：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 题型8：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 题型9：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东肇庆·月考）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）小波现有一块面积为的正方形布料． (1)正方形布料的边长为___________； (2)小波准备从中裁剪出一块面积为的长方形布料（长方形的边与正方形的边平行），他能裁下长、宽之比为的长方形吗？为什么？ 题型10：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【变式训练】（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 题型11：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算： ． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 题型12：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·月考）已知，则x的值为 ． 题型13：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 【变式训练】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式，） （2）一个正数有两个不相等的平方根分别是和，求和的值． 题型14：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型15：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 题型16：无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26七年级下·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数： ． 【变式训练】（24-25七年级下·云南丽江·期末）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型17：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·云南大理·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 题型18：实数概念理解 【典例精讲】（2024·吉林·三模）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【变式训练】（23-24九年级下·湖北武汉·月考）实数的倒数是（    ） A． B． C． D．2 题型19：实数的分类 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 题型20：实数的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）计算：． 【变式训练】（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 题型21：实数与数轴 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河北·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 题型22：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西安康·期末）在实数，，0，中，最小的一个数是 ． 【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江大庆·月考）四个实数，6，，中，最大的无理数是________． 题型23：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东汕头·月考）计算： 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）计算 (1)； (2)． 题型24：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 题型25：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·青海玉树·期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为，已知， (1)求m、n的值； (2)求不等式的解集． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 题型26：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·月考）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： 1．（2024·贵州贵阳·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·中考真题）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·广东汕头·中考真题）已知，b是49的平方根，且，则的值为 ． 4．（2024·全国·中考真题） ． 5．（2024·上海·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东河源·月考）请你写出一个比大的无理数： （写一个即可）． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）的相反数是 ． 5．（25-26七年级下·山西长治·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是 ． 9．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 10．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 实数（章节复习） （知识荟萃+26个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：平方根 2 知识点梳理02：平方根的性质 2 知识点梳理03：平方根小数点位数移动规律 2 知识点梳理04：立方根的定义 2 知识点梳理05：立方根的性质 3 知识点梳理06：立方根小数点位数移动规律 3 知识点梳理07：无理数 3 知识点梳理08：实数 3 知识点梳理09：实数运算 3 题型讲练 4 题型1：平方根概念理解 4 题型2：求一个数的平方根 4 题型3：已知一个数的平方根，求这个数 5 题型4：利用平方根解方程 6 题型5：求一个数的算术平方根 7 题型6：利用算术平方根的非负性解题 7 题型7：估计算术平方根的取值范围 8 题型8：与算术平方根有关的规律探索题 8 题型9：算术平方根的实际应用 9 题型10：立方根概念理解 11 题型11：求一个数的立方根 12 题型12：已知一个数的立方根，求这个数 12 题型13：立方根的实际应用 13 题型14：算术平方根和立方根的综合应用 14 题型15：无理数 15 题型16：无理数的大小估算 16 题型17：无理数整数部分的有关计算 16 题型18：实数概念理解 17 题型19：实数的分类 18 题型20：实数的性质 19 题型21：实数与数轴 19 题型22：实数的大小比较 20 题型23：实数的混合运算 21 题型24：程序设计与实数运算 22 题型25：新定义下的实数运算 23 题型26：与实数运算相关的规律题 24 中考真题 26 分层训练 29 基础夯实 29 培优拔高 30 知识点梳理01：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点梳理02：平方根的性质 知识点梳理03：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点梳理04：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点梳理05：立方根的性质 知识点梳理06：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点梳理07：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理08：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理09：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型1：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【规范解答】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【思路点拨】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 题型2：求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25七年级下·广西梧州·期末） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，，再结合正负号，得出． 【规范解答】解：∵4的算术平方根是2， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·河南开封·期中）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据平方根的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：D． 题型3：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键；由题意易得，然后可得a的值，进而问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， ∴这个数为； 故选C． 【变式训练】（2024七年级下·广东佛山·竞赛）一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求出m的值，继而得出答案． 【规范解答】解：由题意得：，即， 解得：， ， 这个数是， 故选：D． 题型4：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25七年级下·广东汕尾·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【思路点拨】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【规范解答】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·月考）求下列各式中的x值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路点拨】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）移项后，利用平方根的性质求解即可； （2）利用平方根的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴． 题型5：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·四川巴中·月考） ， ， ． 【答案】 9 【思路点拨】本题主要考查了求平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】解： ， ， 故答案为：． 题型6：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考），则的算术平方根为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了算术平方根和偶次方的非负数性质，正确求出、的值是解答本题的关键． 根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得、的值，再根据算术平方根的定义解答即可． 【规范解答】解：， ， 解得， ， 的算术平方根为． 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）若实数，满足，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了非负数的性质．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 题型7：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【规范解答】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 题型8：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 【规范解答】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，结合，则，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵，被开方数小数点向右移动2位，则所得算术平方根小数点向右移动1位， ∴， 故答案为： 题型9：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东肇庆·月考）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为17； (2)x的值为． 【思路点拨】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【规范解答】（1）解：， 则阴影部分的面积为17； （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去） ∴阴影部分的边长为． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期中）小波现有一块面积为的正方形布料． (1)正方形布料的边长为___________； (2)小波准备从中裁剪出一块面积为的长方形布料（长方形的边与正方形的边平行），他能裁下长、宽之比为的长方形吗？为什么？ 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）根据工料的面积，利用算术平方根定义求出边长即可； （2）工人师傅不能直接裁下长宽之比为的长方形，设长方形的长与宽分别为，，根据布料的面积求出x的值，判断即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 则正方形工料的边长为； 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 设长方形长为，则宽为， 由题意得：， ， 由边长的实际意义，得， 长方形布料的长为， ， ． 即， 长方形布料的长应大于 正方形的边长为， 长方形布料的长将大于正方形布料的边长． 不能裁下长、宽之比为的长方形． 题型10：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【思路点拨】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【规范解答】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 题型11：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算： ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算和，再求它们的和，即可作答． 【规范解答】解：， 故答案为：1 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．先计算乘方，算术平方根和立方根，再算加减法即可． 【规范解答】解：原式 ． 题型12：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【规范解答】解：， 是的立方根， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·月考）已知，则x的值为 ． 【答案】0或1或2 【思路点拨】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 题型13：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何体的体积，根据题意列出方程是解题关键． 先根据长方体体积公式算出长方体铁块体积，因为熔化后铸造成正方体体积不变，再根据正方体体积公式求其棱长． 设正方形的边长为，根据题意列出算式即可． 【规范解答】解：设正方形的边长为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式，） （2）一个正数有两个不相等的平方根分别是和，求和的值． 【答案】（1）9分米；（2）； 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，再解得（分米）； （2）因为一个正数有两个不相等的平方根分别是和，故，解得，再求出的值，即可作答． 【规范解答】解：（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴（分米）； 答：这种球形容器的半径是9分米； （2）∵一个正数有两个不相等的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型14：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【规范解答】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 题型15：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． A为有限小数，C为整数，D为分数，均为有理数；B为，是无理数． 【规范解答】解： A． 为有限小数，为有理数； B． 为无限不循环小数，为无理数； C．为整数，是有理数； D． 为分数，是有理数； 故选：B． 【变式训练】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【规范解答】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型16：无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26七年级下·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查无理数的大小比较以及无理数的定义，根据无理数的定义，写出一个在和之间的无理数即可． 【规范解答】解： ，，， ，且是无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25七年级下·云南丽江·期末）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型17：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·云南大理·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可. 【规范解答】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得. ∵，c是的整数部分， ∴， ∴； （2）解：， 所以9的平方根是. 【变式训练】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 题型18：实数概念理解 【典例精讲】（2024·吉林·三模）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【规范解答】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 【变式训练】（23-24九年级下·湖北武汉·月考）实数的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查实数与倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义可直接进行求解． 【规范解答】解：∵ ∴实数的倒数是， 故选：C． 题型19：实数的分类 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【规范解答】解：0，，都是整数，是无限循环小数，都是有理数，是分数，是有理数， 无理数有，，（两个2之间依次多1个，共3个． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了估算无理数，实数的大小比较，根据无理数是无限不循环小数，再根据题意，可得答案． 【规范解答】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 题型20：实数的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算．先算乘方和开方，绝对值，后算加减． 【规范解答】 解： ． 【变式训练】（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【规范解答】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 题型21：实数与数轴 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，理解数轴的意义是解决问题的关键．根据点，，在数轴上分别表示实数，，得，，然后对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【规范解答】解：依题意得：，， ，故选项A不正确，不符合题意； ， 个单位， 个单位， ，故选项B不正确，不符合题意； ，， ，故选项C正确，符合题意； ， ，故选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·河北·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 【答案】D 【思路点拨】本题考查实数的分类、立方根的性质以及实数与数轴的关系，根据定义逐一判断各选项，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故A错误； B、带根号的数不一定无理，如是有理数，故B错误； C、立方根等于它本身的数是0、1、，故C错误； D、数轴上的点与实数一一对应，故D正确； 故选：D． 题型22：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西安康·期末）在实数，，0，中，最小的一个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题关键．先估算的大小，进而得到，即可得解． 【规范解答】解：， ， ， ， 最小的一个数是， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江大庆·月考）四个实数，6，，中，最大的无理数是________． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数大小的比较方法、无理数的特征，正确理解实数的大小比较方法是解题的关键． 首先判断哪些是无理数，利用“放缩法”进行比较无理数大小即可． 【规范解答】解：四个实数，6，，中，有理数有6，无理数有，，， ，，而，即， 由于，则，即， 而，即， 因此，即最大的无理数是． 故答案为：． 题型23：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算． 先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【思路点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质． （1）根据立方根、算术平方根的性质即可化简求解； （2）根据绝对值和实数的性质即可化简求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型24：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【思路点拨】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【规范解答】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键． 依据转换器流程，先求出的立方根是，是有理数；取立方根为是无理数直接输出． 【规范解答】解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 题型25：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·青海玉树·期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为，已知， (1)求m、n的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新运算是解题的关键． （1）利用新运算的意义列出算式进行运算即可； （2）利用新定义进行化简，再利用解一元一次不等式的解法解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， 又，， ∴ 则得：， 再把代入 得 ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ， 即， 原不等式的解集为． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 题型26：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·月考）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了分数的加减法计算，根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． 【规范解答】解： ． 1．（2024·贵州贵阳·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【规范解答】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 2．（2024·福建厦门·中考真题）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【规范解答】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 3．（2024·广东汕头·中考真题）已知，b是49的平方根，且，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．先根据绝对值确定a，b的值，再根据有理数的减法，即可解答． 【规范解答】解：，b是49的平方根， ，， ， ， ，或，， 或， 故答案为：或． 4．（2024·全国·中考真题） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了无理数估算、取绝对值等知识点，掌握无理数估算成为解题的关键． 先估计的大小，然后确定的正负，最后取绝对值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算．先计算有理数的乘方、立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查无理数的估算，解决本题的关键是掌握无理数估算的方法． 通过比较23与相邻整数的平方，确定的范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴在4与5之间． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了平方根，根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】4的平方根是． 故选：B． 3．（25-26七年级下·广东河源·月考）请你写出一个比大的无理数： （写一个即可）． 【答案】 【思路点拨】本题考查无理数大小比较，利用开方开不尽的无理数性质，通过比较立方的大小来选取合适的无理数． 【规范解答】解：． 故答案为：（不唯一）． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）的相反数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了立方根、相反数，先计算 的值，再求其相反数． 【规范解答】解： ， ， 的相反数是 ， 的相反数是． 故答案为： 5．（25-26七年级下·山西长治·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)4 【思路点拨】本题考查了已知字母的值求代数式的值，立方根，已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一个数的平方根有两个，互为相反数，进行列式计算，得，再求出，即可作答． （2）先分别把代入进行计算，再求出它的立方根，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和 ∴， ∴， 则， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 则的立方根是． 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方根、立方根和绝对值的性质，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据立方根、算术平方根和绝对值的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确． 【规范解答】解：A、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ ， ， ∴ ，等式成立，故该选项说法正确，符合题意； D、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：C． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了新定义运算的理解与应用、二次根式的平方运算，解题的关键是准确把握新运算“”的规则，明确运算中、的对应取值并代入计算． 先根据新运算规则确定、；再计算（即），接着计算；最后用的结果减去的结果，得到最终值． 【规范解答】解：由新运算，可得． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $