河南省开封市2026届高三上学期第一次质量检测数学试题

2026届高三年级第一次质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生 号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的 答题区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.集合A={x|x<3},B=1,2,3,4},则A∩B= A.{1,2} B.{3,4) C.(1,2,3} D.{1,2,3,4} 2.已知复数之满足(1+i)x=i,则之= A司 号 C.2 D.2 3.已知1og2m-log2n=1,则 A.mn=2 B.m-n=2 C.2m=n D.m=2n 4.已知f(x)=ex十aex,则“a2=1”是“f(x)为奇函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 设桶圆C名千是1Q>b>0的左右焦点分别为F,P,过F,作平行于y抽的 C于A,B两点，若△ABF1是等边三角形，则C的离心率为 A B C.2-√3 6.“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.如图所示，在 一个盛满米的“方斗”容器中，AB=4,A1B1=2,若从中取出74kg米后，米的高度下降一半， 则剩余的米的质量为 D B D B A.38kg B.48kg C.57kg D.112kg 高三数学第1页（共4页) 7.菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为CD的中点，N为BC的中点，则AM,AN= A.2+5③ 2 B4+5③ 2 c号 号 8在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,若B-,b:=6ac,则c03A十eosC= A写 B.v1a C.39 4 4 D.④2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是 yA 0 g0… 0 图(1) 图(2) A.图(1)中成对样本数据呈负相关 B.图(1)中成对样本数据的线性相关程度比图(2)中强 C.图(1)中成对样本数据的相关系数大于图(2)中成对样本数据的相关系数 D.若从图(2)样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 10.已知直线1：ax十by=1与圆C:x2十y2=1,点P(a,b),则下列说法正确的是 A.若点P在直线l上，则直线1与圆C相切 B.若点P在圆C外，则直线1与圆C相离 C.若点P在圆C内，则直线1与圆C相离 D.若点P在圆C上，则直线1与x轴，y轴围成的三角形面积的最小值为1 11.已知正方体A1A2A3A,-AsA6A,A。的棱长为1，定义A={AAi,j∈1，且≠j}, I=(1,2,3,4,5,6,7,8},若a,b∈A,则a+b的值可以是 A.√5 B.√6 C.√7 D.3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{an)的前n项和为Sn,若a4十as=8,则Sg= 13.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= ①f(x1)f(x2)=f(x1+x2)；②当x∈(0，+∞)时，f'(x)>1, 4,已知双曲线C:-多1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,,过点F,作直线分别交 两条渐近线于点A,B,交y轴于点D,O为坐标原点.若△AF:F2的面积是△OBF1的面 积的3信，则0 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在直角坐标系xOy中，点P到y轴的距离等于点P到点F(2,0)的距离，记动点P的轨 迹为W. (1)求W的方程； (2)经过点F且斜率为1的直线L交W于A,B两点，求|AB. 16.(15分) 已知函数f(x)=sinx十acOsz,且曲线y=∫(x)在点（不，f(T)》处的切线斜率为一厄. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)在区间 0, 上的最大值与最小值 17.(15分) 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，Q是母线PA的中点，点C,D在 底面圆周上，且∠A0C=子，点M在线段OC上，且直线QM,/伻面PBD, (1)证明：CD∥AB; (2)若△PAB是正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 高三数学第3页（共4页) 18.(17分) 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将袋子中的球随机地逐个取 出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里(k=1,2,3,…,7). 123 45 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为X,求X的分布列和数学期望E(X); (3)记“从左往右数，任意前i个抽屉中(i=1,2,3,…,7),白球总数均不少于黑球总数” 为事件C,求事件C的概率. 19.(17分) 若数列{an}满足：对任意n∈N*(n≥3)，总存在i,j∈N”,使得an=a:a;(i≠j,i<n,j<n),则 称{an}是融积数列.已知数列{an}是融积数列，且a1=2,a2=4. (1)求a3的所有可能取值； (2)若对任意n∈N"(n≥2)，an>am-1,求a4,as的所有可能取值； (3)在(2)的条件下，记Sn为数列{an}的前n项和，证明：对任意n∈N*,有Sn<2am 高三数学第4页（共4页)2026届高三年级第一次质量检测 数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 2 3 4 5 6 > 答案 A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.32 13.f(x)=3(答案不唯一，f(x)=di(a≥e)均满足) 4. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)设点P的坐标为(x,),依题意得1x上√x-2)+y2，…2分 化简得y2=4(x-1),所以W的方程为y2=4(x-1).…5分 (2)设A(x,),B(x2,y2),由题意，1：y=x-2,…7分 将1带入方程y2=4(x-1),化简得：x2-8x+8=0,则x+x8,…11分 由W的定义可知AB=AF+BFx+x28.…13分 16.（15分) (1)f'(x)=cosx-asin,…1分 依您，f孕cm子ain-作 2-√2，3分 4 42 解之得：=3.…5分 （2)令f)-cosx-3sm:0,解之得：tan3 …6分 令g(x)=f(),则g'(x)-snx-3cosx<0, 所以了在0写 上单调递减，…7分 则x0),了9>0)单调递照，e引f9<0f)单词递减。 所以f(x)在x=0处取极大值，…9分 又因为ng: ,s3 …11分 10 10 所以f(0)=sm8+3cos9=0+9W 2-10,…12分 10 10 f 又f(0)=sin0+3cos0-3, =n+3co87=1,…14分 比较可得：函数f(x)在区间0， 上的最大值为√10，最小值为1.…15分 2 17.（15分) (1)M是线段OC上的动点，且直线QM∥平面PBD,故平面QOC∥平面PBD,…2分 又平面QOC∩平面ABCD=OC,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以OC∥BD,·4分 所以∠A0C-∠0BD-行，又0B-0D,所以△08D是正三角形，所以OBBD-OC,6分 所以OBDC是平行四边形，所以CD∥AB.7分 (2)取CD的中点记为N,易证ON L AB, 如图，分别以ON,OB,OP为x,乃，二轴建立空间直角坐标系O-2,…8分 不妨设AB=2r,又△PAB是正三角形， 4n-ax以g5as. -副w空-5小 …10分 设n=(x,y,)为平面PBD的法向量， n.BP=0 -y+V3z=0, 有 则3rx n.BD=0, 2x-2y=0, 令x=1,所以平面PBD的一个法向量=1，√5，)， …12分 所以cos(n,AP n.AP √3r+5rV5 …14分 nl‖AP 2v5r 5 所以，直线PA与平面PBD所成角的正弦值为 …15分 5 18.(17分) 43,3、23 （1)设A=“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则P(4)=7×后+行后亏3分 (2)X的可能取值为1,2,3,4，…4分 P(X=1)= CC 。4 18 35, P(X=2)= C4 35 P(X=3)= CC-12 C4 35 ,P(X=4④= C 35 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 4 4 18 12 1 P 35 35 35 35 …8分 E04+28+33 35 …9分 35 4与9 (3)依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况：…10分 2 n州作有8=子品 @1n县…，8-身名号员 ③白一白-黑-白…，B7×6X5×435 43323 @m声-自，公号分 …15分 11,月-公号吉 Pe-月1号发1月若 .…17分 19.（17分) 由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设i<j. (1)4=402=2×4=8;…3分 (2)若对任意neN(n22),4,>a-1,则a,=a,4=2×8=16,或a4-a,4=4×8=32:…5分 ①若4,16，则a,-44=2×16=32,或a,-a,4,=4×8=32,或a,-0,4=4×16=64, 或4，=0,44=8×16=128；…7分 ②若4，-32，则a,0a=2×32=64,或4，a,44=4×32=128,或4，-0,44=8×32=256： 综上，了a6, a4=32, a,-32,或a,-64,或a,-128,{a,=64,或a,=128,或a,=256.…9分 或 (3)因为a=2,a=4=22,且对任意n∈N(n≥3)，总存在ijeN,使得a,aa(i≠j,i<,j<n), 所以数列{a}的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意n∈N*(n≥2)，an>an-1,所以a.≥2an-1,…12分 所以a.≥20-1之22an-2222-ae,k∈N°，…13分 所以8-4+a+a++ata+a≤是品是+是+经+a…4分 2 1 2-+++0a 1-(]。 3