精品解析：江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级第二次联考 数 学 （总分：150分，时长：120分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求表达式直接计算，即可作答． 【详解】∵ ， ∴设， ∴． 故选：B． 3. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最低点的坐标为 C. 与x轴有两个公共点 D. 与y轴交点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A错误，不符合题意；B正确，符合题意； ∵抛物线开口向上，最低点的坐标为 ∴抛物线与x轴没有交点，故C错误，不符合题意； 当时，，故与y轴交点坐标为，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质及与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 已知二次函数，，，为该二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质(增减性) ．掌握二次函数图象增减性的性质及“逢点必代”方法可解此题．由点，，为二次函数图象上的点可知，将对应点的坐标依次代入二次函数的表达式中，并依次求出对应，，的值，再进行大小比较即可． 【详解】解：∵， ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴，，即 ． 故选：A． 5. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 7. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图像判断下列结论：①；②；③，④（其中）；其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线的开口方向和抛物线与轴交点的位置可知；根据抛物线与轴有两个交点，可知方程有两个不相等的实数根，可知；由图像可知抛物线与轴的另一个交点坐标是，可得当时，；由图像可知当时，二次函数有最小值，所以可得． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故①正确； 由图像可知抛物线与轴有个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故②错误； 由图像可知，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是， 抛物线与轴的另一个交点坐标是， 当时，可得：， 故③错误； 由图像可知，当时，二次函数有最小值， 当时，可得：， ， 整理可得：， 故④正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：C． 8. 如图，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如果， 则， ∵， ∴，此时处一定有一点满足条件， ②如果， 则， 即， 又∵， ∴是一元二次方程的两根， ∵P点共有2个， ∴时，只有一个点， ∴， 解得：， 当是方程的一个根时，， 解得：或(舍去） 综上所述：m满足的条件是或． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知线段，线段x是a、c的比例中项，则x等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：∵线段x是a、c的比例中项，， ∴， 解得（舍负）， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查求抛物线与坐标轴的交点，求抛物线与 y 轴的交点坐标，需令横坐标 ，代入抛物线方程计算纵坐标 的值即可 【详解】解：令 ，代入抛物线方程 ，得：， 因此，点 的坐标为 ． 故答案为 ． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 12. 用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥底面周长和弧长的关系．关键在于明确圆锥底面周长与扇形弧长的关系，通过正确计算弧长并建立方程即可求解． 【详解】解：扇形弧长： ， 设圆锥底面半径为，依题意得，， 解得，， 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】二次函数的图象向左平移3个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 14. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解. 利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴代入得，即． 则． 故答案为：． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式解集是． 故答案为：． 16. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 _______s时间才能停下来． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确理解题意求解是解题的关键． 飞机停下来时滑行距离最大，因此求二次函数的最大值点． 【详解】二次函数的顶点横坐标为，故飞机着陆后滑行时间才能停下来． 故答案是：． 17. 如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的外接圆的直径，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ， 解得，． 20. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 【答案】（1） 证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）AC的长为． 【解析】 【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD； （2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长． 21. 二次函数的图象经过． （1）求二次函数的表达式； （2）将该二次函数图象向上平移______个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，二次函数顶点恰好在x轴上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵平移后二次函数图象恰好与x轴有1个公共点， ∴二次函数顶点恰好在x轴上，则平移后的顶点坐标为， ∵， ∴将该二次函数图象向上平移个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 故答案为：． 22. 甲、乙、丙三人分别从A，B，C这3个检票通道中随机选择1个通道进入游乐园． （1）甲选择C通道的概率______； （2）求甲、乙、丙选择同一通道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算； （2）先利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：甲选择C通道的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： 由树状图知，共有27种等可能结果，其中甲、乙、丙选择同一通道的有3种等可能结果， 则甲、乙、丙选择同一通道的概率为． 23. 某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为______，图1中m的值是______． （2）本次调查获取的样本数据的众数为______元、中位数为______元； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 【答案】（1）50，40 （2）30，30 （3）该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1288人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，众数即出现次数最多的数据、中位数将数据排序后中间数据或中间两个数据的平均数，熟练掌握统计图的意义，三数的概念是解题的关键． （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可． （2）根据众数，中位数的定义计算． （3）根据样本估计总体的思想计算． 【小问1详解】 解：∵(人)，， 所以接受随机调查的学生人数为50人，， 故答案为：50，40． 【小问2详解】 解：根据题意，众数是30元， 中位数是（元）， 故答案为：30；30． 【小问3详解】 解：（人）             ∴估计本次捐款金额不少于30元的学生有1288人． 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上． （2）已知点，在二次函数图象上，若，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， ∴不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将函数化为，由此可得恒过定点为，进而求解可得该函数图象的顶点在函数的图象上，则无论为何值，该函数图象恒过定点，即可得出答案； （2）求出二次函数的对称轴为直线，分三种情况：当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴对称轴， ∵， ∴二次函数的开口方向朝上， 当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时随的增大而增大，则，不符合题意，舍去； 当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时随的增大而减小，则，符合题意； 当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ， 解得：， ∴的取值范围为． 综上所述，的取值范围为． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径． 【答案】 （1）连结DO、DE， ∵AE为直径， ∴∠ADE=90° ∵∠C＝90°， ∴∠ADE=∠C＝90°， ∴DE∥CB， ∴∠EDB=∠DBC， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠A＝∠CBD， ∴∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB， ∵∠ODB=∠EDB+∠ODE=∠ADO+∠ODE=∠ADE=90°， ∴BD是⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连结DO、DE，由AE为直径，可得∠ADE=90°，由∠C＝90°，可证DE∥CB，可证∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，通过计算∠ODB=∠ADE=90°即可； （2）先证△DCB∽△BCA，可得，求出，再证△ADE∽△ACB，可得，求出 ，在Rt△ADE中由勾股定理即可． 【详解】解：（1） 略 （2）∵∠A＝∠CBD，∠DCB=∠BCA， ∴△DCB∽△BCA， ∴， ∵CD＝1，BC＝2， ∴， ∵DE∥CB， ∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB=90°， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AD=AC-CD=4-1=3， ∴， ∴， 在Rt△ADE中 ， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆的切线判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 26. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 【答案】（1）销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得， 解得， 由题意得， ∴不合题意，舍去， ∴， 答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； 【小问2详解】 解：设商品的利润为w元，由题意得 （）， ∵-2＜0， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200， 答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围． 27. 【感知】 如图①，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），． 易证：（不要求证明）． 【探究】 如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：． （2）若，则的长为_____________． 【应用】 如图③，在中，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作与边交于点E． （3）当时，求的长． （4）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：由三角形外角的性质可得：； ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）； （3）或； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解； （2）设，利用相似三角形的性质，求解即可； （3）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （4）分两种情况，、，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 由（1）得，则，即 解得， 【小问3详解】 解：设，则 ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 化简可得：， 解得或 即或 【小问4详解】 解：由（3）可得， ∴， 则为等腰三角形，有两种情况，或 当时 由（3）可得，，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 则， ∴， ∴， 设，则，， ， 由可得，，即， 解得， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标； （3）如图②，E为线段上的动点，射线与线段交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过P作于点E，过点D作于F，求出，证明，得出，证明，根据，求出，得出，即可得出答案； （3）过点N作轴，交直线于点H，，得出，求出直线的表达式为，设，得出N的坐标为，其中，求出，得出，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：过P作于点E，过点D作于F，如图所示： ∴， ∵C为抛物线与y轴交点， ∴， ∵点D坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点N作轴，交直线于点H，则， 又∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入，得， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∴， 设， ∴N的坐标为，其中， ∴， ∴， ∵，， ∴时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级第二次联考 数 学 （总分：150分，时长：120分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最低点的坐标为 C. 与x轴有两个公共点 D. 与y轴交点坐标为 4. 已知二次函数，，，为该二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图像判断下列结论：①；②；③，④（其中）；其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知线段，线段x是a、c的比例中项，则x等于______． 10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为________． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 12. 用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________． 13. 将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 14. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______． 16. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 _______s时间才能停下来． 17. 如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为__________． 18. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 21. 二次函数的图象经过． （1）求二次函数的表达式； （2）将该二次函数图象向上平移______个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 22. 甲、乙、丙三人分别从A，B，C这3个检票通道中随机选择1个通道进入游乐园． （1）甲选择C通道的概率______； （2）求甲、乙、丙选择同一通道的概率． 23. 某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为______，图1中m的值是______． （2）本次调查获取的样本数据的众数为______元、中位数为______元； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上． （2）已知点，在二次函数图象上，若，求m的取值范围． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径． 26. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 27. 【感知】 如图①，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），． 易证：（不要求证明）． 【探究】 如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：． （2）若，则的长为_____________． 【应用】 如图③，在中，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作与边交于点E． （3）当时，求的长． （4）当是等腰三角形时，直接写出的长． 28. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标； （3）如图②，E为线段上的动点，射线与线段交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $