假期作业四 圆的方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教B版）

受快乐假期 假期作业四 圆的 《思维整合室 Twe之eng he s 知识梳理 1.设圆的圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标 准方程是 ,当圆的圆心在 坐标原点时，圆的半径为，则圆的标准方 程是 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若点 P在圆外，则d .若点P在圆上，则 d r.若点P在圆内，则d r. 3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)当 时，方程表示一个点， 该点的坐标为 (2)当 时，方程不表示任何 图形 (3)当 时，方程表示的曲线为 圆，它的圆心坐标为 ,半径等于 ,上述方程称为圆的一般式方程. 4.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx +Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx 十Ey十F=0,可以得出如下结论.当二元二 次方程具有条件： (1)x和y的系数相同，且不等于0，即 (2)没有xy项，即 (3) 时，它才表示圆」 自测自查 1.(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2 2.> 3.(1)D2+E2-4F=0 （号-》 (2)D2+E2-4F<0 (3)D2+E2-4F>0 （号-》 名D+E-正 4.(1)A=C(2)B=0(3)D+E-4AF>0 0M-= 方程 运筹帷幄之中，决胜千里之外。 完成日期： 要点记忆 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心 坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则 设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a, b,r的方程组，从而求出a,b,r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选 择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E,F的方程组，进而求D,E,F的值， 〈《技能提升台 技能提升 1.点P(m,5)与圆x2+y=24的位置关系是 A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 2.圆C:x2+y2+2x+4y-3=0的圆心坐 标是 () A.(1,2) B.(2,4) C.(-1,-2) D.(-1,-4) 3.圆的一条直径为x=2(一2≤y≤0)，则此圆 的方程是 A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x+2)2+(y+1)2=1 4.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别 为2和3的圆的方程为 A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y2+2x+3y=0 三-0022 5.(多选)若坐标原点在圆(x一m)+（y十m) =4的内部，则实数m的取值可以是() A.-1 B.2 C.-√2 D.1 6.(多选)若直线mx十2ny一4=0始终平分圆 x2+y2一4x一2y-4=0的周长，则mn的取 值可以是 () A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.给出以下五个点的坐标：①(1,1)，②(2,1)， ③(0,0)，④（√2，√2），⑤(2,0)以上各点在圆 (x-1)2+(y-1)2=2上的是 (写 出所有可能的序号) 8.已知圆x2+y2一2x一4y=0,求该圆的圆心 坐标为 9.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A, 点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程 是 10.设点P(x,y)是圆x2十(y+4)2=4上任意 一点，则√(x一1)2+(y一1)的最大值为 11.已知一圆过P(4,-2),Q(一1,3)两点，且 在y轴上截得的线段长为4√3，求圆的 方程 劇高二数学垫) 12.已知实数x、y满足方程x2+y2一4x+1=0. (1)求立的最大值和最小值： (2)求y一x的最大值和最小值； (3)求x2+y2的最大值和最小值. 高考冲浪 1.(2024·北京卷，3)圆x2+y2一2x+6y=0 的圆心到x一y+2=0的距离为() A.√2 B.2 C.3 D.3√2 2.(2023·上海卷，7)已知圆C:x2+y2-4y m=0的面积为元，则m=快乐假期 期作业四 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B 4.A[设圆的一般方程为x2+y2十Dx+Ey+F= 0,过坐标原点，则F=0,即x2十y2十Dx十Ey=0, 令x=0,则y2十Ey=0,y=-E=3,.E=一3. 令y=0,则x2+Dx=0,x=-D=2,.D=-2. .所求圆的方程为：x2十y2-2x一3y=0.] 5.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的内 部，则有(0一m)2十(0十m)2<4,解得一√2<m <√2.] 6.ABC[可知直线mx十2y-4=0过圆心(2,1)， 有2m十2n-4=0,即n=2-m,则mm=m·(2 m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1.] 7.③⑤8.(1,2) 9.(x-2)2+(y+1)2=4 10.√26+2 11.解：方法一：设圆的方程为x十y2十Dx十Ey十F =0 ① 将P,Q的坐标分别代入①，得 14D-2E+F+20=0, ② D-3E-F-10=0, ③ 令x=0,由①得y2+Ey十F=0, ④ 由已知y1一y2|=4√3，其中y1,y2是方程④的 两根。 ∴.(y1-y2)2=(y+y2)2-4yy2=E-4F=48,⑤ D=-2, D=-10; 联立②③⑤解得 E=0, 或{E=-8, F=-12,F=4. 故所求方程为x2+y2一2x-12=0或x2+y2 10x-8y+4=0. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y -1=0. .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其 坐标为(a,a-1).又圆C的半径长r=|CP|= √(a-4)+(a+1). ① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√5，而圆心 C到y轴的距离为a. .r2=a2十 4√3 ,代入①并将两端平方得a 2 6a十5=0，解得a1=1,a2=5, r1=√13，r2=√/37. 故所求圆的方程为(x-1)2十y2=13或(x一5)2 +(y-4)2=37. 12.解：原方程化为(x一2)2+y2 =3,表示以，点C(2,0)为圆 心，以√为半径的圆. (1)设义=k,即y=kx, 由图可知当直线y=kx与 圆相切时，斜率k取最大值和最小值， Rt△AOC中，tan∠AOC= 3 =√3， √22-3 故的最大值为√，由对称性知的最小值为 -5. 故义的最大值为√5，最小值为一√5. (2)设y-x=b,即y=x十b, 由图可知当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得 最大值和最小值，此时2-0十b=5, √2 即b=-2土√6. 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2一√6. (3)x2十y表示圆上，点与原点距离的平方，由图 知x2十y2的最大值为(OC十√5)2=(2十√3)2= 7+45. 最小值为(OC-√3)2=(2-√5)2=7-4√5. 高考冲浪 1.D[圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x一 1)2+(y+3)2=10,圆心坐标为(1，-3)，因此圆心 到直线x一y十2=0的距离d= 1+3+2 √T12+(-1)2T 3√2.] 2.解析：22+(y-2)2=m十4，r2=工=1，由题意m十 4=1→m=-3. 答案：一3