专题01 条件概率与全概率公式、独立事件（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册
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内容正文：
专题01 条件概率与全概率公式、独立事件
题型01 条件概率的计算
1．
【答案】B
【分析】分数学小组调去物理小组的是男生和从数学小组调去物理小组的是女生，两类情况讨论，再结合互斥事件和事件概率公式即可求解.
【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ，
数学小组共人，调男生的概率为；
调整后物理小组共人，男生变为人，
此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：，
情况2：从数学小组调去物理小组的是女生，
调女生的概率为；
调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为；
该情况的联合概率为：，
故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为.
2．
【答案】A
【分析】通过条件概率公式即可求解.
【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”，
从个球中任取个，总取法为种，
包含一红一白、两红两类情况，共种，故，
两红的取法共种，故，
由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确.
3．
【答案】A
【详解】 .
4．
【答案】B
【分析】对按除以3余数分3类，分别求出满足事件的样本数，满足的样本数，进而求出．
【详解】按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个；
余数2：2，5，8，共3个，
事件“至少有一个数为3的倍数”，
总选法为种；
“这三个数都不是3的倍数”，选法为种；
则满足事件的样本数为，
事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”：
三个同余，共种；
三个余数各不同，共种；
其中无3的倍数且和为3的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种，
故满足的样本数为，
故．
5．
【答案】D
【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值.
【详解】由题意可得，
“甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则，
由条件概率公式可得.
6．
【答案】
【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再代入条件概率定义式计算即可得到结果.
【详解】事件可拆分为两个互斥事件与的和事件，
根据互斥事件的概率加法公式可得： ，
又因为，，
所以，
根据条件概率的定义可得： .
7．
【答案】/
【详解】因为，，所以．
题型02 条件概率的性质
1．
【答案】D
【分析】利用条件概率公式、对立事件概率公式及概率基本性质逐项计算即可得.
【详解】对A、B：因为，所以；
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以AB错，
对C：因为，所以C错，
对D：因为，故D正确．
2．
【答案】B
【分析】由及求得，再由概率的性质、条件概率的求法求概率.
【详解】由，则，故，
由，则，且，
所以.
3．
【答案】AC
【分析】本题考查条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式的应用，通过已知条件计算各选项对应的概率值即可判断正误.
【详解】对于A，,，故选项A正确；
对于B，,,,故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，由选项A，选项C可知，，，故选项D错误.
4．
【答案】ABD
【分析】由条件概率公式，求出判断B选项；由求出判断A选项；由求出，结合条件概率公式计算判断C选项；由，求出判断D选项
【详解】已知，因此，
根据条件概率公式，得，因此选项B正确；
对任意事件，有，代入得： ，因此选项A正确；
验证选项D： 根据条件概率公式： ，因此D正确；
验证选项C： 先计算，，
因此 ，选项C错误.
5．
【答案】BCD
【分析】根据条件概率公式进行计算即可.
【详解】因为对于随机事件，，，且，，
所以，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
6．
【答案】
【分析】应用条件概率公式计算求解.
【详解】根据条件概率公式可得，，
结合题设，代入，，
可得，所以解得.
题型03 全概率公式及其应用
1．
【答案】A
【详解】任取1件，这件产品来自甲车间为事件A，这件产品为次品为事件B，
则，，，，
可得，
故取到次品的概率为.
2．
【答案】C
【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率．
【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件，
则，，，，
所以．
3．
【答案】D
【详解】，
事件可以拆分为两个互斥事件的和：，则，
，
，
代入上式得到全概率公式：，
代入具体数值得：.
4．
【答案】C
【分析】利用条件概率，全概率公式求解.
【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”,
总采购套数是（套），所以,,
由题意可知，
由全概率公式，得总故障概率是
，
所以甲供应商责任概率是,
乙供应商责任概率是,
丙供应商责任概率是,
所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为.
5．
【答案】C
【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，
又
设小明答对试题为事件，则由已知得：，，，
由全概率公式得：．
6．
【答案】
【分析】分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可.
【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”，
掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率；
出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率；
则摸到白球的总概率为：.
题型04 贝叶斯公式及其应用
1．
【答案】A
【分析】借助贝叶斯公式计算即可得.
【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”，
事件表示“小明答对了选中的题目”，
则
.
2．
【答案】B
【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率．
【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”，
，，，，
所以．
3．
【答案】B
【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）.
由题意知，，；，；，，
由全概率公式得
.
所以，
，
，
因为，所以次品来自第2台车床的概率最大.
4．
【答案】B
【分析】先使用全概率公式求出试验为阳性的概率，再使用贝叶斯公式求出这个条件概率.
【详解】设A事件为“该人患有癌症”，B事件为“试验反应是阳性”，
则，
根据全概率公式得
，
根据贝叶斯公式得，
则.
5．
【答案】A
【详解】设为第天选套餐，则为第天选套餐.
，，，；
；
；
；
.
6．
【答案】
【分析】通过贝叶斯公式和全概率公式求解.
【详解】①由题意得，.
在的前提下，另一个奖品在中，若在中，则，
若在其余位置，.
则.
在的前提下，令两个奖品在中，.
则.
所以.
所以.
②由题意得，，
.
题型05 相互独立的判断
1．
【答案】D
【详解】抛掷一枚均匀硬币3次，共8种等可能结果：
事件：既有正面又有反面，对立事件为全正或全反，故 .
事件：至多一次正面，即0次正面或1次正面，共种结果，故 .
事件：既有正面又有反面且至多一次正面，即恰好1次正面，共3种结果，故 .
选项A：，，二者不相等，A错误.
选项B、C：与存在公共结果（恰好1次正面），不互斥，更不对立，B、C错误.
选项D：，满足独立事件定义，D正确.
2．
【答案】A
【分析】先求出，再结合互斥事件、独立事件的定义及相关概率公式逐一判断各选项.
【详解】,那么
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，由可知，事件M与N不相互互斥，故选项错误；
对于D，由于事件M与N相互独立，故事件与相互独立,
所以，错误.
3．
【答案】AB
【详解】选项A：事件A为“第一次向下的数字为2或3”，所以第一次抛满足事件A的结果有2种，，所以选项A正确；
抛掷正四面体木块两次，总的事件数为种.
对于事件B“两次朝下的数字积为偶数”，其对立事件为“两次朝下的数字积为奇数”，即两次均为奇数（1或3），所以，；
对于事件“第一次为2或3，且积为偶数”：若第一次为2，第二次有4种情况；若第一次为3，第二次必须为2或4，有2种情况，所以.
选项B：因为，所以事件A与事件B相互独立，B选项正确.
选项C：互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件.
第一次向下数字为2，第二次向下数字为3，既满足事件A，也满足事件B.
所以两事件可以同时发生，故不是互斥事件，C选项错误.
选项D：根据概率加法公式，所以D选项错误.
4．
【答案】AC
【分析】事件A包含的基本事件为，事件B包含的基本事件为，事件C包含的基本事件为，事件D包含的基本事件为，根据对立事件、互斥事件及独立事件的概念判断.
【详解】从袋中一次性随机摸出2个球包含的基本事件共种，事件A包含的基本事件共种，概率为，事件B包含的基本事件共种，概率为，，所以和互为对立事件，A选项正确；
事件A包含的基本事件为，
事件C包含的基本事件为，
事件A与事件C有公共基本事件，所以和不是互斥事件，B选项错误；
事件B包含的基本事件为，事件B与事件C没有公共基本事件，C选项正确；
事件D包含的基本事件为，概率为，
事件A与事件D有公共基本事件，，
所以和不是相互独立事件，D选项错误.
5．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断.
【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间，
事件.
对于A：，A正确；
对于B：，
则，因此事件与事件相互独立，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：当摸出的两张卡牌编号为时，事件与事件同时发生，因此事件与事件不为互斥事件，D错误.
题型06 独立事件的概率计算
1．
【答案】A
【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】，为两个相互独立的随机事件，可知与，与，与也是相互独立的，
由得，
即，即，
所以.
2．
【答案】D
【详解】甲、乙至少有1人猜对的概率.
3．
【答案】BCD
【分析】利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式及对立事件概率公式，逐一计算各选项对应概率判断正误即可．
【详解】由题意得，且相互独立，
对于选项A：根据和事件概率公式，
因相互独立，所以，
所以，所以A错误；
对于选项B：技术难题被攻克的概率等于两个小组至少有一个攻克，即其对立事件为两个小组都未攻克，
故所求概率为，所以B正确；
对于选项C：只有一个小组受奖励包含两种互斥情况：仅甲攻克、仅乙攻克，
其概率为，所以C正确；
对于选项D：两个小组均受奖励即两个小组都攻克，概率为，所以D正确．
4．
【答案】/
【分析】将两轮共猜对个灯谜拆分为“甲猜对个且乙猜对个”、“甲猜对个且乙猜对个”两个互斥事件，结合独立重复试验、独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.
【详解】设事件、分别表示甲两轮猜对个、个灯谜，
事件、分别表示乙两轮猜对个、个灯谜，
根据独立重复试验的概率公式，可得 ，
，
， ，
设事件为“两轮活动中猜对个灯谜”，
则，且与互斥，与、与分别相互独立，
所以 ，
代入数值计算得.
5．
【答案】
【详解】由题意可知，乙只投1次包含两种情况：
甲第1次未中，乙第1次投中，比赛结束.
甲第1次未中，乙第1次未中，甲第2次投中，比赛结束.
所以乙只投了1个球的概率
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判定事件独立性，根据相互独立事件的概率计算；
（2）根据对立事件的概率计算.
【详解】（1）设“甲射击一次命中目标”为事件，“乙射击一次命中目标”为事件，
两人都命中目标的概率为.
（2）两人都未命中目标的概率为.
至少有一人命中目标的概率.
题型07 独立事件与条件概率的综合
1．
【答案】A
【详解】成功完成三步要求三步都成功．第二步成功的条件概率为，第三步成功的条件概率为．由乘法公式，.
2．
【答案】C
【详解】对于A选项，事件“”表示与至少有一个发生，其概率应为：，
由于相互独立，所以，故，所以A错误；
对于B选项，对于独立事件，正确的乘法公式是：，所以B错误；
对于C选项，由条件概率公式：，因为相互独立，所以，
代入上式：， 所以C正确；
对于D选项，由C选项已得，而题目并没有给出的条件，
所以一般不等于，例如：若，，则，所以D错误．
3．
【答案】A
【分析】先算出 ；结合 求出交事件概率 ；再用条件概率公式计算 .
【详解】条件概率性质：, ，得，而，
由条件概率公式，得 = ，又，
由条件概率公式得=，A正确.
4．
【答案】D
【详解】由事件A和B相互独立，，，得，
，
，所以.
5．
【答案】D
【分析】利用相互独立事件的性质得到事件的概率，再结合对立事件概率和为1计算.
【详解】因为相互独立，所以，又，所以，
所以.
6．
【答案】
【分析】设表示向右的次数，可得服从二项分布，根据与的关系，求得，再求出，利用条件概率公式求解.
【详解】记表示向右的次数，则服从二项分布，
此时质点对应的数，
记“”为事件，，，
于是：，
记事件“有且仅有一次经过1”为，
则事件的情况有：，，，，（其中表示向右走，表示向左走），共种，
则，于是.
7．
【答案】
【分析】设相应事件，根据对立事件以及独立事件概率求法可得，，结合条件概率公式运算求解.
【详解】由题意可知：每个孩子生日在星期一的概率为，不在星期一的概率为，
设该家庭有孩子的生日在星期一为事件A，该家庭两个孩子的生日都在星期一为事件B，
则，，
所以.
综合攻坚·知能拔高
1．
【答案】A
【分析】先由推出，利用时转化问题，再分别统计条件下的总事件数和符合要求的事件数，代入条件概率公式计算.
【详解】原集合共个元素，由可得，且是不同非空子集，
故， 又时，，
因此恰有3个元素，等价于本身恰有3个元素，
用事件表示取出两个不同非空子集满足，用事件表示恰有 3 个元素，
对元素数为的集合，其非空真子集的个数为，按的元素个数分类求和，
，
先选3元集合，共种；需包含且，
原集合剩余个元素，每个元素可选入或不选入，减去的情况，
共种， 因此，
.
2．
【答案】A
【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再根据独立事件的乘法和概率加法公式求解．
【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分，
符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、
甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率；
情况二：甲赢4局，乙赢2局，
从6局中选4局甲赢，有种，
其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、
乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种，
则符合题意的获胜情况有9种，此时概率；
情况三：甲赢5局，乙赢1局，
符合题意的情况有种，此时概率；
情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率；
综上，概率．
3．
【答案】D
【分析】分别用字母表示事件，根据条件概率及全概率公式分析求解.
【详解】记表示第一天吃巧乐兹，则，
表示第一天喝雪碧，则，
表示第二天吃巧乐兹；表示第二天不吃巧乐兹，
表示第二天喝雪碧.
则，，
所以.
连续两天吃巧乐兹=第一天吃巧乐兹且第二天也吃巧乐兹，
由，，所以只需求.
在第一天吃巧乐兹的前提下，第二天分两种互斥情况：第二天喝雪碧、第二天不喝雪碧.
所以
已知，，
,
但题目未给出条件概率，故无法完成计算.
4．
【答案】D
【分析】根据超几何分布计算得到“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”的期望，根据全概率公式计算最终结果即可.
【详解】设随机变量表示“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”，因此随机变量服从超几何分布，即，因此，
设事件为从样品检测台上取一件样品是样品，则当时，此时从检测台上取1件是 A 的条件概率为，
为与中的最小值，则由全概率公式，可得，
因此.
5．
【答案】C
【分析】先对化简，得到，然后对每个选项逐一判断即可.
【详解】，,
又，，，即.
又，代入上式可得，整理得.
对于A选项，若互斥，则，此时，又，，与矛盾，故不可能互斥，A选项错误.
对于B选项，若相互独立，则，与矛盾，故不可能相互独立，B选项错误.
对于C，D选项，，，，即，故C选项正确，D选项错误.
6．
【答案】C
【分析】首先根据等比数列公式，设出每个箱中的小球数和红球占比率，再结合全概率和贝叶斯公式求解.
【详解】因为号箱、号箱、号箱的球数依次成等比数列，公比为
且依此顺序的三个箱子里的红球占比率也依次成等比数列，公比为
设号箱中有个球，红球占比率为，
则号箱中有个球，红球占比率为，号箱中有个球，红球占比率为，
由全概率公式可得：
所以
得：或.
7．
【答案】C
【分析】分析事件包含的所有情况，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的乘法公式即可求得.
【详解】时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000.
则.
8．
【答案】AC
【分析】利用贝叶斯公式依次分析求解即可.
【详解】设：实际感染，：未感染,则，，
记表示试剂A检测阳性，表示试剂A检测阴性，表示试剂B检测阳性，表示试剂B检测阴性，
则试剂A：，
试剂B：,
对于A项，根据贝叶斯公式
，故A正确；
对于B项，根据贝叶斯公式
，
因为，所以若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率高于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率，故B错误；
对于C项，丙使用试剂A检测，试剂B复检，两次检测结果独立，
则丙两次检测均为阳性的概率为,
两次检测均为阳性的概率为 ，
由贝叶斯公式，故C正确；
对于D项，，
根据贝叶斯公式，故D错误.
9．
【答案】AC
【分析】根据题意列出甲队至少要赢场的情况并确定对应积分判断A，应用独立事件的乘法及互斥事件加法求出对应概率判断B、D，分析不同结果对应两队的积分之和，进而得到14分对应的胜负分布情况判断C.
【详解】A，由题意可知，甲队需要比赛场，
若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场．
若甲队赢场，则甲队的积分为分，
若甲队赢场平场，则甲队的积分为分，
若甲队赢场负场，则甲队的积分为分．
综上，甲队的积分不可能为分，A正确；
B，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场，
所以，甲队积分为分的概率为，B错误；
C，对于每一场，
若一场比赛能决出胜负，则该两队的积分之和为分，
若一场比赛为平局，则该两队的积分之和为分，
所以每场比赛两队的积分之和为分或分，
由题意可知，四支队伍比赛的总场数为，
由于，故只有场比赛中有场是平局，有场能决出胜负，
此时四支球队的积分总和为 分，C正确；
D，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况：
①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁，
此时概率为，
②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负，
此时的概率为，
③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁，
此时的概率为．
综上，甲队胜场且乙队负场的概率为，D错误.
10．
【答案】(1)甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为
(2)
【分析】（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，由题意得，，且，解方程即可求解；
（2）利用互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，乙战胜丙的概率为，
则由题意有，．解得，，
即一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为．
（2）总共比赛场就结束的情况分为从第场起甲连胜场和乙连胜场两种，
总共比赛场结束只会出现在第场丙上场后连胜场（无论第场比赛的结果如何）的情况．
将这三种情况依次记为事件，显然互斥．
由（1）的结果可知，，．
所以比赛总场数不超过场的概率等于．
11．
【答案】(1)的分布列为
1
2
3
4
数学期望2
(2)证明：根据条件概率公式可知，．
当，即时，表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，则．
表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，
，
所以．
(3)
【分析】（1）分类讨论单次投篮终止轮次的四种互斥情形，利用独立事件乘法公式计算各取值对应概率得到分布列，再结合数学期望定义式代入求值.
（2）依据条件概率公式拆分式子，结合连续投篮全部未命中的独立事件概率公式分别表示与，作比值化简完成证明.
（3）先算出单轮甲得分、乙得分、双方零分的三类互斥概率，再分类求出三轮后甲总分高于乙的全部得分组合的概率，求和得到甲最终获胜的总概率.
【详解】（1）的可能取值为1，2，3，4．
表示第一次甲命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，，
表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），，
所以的分布列为
1
2
3
4
数学期望．
（2）略
（3）当，时，
单轮比赛中甲得1分，即第1次甲命中或第3次甲命中，(甲1分，乙0分)，
乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，(乙1分，甲0分)，
甲、乙均为0分的概率(甲0分，乙0分)．
设3轮比赛中甲得分为，乙得分为．
当，时，表示3轮比赛甲全得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，乙1轮得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，1轮双方0分，，
当，时，表示3轮比赛甲1轮得分，另外两轮双方0分，，
所以甲最终获胜的概率．
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专题01 条件概率与全概率公式、独立事件
常考题型·精准突破
题型01 条件概率的计算（高频）
题型02 条件概率的性质
题型03 全概率公式及其应用（重）
题型04 贝叶斯公式及其应用（难）
题型05 相互独立的判断
题型06 独立事件的概率计算
题型07 独立事件与条件概率的综合（重）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
题型01 条件概率的计算
1．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知随机事件，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知随机事件A，B，若，，则_______.
7．（25-26高二下·青海西宁·阶段检测）已知随机事件A，B满足，，则______．
题型02 条件概率的性质
1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知，是两个随机事件，若，，，记，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期末）已知随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期中）对于随机事件，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高二下·安徽六安·期末）设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________.
题型03 全概率公式及其应用
1．（25-26高二下·广东梅州·期末）由甲、乙两个车间生产的一批产品中，甲车间出品占70%，次品率为4%，乙车间出品占30%，次品率为2%，从这批产品中任取1件，取到次品的概率为（ ）
A．0.034 B．0.03 C．0.036 D．0.032
2．（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·湖北随州·期末）设A，B是两个随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（ ）
A． B． C． D．
所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为.
5．（25-26高二下·福建漳州·期末）某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200．已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________.
题型04 贝叶斯公式及其应用
1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·湖北十堰·期末）已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．（25-26高二下·江苏无锡·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（ ）台车床的概率最大
A．1 B．2 C．3 D．无法判断
4．（25-26高二下·重庆·期中）某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（ ）
A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098
5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·浙江湖州·期末）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______．
题型05 相互独立的判断
1．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记事件“3次中既有正面朝上又有反面朝上”，“3次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（ ）
A．
B．事件和事件对立
C．事件和事件互斥但不对立
D．事件和事件独立
2．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若事件M、N满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．事件M与N相互独立 B．
C．事件M与N互斥 D．
3．（多选）（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次朝下的数字为2或3”，事件B为“两次朝下的数字积为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B互斥 D．
4．（多选）（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）一个不透明的袋子中装有大小和质地均相同的5个球，其中有编号为1，2，3的3个红球，编号为4，5的2个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，分别记录编号为，.设事件“2个球的颜色不同”，“2个球的颜色相同”，“”，“”，则（ ）
A．和互为对立 B．和互斥
C．和互斥 D．和相互独立
5．（多选）（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B相互独立
C． D．事件B与事件C为互斥事件
题型06 独立事件的概率计算
1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（26-27高二上·河北保定·阶段检测）某科技公司成立了甲、乙两个科研小组，决定对某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙两个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，，设事件，分别表示“甲、乙两个小组各自独立攻克该技术难题”，则（ ）
A．
B．该技术难题被攻克的概率为
C．只有一个小组受到奖励的概率等于
D．甲、乙两个小组均受到奖励的概率为
4．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）甲、乙两人组队参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，每轮里甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则在两轮活动中猜对三个灯谜的概率为______．
5．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为__________．
6．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是，计算：
(1)两人都命中目标的概率；
(2)至少有一人命中目标的概率．
题型07 独立事件与条件概率的综合
1．（25-26高二下·全国·课后作业）某科研过程分为三步，第一步成功的概率为；若第一步成功，则第二步失败的概率为；若前两步成功，则第三步失败的概率为．成功完成三步的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·北京·期末）设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于事件，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知事件A和B相互独立，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（ ）
A．0.3 B．0.15 C．0.85 D．0.7
6．（25-26高二下·广西玉林·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动次后质点对应的数为，在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是__________．
7．（25-26高二下·广东东莞·期末）随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合M，N，则在的条件下中恰有3个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·河南郑州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·四川成都·期末）小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（ ）
A．0.16464 B．0.15
C．0.189993 D．题目条件不足，无法求出最后答案
4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）随机事件发生的概率分别为且，若，则（ ）
A．可能互斥 B．可能相互独立
C． D．
6．（25-26高二下·福建泉州·期末）编号为，，的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子的所有小球混合，然后从中任取一个小球，设“取到的小球为红球”，“小球取自号箱”．若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）某地区流行一种传染病，人群中感染率为5%.现有两种检测试剂：
试剂A：对感染者的检测阳性率为95%，对未感染者误检测阳性率为10%.
试剂B：对感染者的检测阳性率为90%，对未感染者误检测阳性率为5%.
已知医生对甲仅使用试剂A检测，对乙仅使用试剂B检测，对丙使用试剂A检测，试剂B复检，四次检测结果独立.下列说法正确的有（ ）
A．若甲的检测为阳性，则甲实际感染的概率约为33%
B．若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率低于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率
C．若丙的两次检测均为阳性，则丙实际感染的概率不低于90%
D．若乙的检测为阴性，则乙实际感染的概率高于0.6%
9．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ）
A．甲队的积分不可能为8分 B．甲队积分为3分的概率为
C．四支球队的积分总和可能为14分 D．甲队胜2场且乙队负2场的概率为
10．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行比赛的相互胜率在各场比赛中均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为．（注：羽毛球比赛没有平局．）
(1)分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率；
(2)现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者．当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率．
11．（25-26高二下·河北张家口·期末）设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数．
(1)当时，求的分布列与数学期望；
(2)设为正整数，当时，证明：；
(3)当，时，求甲最终获胜的概率．
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专题01 条件概率与全概率公式、独立事件
常考题型·精准突破
题型01 条件概率的计算（高频）
题型02 条件概率的性质
题型03 全概率公式及其应用（重）
题型04 贝叶斯公式及其应用（难）
题型05 相互独立的判断
题型06 独立事件的概率计算
题型07 独立事件与条件概率的综合（重）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
题型01 条件概率的计算
1．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分数学小组调去物理小组的是男生和从数学小组调去物理小组的是女生，两类情况讨论，再结合互斥事件和事件概率公式即可求解.
【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ，
数学小组共人，调男生的概率为；
调整后物理小组共人，男生变为人，
此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：，
情况2：从数学小组调去物理小组的是女生，
调女生的概率为；
调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为；
该情况的联合概率为：，
故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为.
2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过条件概率公式即可求解.
【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”，
从个球中任取个，总取法为种，
包含一红一白、两红两类情况，共种，故，
两红的取法共种，故，
由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确.
3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知随机事件，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 .
4．（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对按除以3余数分3类，分别求出满足事件的样本数，满足的样本数，进而求出．
【详解】按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个；
余数2：2，5，8，共3个，
事件“至少有一个数为3的倍数”，
总选法为种；
“这三个数都不是3的倍数”，选法为种；
则满足事件的样本数为，
事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”：
三个同余，共种；
三个余数各不同，共种；
其中无3的倍数且和为3的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种，
故满足的样本数为，
故．
5．（25-26高二下·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值.
【详解】由题意可得，
“甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则，
由条件概率公式可得.
6．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知随机事件A，B，若，，则_______.
【答案】
【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再代入条件概率定义式计算即可得到结果.
【详解】事件可拆分为两个互斥事件与的和事件，
根据互斥事件的概率加法公式可得： ，
又因为，，
所以，
根据条件概率的定义可得： .
7．（25-26高二下·青海西宁·阶段检测）已知随机事件A，B满足，，则______．
【答案】/
【详解】因为，，所以．
题型02 条件概率的性质
1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件概率公式、对立事件概率公式及概率基本性质逐项计算即可得.
【详解】对A、B：因为，所以；
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以AB错，
对C：因为，所以C错，
对D：因为，故D正确．
2．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知，是两个随机事件，若，，，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由及求得，再由概率的性质、条件概率的求法求概率.
【详解】由，则，故，
由，则，且，
所以.
3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期末）已知随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】本题考查条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式的应用，通过已知条件计算各选项对应的概率值即可判断正误.
【详解】对于A，,，故选项A正确；
对于B，,,,故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，由选项A，选项C可知，，，故选项D错误.
4．（多选）已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件概率公式，求出判断B选项；由求出判断A选项；由求出，结合条件概率公式计算判断C选项；由，求出判断D选项
【详解】已知，因此，
根据条件概率公式，得，因此选项B正确；
对任意事件，有，代入得： ，因此选项A正确；
验证选项D： 根据条件概率公式： ，因此D正确；
验证选项C： 先计算，，
因此 ，选项C错误.
5．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期中）对于随机事件，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据条件概率公式进行计算即可.
【详解】因为对于随机事件，，，且，，
所以，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
6．（25-26高二下·安徽六安·期末）设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________.
【答案】
【分析】应用条件概率公式计算求解.
【详解】根据条件概率公式可得，，
结合题设，代入，，
可得，所以解得.
题型03 全概率公式及其应用
1．（25-26高二下·广东梅州·期末）由甲、乙两个车间生产的一批产品中，甲车间出品占70%，次品率为4%，乙车间出品占30%，次品率为2%，从这批产品中任取1件，取到次品的概率为（ ）
A．0.034 B．0.03 C．0.036 D．0.032
【答案】A
【详解】任取1件，这件产品来自甲车间为事件A，这件产品为次品为事件B，
则，，，，
可得，
故取到次品的概率为.
2．（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率．
【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件，
则，，，，
所以．
3．（25-26高二下·湖北随州·期末）设A，B是两个随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
事件可以拆分为两个互斥事件的和：，则，
，
，
代入上式得到全概率公式：，
代入具体数值得：.
4．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率，全概率公式求解.
【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”,
总采购套数是（套），所以,,
由题意可知，
由全概率公式，得总故障概率是
，
所以甲供应商责任概率是,
乙供应商责任概率是,
丙供应商责任概率是,
所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为.
5．（25-26高二下·福建漳州·期末）某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200．已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，
又
设小明答对试题为事件，则由已知得：，，，
由全概率公式得：．
6．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________.
【答案】
【分析】分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可.
【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”，
掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率；
出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率；
则摸到白球的总概率为：.
题型04 贝叶斯公式及其应用
1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助贝叶斯公式计算即可得.
【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”，
事件表示“小明答对了选中的题目”，
则
.
2．（25-26高二下·湖北十堰·期末）已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率．
【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”，
，，，，
所以．
3．（25-26高二下·江苏无锡·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（ ）台车床的概率最大
A．1 B．2 C．3 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）.
由题意知，，；，；，，
由全概率公式得
.
所以，
，
，
因为，所以次品来自第2台车床的概率最大.
4．（25-26高二下·重庆·期中）某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（ ）
A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098
【答案】B
【分析】先使用全概率公式求出试验为阳性的概率，再使用贝叶斯公式求出这个条件概率.
【详解】设A事件为“该人患有癌症”，B事件为“试验反应是阳性”，
则，
根据全概率公式得
，
根据贝叶斯公式得，
则.
5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设为第天选套餐，则为第天选套餐.
，，，；
；
；
；
.
6．（25-26高二下·浙江湖州·期末）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______．
【答案】
【分析】通过贝叶斯公式和全概率公式求解.
【详解】①由题意得，.
在的前提下，另一个奖品在中，若在中，则，
若在其余位置，.
则.
在的前提下，令两个奖品在中，.
则.
所以.
所以.
②由题意得，，
.
题型05 相互独立的判断
1．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记事件“3次中既有正面朝上又有反面朝上”，“3次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（ ）
A．
B．事件和事件对立
C．事件和事件互斥但不对立
D．事件和事件独立
【答案】D
【详解】抛掷一枚均匀硬币3次，共8种等可能结果：
事件：既有正面又有反面，对立事件为全正或全反，故 .
事件：至多一次正面，即0次正面或1次正面，共种结果，故 .
事件：既有正面又有反面且至多一次正面，即恰好1次正面，共3种结果，故 .
选项A：，，二者不相等，A错误.
选项B、C：与存在公共结果（恰好1次正面），不互斥，更不对立，B、C错误.
选项D：，满足独立事件定义，D正确.
2．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）若事件M、N满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．事件M与N相互独立 B．
C．事件M与N互斥 D．
【答案】A
【分析】先求出，再结合互斥事件、独立事件的定义及相关概率公式逐一判断各选项.
【详解】,那么
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，由可知，事件M与N不相互互斥，故选项错误；
对于D，由于事件M与N相互独立，故事件与相互独立,
所以，错误.
二、多选题
3．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次朝下的数字为2或3”，事件B为“两次朝下的数字积为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B互斥 D．
【答案】AB
【详解】选项A：事件A为“第一次向下的数字为2或3”，所以第一次抛满足事件A的结果有2种，，所以选项A正确；
抛掷正四面体木块两次，总的事件数为种.
对于事件B“两次朝下的数字积为偶数”，其对立事件为“两次朝下的数字积为奇数”，即两次均为奇数（1或3），所以，；
对于事件“第一次为2或3，且积为偶数”：若第一次为2，第二次有4种情况；若第一次为3，第二次必须为2或4，有2种情况，所以.
选项B：因为，所以事件A与事件B相互独立，B选项正确.
选项C：互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件.
第一次向下数字为2，第二次向下数字为3，既满足事件A，也满足事件B.
所以两事件可以同时发生，故不是互斥事件，C选项错误.
选项D：根据概率加法公式，所以D选项错误.
4．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）一个不透明的袋子中装有大小和质地均相同的5个球，其中有编号为1，2，3的3个红球，编号为4，5的2个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，分别记录编号为，.设事件“2个球的颜色不同”，“2个球的颜色相同”，“”，“”，则（ ）
A．和互为对立 B．和互斥
C．和互斥 D．和相互独立
【答案】AC
【分析】事件A包含的基本事件为，事件B包含的基本事件为，事件C包含的基本事件为，事件D包含的基本事件为，根据对立事件、互斥事件及独立事件的概念判断.
【详解】从袋中一次性随机摸出2个球包含的基本事件共种，事件A包含的基本事件共种，概率为，事件B包含的基本事件共种，概率为，，所以和互为对立事件，A选项正确；
事件A包含的基本事件为，
事件C包含的基本事件为，
事件A与事件C有公共基本事件，所以和不是互斥事件，B选项错误；
事件B包含的基本事件为，事件B与事件C没有公共基本事件，C选项正确；
事件D包含的基本事件为，概率为，
事件A与事件D有公共基本事件，，
所以和不是相互独立事件，D选项错误.
5．（26-27高二上·四川遂宁·阶段检测）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B相互独立
C． D．事件B与事件C为互斥事件
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断.
【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间，
事件.
对于A：，A正确；
对于B：，
则，因此事件与事件相互独立，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：当摸出的两张卡牌编号为时，事件与事件同时发生，因此事件与事件不为互斥事件，D错误.
题型06 独立事件的概率计算
1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】，为两个相互独立的随机事件，可知与，与，与也是相互独立的，
由得，
即，即，
所以.
2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】甲、乙至少有1人猜对的概率.
3．（多选）（26-27高二上·河北保定·阶段检测）某科技公司成立了甲、乙两个科研小组，决定对某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙两个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，，设事件，分别表示“甲、乙两个小组各自独立攻克该技术难题”，则（ ）
A．
B．该技术难题被攻克的概率为
C．只有一个小组受到奖励的概率等于
D．甲、乙两个小组均受到奖励的概率为
【答案】BCD
【分析】利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式及对立事件概率公式，逐一计算各选项对应概率判断正误即可．
【详解】由题意得，且相互独立，
对于选项A：根据和事件概率公式，
因相互独立，所以，
所以，所以A错误；
对于选项B：技术难题被攻克的概率等于两个小组至少有一个攻克，即其对立事件为两个小组都未攻克，
故所求概率为，所以B正确；
对于选项C：只有一个小组受奖励包含两种互斥情况：仅甲攻克、仅乙攻克，
其概率为，所以C正确；
对于选项D：两个小组均受奖励即两个小组都攻克，概率为，所以D正确．
4．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）甲、乙两人组队参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，每轮里甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则在两轮活动中猜对三个灯谜的概率为______．
【答案】/
【分析】将两轮共猜对个灯谜拆分为“甲猜对个且乙猜对个”、“甲猜对个且乙猜对个”两个互斥事件，结合独立重复试验、独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.
【详解】设事件、分别表示甲两轮猜对个、个灯谜，
事件、分别表示乙两轮猜对个、个灯谜，
根据独立重复试验的概率公式，可得 ，
，
， ，
设事件为“两轮活动中猜对个灯谜”，
则，且与互斥，与、与分别相互独立，
所以 ，
代入数值计算得.
5．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为__________．
【答案】
【详解】由题意可知，乙只投1次包含两种情况：
甲第1次未中，乙第1次投中，比赛结束.
甲第1次未中，乙第1次未中，甲第2次投中，比赛结束.
所以乙只投了1个球的概率
6．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是，计算：
(1)两人都命中目标的概率；
(2)至少有一人命中目标的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判定事件独立性，根据相互独立事件的概率计算；
（2）根据对立事件的概率计算.
【详解】（1）设“甲射击一次命中目标”为事件，“乙射击一次命中目标”为事件，
两人都命中目标的概率为.
（2）两人都未命中目标的概率为.
至少有一人命中目标的概率.
题型07 独立事件与条件概率的综合
1．（25-26高二下·全国·课后作业）某科研过程分为三步，第一步成功的概率为；若第一步成功，则第二步失败的概率为；若前两步成功，则第三步失败的概率为．成功完成三步的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】成功完成三步要求三步都成功．第二步成功的条件概率为，第三步成功的条件概率为．由乘法公式，.
2．（25-26高二下·北京·期末）设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A选项，事件“”表示与至少有一个发生，其概率应为：，
由于相互独立，所以，故，所以A错误；
对于B选项，对于独立事件，正确的乘法公式是：，所以B错误；
对于C选项，由条件概率公式：，因为相互独立，所以，
代入上式：， 所以C正确；
对于D选项，由C选项已得，而题目并没有给出的条件，
所以一般不等于，例如：若，，则，所以D错误．
3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于事件，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出 ；结合 求出交事件概率 ；再用条件概率公式计算 .
【详解】条件概率性质：, ，得，而，
由条件概率公式，得 = ，又，
由条件概率公式得=，A正确.
4．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知事件A和B相互独立，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由事件A和B相互独立，，，得，
，
，所以.
5．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（ ）
A．0.3 B．0.15 C．0.85 D．0.7
【答案】D
【分析】利用相互独立事件的性质得到事件的概率，再结合对立事件概率和为1计算.
【详解】因为相互独立，所以，又，所以，
所以.
6．（25-26高二下·广西玉林·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动次后质点对应的数为，在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是__________．
【答案】
【分析】设表示向右的次数，可得服从二项分布，根据与的关系，求得，再求出，利用条件概率公式求解.
【详解】记表示向右的次数，则服从二项分布，
此时质点对应的数，
记“”为事件，，，
于是：，
记事件“有且仅有一次经过1”为，
则事件的情况有：，，，，（其中表示向右走，表示向左走），共种，
则，于是.
7．（25-26高二下·广东东莞·期末）随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________．
【答案】
【分析】设相应事件，根据对立事件以及独立事件概率求法可得，，结合条件概率公式运算求解.
【详解】由题意可知：每个孩子生日在星期一的概率为，不在星期一的概率为，
设该家庭有孩子的生日在星期一为事件A，该家庭两个孩子的生日都在星期一为事件B，
则，，
所以.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合M，N，则在的条件下中恰有3个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由推出，利用时转化问题，再分别统计条件下的总事件数和符合要求的事件数，代入条件概率公式计算.
【详解】原集合共个元素，由可得，且是不同非空子集，
故， 又时，，
因此恰有3个元素，等价于本身恰有3个元素，
用事件表示取出两个不同非空子集满足，用事件表示恰有 3 个元素，
对元素数为的集合，其非空真子集的个数为，按的元素个数分类求和，
，
先选3元集合，共种；需包含且，
原集合剩余个元素，每个元素可选入或不选入，减去的情况，
共种， 因此，
.
2．（25-26高二下·河南郑州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再根据独立事件的乘法和概率加法公式求解．
【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分，
符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、
甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率；
情况二：甲赢4局，乙赢2局，
从6局中选4局甲赢，有种，
其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、
乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种，
则符合题意的获胜情况有9种，此时概率；
情况三：甲赢5局，乙赢1局，
符合题意的情况有种，此时概率；
情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率；
综上，概率．
3．（25-26高二下·四川成都·期末）小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（ ）
A．0.16464 B．0.15
C．0.189993 D．题目条件不足，无法求出最后答案
【答案】D
【分析】分别用字母表示事件，根据条件概率及全概率公式分析求解.
【详解】记表示第一天吃巧乐兹，则，
表示第一天喝雪碧，则，
表示第二天吃巧乐兹；表示第二天不吃巧乐兹，
表示第二天喝雪碧.
则，，
所以.
连续两天吃巧乐兹=第一天吃巧乐兹且第二天也吃巧乐兹，
由，，所以只需求.
在第一天吃巧乐兹的前提下，第二天分两种互斥情况：第二天喝雪碧、第二天不喝雪碧.
所以
已知，，
,
但题目未给出条件概率，故无法完成计算.
4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布计算得到“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”的期望，根据全概率公式计算最终结果即可.
【详解】设随机变量表示“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”，因此随机变量服从超几何分布，即，因此，
设事件为从样品检测台上取一件样品是样品，则当时，此时从检测台上取1件是 A 的条件概率为，
为与中的最小值，则由全概率公式，可得，
因此.
5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）随机事件发生的概率分别为且，若，则（ ）
A．可能互斥 B．可能相互独立
C． D．
【答案】C
【分析】先对化简，得到，然后对每个选项逐一判断即可.
【详解】，,
又，，，即.
又，代入上式可得，整理得.
对于A选项，若互斥，则，此时，又，，与矛盾，故不可能互斥，A选项错误.
对于B选项，若相互独立，则，与矛盾，故不可能相互独立，B选项错误.
对于C，D选项，，，，即，故C选项正确，D选项错误.
6．（25-26高二下·福建泉州·期末）编号为，，的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子的所有小球混合，然后从中任取一个小球，设“取到的小球为红球”，“小球取自号箱”．若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】首先根据等比数列公式，设出每个箱中的小球数和红球占比率，再结合全概率和贝叶斯公式求解.
【详解】因为号箱、号箱、号箱的球数依次成等比数列，公比为
且依此顺序的三个箱子里的红球占比率也依次成等比数列，公比为
设号箱中有个球，红球占比率为，
则号箱中有个球，红球占比率为，号箱中有个球，红球占比率为，
由全概率公式可得：
所以
得：或.
7．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析事件包含的所有情况，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的乘法公式即可求得.
【详解】时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000.
则.
8．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）某地区流行一种传染病，人群中感染率为5%.现有两种检测试剂：
试剂A：对感染者的检测阳性率为95%，对未感染者误检测阳性率为10%.
试剂B：对感染者的检测阳性率为90%，对未感染者误检测阳性率为5%.
已知医生对甲仅使用试剂A检测，对乙仅使用试剂B检测，对丙使用试剂A检测，试剂B复检，四次检测结果独立.下列说法正确的有（ ）
A．若甲的检测为阳性，则甲实际感染的概率约为33%
B．若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率低于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率
C．若丙的两次检测均为阳性，则丙实际感染的概率不低于90%
D．若乙的检测为阴性，则乙实际感染的概率高于0.6%
【答案】AC
【分析】利用贝叶斯公式依次分析求解即可.
【详解】设：实际感染，：未感染,则，，
记表示试剂A检测阳性，表示试剂A检测阴性，表示试剂B检测阳性，表示试剂B检测阴性，
则试剂A：，
试剂B：,
对于A项，根据贝叶斯公式
，故A正确；
对于B项，根据贝叶斯公式
，
因为，所以若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率高于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率，故B错误；
对于C项，丙使用试剂A检测，试剂B复检，两次检测结果独立，
则丙两次检测均为阳性的概率为,
两次检测均为阳性的概率为 ，
由贝叶斯公式，故C正确；
对于D项，，
根据贝叶斯公式，故D错误.
9．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ）
A．甲队的积分不可能为8分 B．甲队积分为3分的概率为
C．四支球队的积分总和可能为14分 D．甲队胜2场且乙队负2场的概率为
【答案】AC
【分析】根据题意列出甲队至少要赢场的情况并确定对应积分判断A，应用独立事件的乘法及互斥事件加法求出对应概率判断B、D，分析不同结果对应两队的积分之和，进而得到14分对应的胜负分布情况判断C.
【详解】A，由题意可知，甲队需要比赛场，
若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场．
若甲队赢场，则甲队的积分为分，
若甲队赢场平场，则甲队的积分为分，
若甲队赢场负场，则甲队的积分为分．
综上，甲队的积分不可能为分，A正确；
B，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场，
所以，甲队积分为分的概率为，B错误；
C，对于每一场，
若一场比赛能决出胜负，则该两队的积分之和为分，
若一场比赛为平局，则该两队的积分之和为分，
所以每场比赛两队的积分之和为分或分，
由题意可知，四支队伍比赛的总场数为，
由于，故只有场比赛中有场是平局，有场能决出胜负，
此时四支球队的积分总和为 分，C正确；
D，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况：
①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁，
此时概率为，
②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负，
此时的概率为，
③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁，
此时的概率为．
综上，甲队胜场且乙队负场的概率为，D错误.
10．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）甲、乙、丙三人相互进行羽毛球比赛，假设任意两人进行比赛的相互胜率在各场比赛中均保持不变，且不同场次的比赛的胜率相互独立．已知甲两场比赛连续战胜乙和丙的概率是，乙两场比赛连续战胜甲和丙的概率是，而乙和丙相互之间的比赛两人胜率各为．（注：羽毛球比赛没有平局．）
(1)分别求一场比赛中甲战胜乙的概率和甲战胜丙的概率；
(2)现规定比赛顺序：第一场甲对乙，第二场是第一场中的胜者对丙，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者．当时，第场比赛都是第场中的胜者对第场中的败者，约定某人连胜四场则比赛结束．求比赛结束时总共的场数不超过场的概率．
【答案】(1)甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为
(2)
【分析】（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，由题意得，，且，解方程即可求解；
（2）利用互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】（1）设每一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为，乙战胜丙的概率为，
则由题意有，．解得，，
即一场比赛中甲战胜乙的概率为，甲战胜丙的概率为．
（2）总共比赛场就结束的情况分为从第场起甲连胜场和乙连胜场两种，
总共比赛场结束只会出现在第场丙上场后连胜场（无论第场比赛的结果如何）的情况．
将这三种情况依次记为事件，显然互斥．
由（1）的结果可知，，．
所以比赛总场数不超过场的概率等于．
11．（25-26高二下·河北张家口·期末）设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数．
(1)当时，求的分布列与数学期望；
(2)设为正整数，当时，证明：；
(3)当，时，求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)的分布列为
1
2
3
4
数学期望2
(2)证明：根据条件概率公式可知，．
当，即时，表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，则．
表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，
，
所以．
(3)
【分析】（1）分类讨论单次投篮终止轮次的四种互斥情形，利用独立事件乘法公式计算各取值对应概率得到分布列，再结合数学期望定义式代入求值.
（2）依据条件概率公式拆分式子，结合连续投篮全部未命中的独立事件概率公式分别表示与，作比值化简完成证明.
（3）先算出单轮甲得分、乙得分、双方零分的三类互斥概率，再分类求出三轮后甲总分高于乙的全部得分组合的概率，求和得到甲最终获胜的总概率.
【详解】（1）的可能取值为1，2，3，4．
表示第一次甲命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，，
表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），，
所以的分布列为
1
2
3
4
数学期望．
（2）略
（3）当，时，
单轮比赛中甲得1分，即第1次甲命中或第3次甲命中，(甲1分，乙0分)，
乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，(乙1分，甲0分)，
甲、乙均为0分的概率(甲0分，乙0分)．
设3轮比赛中甲得分为，乙得分为．
当，时，表示3轮比赛甲全得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，乙1轮得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，1轮双方0分，，
当，时，表示3轮比赛甲1轮得分，另外两轮双方0分，，
所以甲最终获胜的概率．
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