精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一上学期12月定时检测数学试题

西南大学附中高2028届高一上12月定时检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合A的元素范围，求解集合B的元素范围，计算两集合的交集得到结果. 【详解】集合A中，，则，故. 集合B中，，解得，故， 则. 故选：D 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 3. 已知则角终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的符号可以确定角的终边所在的象限，从而作出判断. 【详解】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限， 故选：D. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意的解集为， 的解集为，则， 故“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 5. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 6. 已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，探求函数的性质，再分段求解不等式. 【详解】由，得， 当时，，， 又在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递增， 不等式化为或， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】解：是偶函数，是奇函数, . . . 的周期为4. 是R上的奇函数, . 故选：A. 8. 若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【详解】若，此时，， 而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，直接利用基本不等式即可判断；对C，利用乘“1”法即可判断；对D，利用基本不等式并注意取等条件即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，若，则则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，若，，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故取不到最小值2，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入法求出，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D． 【详解】将点代入函数得：，则． 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确． 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确． 当时，，即，所以C正确． 当时， 即成立，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可. 【详解】因为. 对于A，令，可得，即，故A正确； 对于BC，例如，则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 对于D，令，可得，即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角以坐标原点为顶点、x轴的非负半轴为始边，为角终边上一点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出正余弦即可得解. 【详解】由三角函数定义可知，， 所以. 故答案为： 13. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为且，根据正弦型函数值域求法可求得的最大值和最小值，结合二次函数的最值可构造不等式组求得结果. 【详解】对于任意的，总存在，使得， 且； 当时，， 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂，根式，对数的公式求解；（2）先利用诱导公式化简，再进行弦化切，代入数值计算得解. 【详解】（1） ， （2） . 16. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ．即． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1），； （2）和； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式求解，利用解出的值为中心对称点的横坐标，纵坐标为，从而得到的中心对称点； （2）根据正弦函数的递增区间，利用整体法直接求解即可； （3）根据，求出的范围，结合正弦函数的图像求出的最大值和最小值，从而得到的值域. 【小问1详解】 ，，的最小正周期为； ，解得， 则的中心对称点为； 【小问2详解】 ，， 当时，即时，是单调递增函数； 当时，即时，是单调递增函数； 故的单调递增区间为和； 【小问3详解】 ，， 当时，即时，取最小值为， 则取最小值为； 当时，即时，取最大值为， 则取最大值为； 故，即当时，的值域为. 18. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. 【小问1详解】 函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数满足：对于任意的，当时，都有，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将原关系中替换为，通过两式消元得到函数的解析式； （2）由（1）得到函数，然后令，并求得的取值范围，代入不等式后整理化简，然后通过函数单调性求得不等式一边的最值，即可求得实数的取值范围； （3）列出函数解析式，由函数的定义域可得，再构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而利用分段函数单调性列式求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 ， 令，∵，∴， ∴，∴， ∴， 令，则，且函数在区间上单调递减， ∴， ∴. 【小问3详解】 函数为分段函数，令函数， 由函数定义域知，当时，函数在处无定义，则， 对于任意的，当时，都有， 因此函数在R上单调递减，显然，则，解得， 所以存在实数满足条件，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高2028届高一上12月定时检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知则角终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 6. 已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 0 8. 若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 10. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角以坐标原点为顶点、x轴的非负半轴为始边，为角终边上一点，则______. 13. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值. 16. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 18. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数满足：对于任意的，当时，都有，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $