第08讲 椭圆（知识梳理+7大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第08讲 椭圆 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点2：椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点3：椭圆的离心率 1 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 【题型1椭圆的定义】 例1设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 例2平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【题型2椭圆的标准方程】 例3（25-26高二上·上海浦东新·月考）方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 变式2求焦点在轴上，焦距为，且过点的椭圆的标准方程． 变式3（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【题型3 椭圆几何性质的简单应用】 例5（25-26高二上·上海·月考）下列椭圆中， 短轴长等于焦距的是（    ） A． B． C． D． 例6（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 变式1（25-26高二上·上海·月考）点在曲线上运动，则的最大值为 变式2（25-26高二上·上海嘉定·月考）若椭圆的方程为，且椭圆的一个焦点为，则实数 变式3（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 【题型4 求椭圆的离心率（或范围）】 例7（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 例8（22-23高二上·上海宝山·月考）如果椭圆的焦距､短轴长､长轴长成等差数列，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 变式1曲线的离心率为 ． 变式2（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ． 变式3（25-26高二上·上海·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【题型5直线与椭圆】 例9已知，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 例10若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 变式1（25-26高二上·上海·月考）若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是 ． 变式2（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【题型6 椭圆的中点弦问题】 例11若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例12（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 变式1（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 变式2已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 变式3求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹． 【题型7 椭圆有关的最值，定值问题】 例13已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 例14（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ． 变式1点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 变式2（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆C：过点，且右焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值． 变式3（25-26高二上·上海·月考）已知椭圆的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4，过点作的切线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，求面积的最大值. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为 . 2．（23-24高二下·上海·月考）已知点，有，则点的轨迹是 . 3．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 4．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 5．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为 . 6．（24-25高二·上海·随堂练习）设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 8．（24-25高二上·上海·月考）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 9．已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ． 10．（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 11．（25-26高二上·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 12．直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 二、单选题 13．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 14．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：    ①；②；③；④． 其中正确式子的序号是（    ）． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 三、解答题 17．已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 19．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 20．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 21．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆，点为的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点到点的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 椭圆 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点2：椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点3：椭圆的离心率 1 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 【题型1椭圆的定义】 例1设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解. 【详解】椭圆，则，所以， 因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为. 故选：D 例2平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ， 故选: B. 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 【题型2椭圆的标准方程】 例3（25-26高二上·上海浦东新·月考）方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆，列出满足条件不等式组，解得答案. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆， 所以，解得且. 故选：B 例4（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 【答案】9 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则，，， 所以，解得， 故答案为：9 变式2求焦点在轴上，焦距为，且过点的椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据题意，设椭圆方程为，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆焦点在轴上，所以可设其方程为， 因为椭圆的焦距为，可得，所以，所以， 又因为椭圆过点，所以， 联立方程组，可得，所以所求的方程为． 变式3（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 【题型3 椭圆几何性质的简单应用】 例5（25-26高二上·上海·月考）下列椭圆中， 短轴长等于焦距的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程分别求得各选项中的椭圆的短轴长和焦距即可. 【详解】对于A，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，A错误； 对于B，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，B错误； 对于C，短轴长，焦距，则短轴长等于焦距，C正确； 对于D，短轴长，焦距，则短轴长不等于焦距，D错误. 故选：C. 例6（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 变式1（25-26高二上·上海·月考）点在曲线上运动，则的最大值为 【答案】/ 【分析】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 变式2（25-26高二上·上海嘉定·月考）若椭圆的方程为，且椭圆的一个焦点为，则实数 【答案】4 【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可. 【详解】因为是焦点在轴上的椭圆的方程，所以，所以， 由椭圆的方程可得，又， 所以，解得，符合. 故答案为:4. 变式3（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据椭圆的焦距可得出关于的等式，解之可得出椭圆的标准方程； （2）设点，则，且，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦距为，解得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）设点，则，且， 所以，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，. 所以，的最小值为，最大值为. 【题型4 求椭圆的离心率（或范围）】 例7（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B 例8（22-23高二上·上海宝山·月考）如果椭圆的焦距､短轴长､长轴长成等差数列，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件列方程，化简求得离心率. 【详解】依题意， 由于，所以， ，， 由于为正数，所以. 故选：A 变式1曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出，从而可求出离心率. 【详解】因为， 所以 故答案为： 变式2（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆标准方程和离心率公式即可求解. 【详解】对于双曲线，设右焦点为，所以， 对于椭圆，设右焦点为，所以， 因为有共同的焦点，所以，所以， 所以椭圆的离心率是． 故答案为： 变式3（25-26高二上·上海·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率； （2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围 【详解】（1）由椭圆方程，得 设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率 （2）设 则，即，； 令， 因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为； 因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值； 所以，即， 因为，所以，解得， 又因为，所以，所以的取值范围是. 【题型5直线与椭圆】 例9已知，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 【答案】A 【分析】结合题意得直线过定点，再结合点在椭圆内部即可判断. 【详解】解：因为，所以直线可化为， 所以，直线过定点， 因为点在椭圆内部， 所以，直线与椭圆的位置关系是相交. 故选：A 例10若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 变式1（25-26高二上·上海·月考）若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得到在椭圆内部，所以，解该不等式即可得到答案． 【详解】若过点的任意直线都与椭圆相交（非相切）， 说明点P必须在椭圆内部，得到，解得． 故答案为： 变式2（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 【答案】 【分析】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【答案】证明见解析 【分析】直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式可证，证明过程中注意有. 【详解】由消去得，，（*） ， 因为在椭圆之外，所以，即， 所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点； 【题型6 椭圆的中点弦问题】 例11若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设点、，则， 所以，，两式作差可得， 即，即， 可得直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 例12（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 【答案】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 变式2已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设直线方程为，然后联立方程，结合韦达定理即可得到，从而得到直线方程； （2）根据题意，由韦达定理可得，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 变式3求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹． 【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分 【分析】设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线与椭圆方程，由求出的取值范围，再列出韦达定理得到，消去参数，即可得到轨迹方程. 【详解】     如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为． 联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得． 当判别式， 即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在． 因为，，从而， 这就是中点的轨迹的参数方程（其中）． 消去得，，由，及，可得， 点的轨迹方程为，， 即点的轨迹是直线在椭圆内的部分． 【题型7 椭圆有关的最值，定值问题】 例13已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后由韦达定理得，由中点坐标公式表示出中点的横坐标，然后用横坐标表示出并化为的代数式，从而求得最大值． 【详解】显然直线斜率存在，设其方程为，设，， 由得，， ，， ∴，， ， ， 又，时取得最大值1， 所以的最小值是． 故选：A． 例14（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义得出距离和为定值，再应用焦半径范围及对勾函数单调性计算求解. 【详解】，是椭圆的两个焦点，所以， 点在椭圆上，则，，所以， 又因为单调递减，单调递增， 则， 则， 当或时，则最大值为. 故答案为：. 变式1点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 变式2（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆C：过点，且右焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，，再求出即可得到答案； （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可. 【详解】（1）由题意，，所以，椭圆C的方程为； （2）由题可得直线斜率存在，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得：， 设，则，， 又，则， 由可得，所以，同理可得， 所以 ， 所以，为定值．    变式3（25-26高二上·上海·月考）已知椭圆的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4，过点作的切线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由离心率和顶点构成的四边形面积得到方程，结合，解得，得到椭圆方程； （2）先求出或，设切线方程为，由相切关系得到，联立与，设，得到两根之和，两根之积，表达出，，由基本不等式求出面积最大值为1. 【详解】（1）由题意得，它的顶点构成的四边形面积为， 又，解得，故椭圆方程为； （2）过点作的切线，故或， 显然切线的斜率不为0，设切线方程为， 则，故， 与联立得， ，解得， 又，故， 设，则， 所以 ， 因为，所以 点到直线的距离为1，故， 当且仅当，即时，等号成立，满足或， 所以面积最大值为1.    一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出长半轴长，进而求出短半轴长，即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为，焦点是， 则. 椭圆的方程为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·月考）已知点，有，则点的轨迹是 . 【答案】线段 【分析】 根据，得到轨迹. 【详解】由于，故点的轨迹为线段. 故答案为：线段 3．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 4．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 【答案】4或2 【分析】根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由题意知且， 因为椭圆的焦距是2，即，解得. 所以，或，解得或； 故答案为：4或2. 5．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为 . 【答案】4 【分析】先求出点的坐标，然后代入椭圆方程中可求得，进而求得长轴长. 【详解】由题意知，，点是的中点， 所以. 因为点在椭圆上， 所以满足. 化简得，两边平方得. 解得. 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：4. 6．（24-25高二·上海·随堂练习）设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 【答案】 【分析】求出椭圆的半长轴、半焦距，再求离心率即可. 【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得 ，解得， 故此航天器轨道的离心率为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】代入两点间距离公式，转化为根据定义域求函数的最值. 【详解】设，， , ，函数在区间上单调递增， 当时，的最大值为，当时，的最小值是. 故答案为：； 8．（24-25高二上·上海·月考）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 9．已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点，则，利用两点间的距离公式以及的取值范围可求得的最小值. 【详解】由题意知，，，则，设点，则， 所以，， 因此，的最小值为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】8 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】   如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解. 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 12．直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知为直线的中点，设出坐标，由点差法求出直线的斜率，根据点斜式可得方程. 【详解】由题意知为直线的中点，设， 则，则， 所以， 即，则直线的方程为， 故答案为：. 二、单选题 13．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 14．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过、和、的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出、的表达式，结合可求与的关系式，齐次化可求离心率. 【详解】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成， 设切线方程为，与联立得， ， 由，化简得：， 设切线方程为，同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：B. 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：    ①；②；③；④． 其中正确式子的序号是（    ）． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据图象可知，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】由图象可知， ，故①错误； ，，故②正确； ，即， ，故③正确； 此时，，故④错误； 故选：B 三、解答题 17．已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据椭圆方程求出，再根据长轴、短轴、焦点和顶点的定义可得结果. 【详解】（1）由，得,，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. （2）由，得，得，，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 19．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 20．（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出的值，求出右焦点的坐标及该椭圆的离心率； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况，设AB直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可得AB的中点，由题意可得的坐标，分 ，的横坐标相等和不相等两种情况，分别求出直线MN的方程，进而可得直线MN必过的定点的坐标. （3）由（2）可得直线MN必过的定点的坐标及，的纵坐标，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率. （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点. （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为. 21．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆，点为的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点到点的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）由椭圆方程求得，得解； （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值； （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题知，得，所以离心率. （2）由题可知，设，且， 则， 由于，所以当时，取到最大值为. （3）设， 因为直线与椭圆交于异于的两点和，所以． 所以，得， 则， ， 即， 故，所以或（因为，故舍去）． 当时，直线过定点． 因此直线过定点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $