专题03 椭圆、双曲线、抛物线（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆、双曲线、抛物线核心考点，以14个专题构建从定义到性质应用的递进式训练体系，强化几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|6题|利用定义求轨迹方程|从椭圆、双曲线定义出发，结合距离关系构建方程，培养抽象能力| |参数范围|6题|根据曲线类型求参数取值|通过方程特征分析参数限制，发展推理意识| |离心率/渐近线|12题|椭圆离心率、双曲线渐近线相关计算|围绕a,b,c关系，结合几何图形性质推导，强化数学思维| |距离最值|12题|点到焦点/圆上点距离和差最值|运用定义转化与几何性质，培养空间观念与模型意识| |曲线与方程|6题|轨迹方程求解与综合应用|整合三类曲线性质，提升数学语言表达与问题解决能力|

专题03 椭圆、双曲线、抛物线 考点01 利用椭圆、双曲线定义求方程 考点02 根据方程表示椭圆、双曲线求参数的范围 考点03 根据椭圆、双曲线过的点求方程 考点04 椭圆、双曲线上点到焦点或坐标轴上点的距离及最值 考点05 椭圆、双曲线焦点三角形的问题 考点06 椭圆、双曲线距离的和、差最值问题 考点07 求椭圆、双曲线的a、b、c 考点08 椭圆离心率的相关问题 考点09 双曲线的渐近线的相关问题 考点10 双曲线离心率的相关问题 考点11 抛物线定义的理解与应用 考点12 抛物线点线距离的和、差最值 考点13 利用抛物线的方程与性质求参数 考点14 曲线与方程 考点01 利用椭圆、双曲线定义求方程 1．平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 2．若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 3．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 4．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 6．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 考点02 根据方程表示椭圆、双曲线求参数的范围 7．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 12．下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 考点03 根据椭圆、双曲线过的点求方程 13．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 14．椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 15．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．求的方程. 16．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 17．（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 18．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 考点04 椭圆、双曲线上点到焦点或坐标轴上点的距离及最值 19．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 20．记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 23．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 24．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 考点05 椭圆、双曲线焦点三角形的问题 25．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 26．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 27．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 29．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 30．已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （    ） A． B． C． D．2 考点06 椭圆、双曲线距离的和、差最值问题 31．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 32．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 33．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 34．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 35．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 考点07 求椭圆、双曲线的a、b、c 37．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 38．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 39．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 40．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 41．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 42．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 考点08 椭圆离心率的相关问题 43．椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 44．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 45．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 46．已知椭圆（）的离心率为，则______． 47．已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 48．已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点09 双曲线的渐近线的相关问题 49．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 50．已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（    ） A． B． C． D．2 51．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 52．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 53．已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 54．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点10 双曲线离心率的相关问题 55．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 56．过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 57．已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______． 58．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 59．已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 60．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 考点11 抛物线定义的理解与应用 61．平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 62．已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 63．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 64．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 65．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 考点12 抛物线点线距离的和、差最值 66．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 67．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 68．已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 69．抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 70．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 71．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点13 利用抛物线的方程与性质求参数 72．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 73．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 74．若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 75．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 76．设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，则（     ） A． B．1 C． D．2 77．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A、B两点，若直线经过抛物线的焦点，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 考点14 曲线与方程 78．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 79．已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 80．已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 81．椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，，分别与交于相异P，Q两点，且．已知当时，． (1)求的方程； (2)证明：直线PQ过定点； (3)求线段PQ中点的轨迹方程． 82．设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 83．已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆、双曲线、抛物线 考点01 利用椭圆、双曲线定义求方程 考点02 根据方程表示椭圆、双曲线求参数的范围 考点03 根据椭圆、双曲线过的点求方程 考点04 椭圆、双曲线上点到焦点或坐标轴上点的距离及最值 考点05 椭圆、双曲线焦点三角形的问题 考点06 椭圆、双曲线距离的和、差最值问题 考点07 求椭圆、双曲线的a、b、c 考点08 椭圆离心率的相关问题 考点09 双曲线的渐近线的相关问题 考点10 双曲线离心率的相关问题 考点11 抛物线定义的理解与应用 考点12 抛物线点线距离的和、差最值 考点13 利用抛物线的方程与性质求参数 考点14 曲线与方程 考点01 利用椭圆、双曲线定义求方程 1．平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 2．若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 【答案】4 【分析】根据题意及椭圆定义得，分情况讨论焦点位置，列方程求解. 【详解】椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为， 所以，， 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去），不满足，不符； 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去）， ，所以符合. 3．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 4．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 5．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 6．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 考点02 根据方程表示椭圆、双曲线求参数的范围 7．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可. 【详解】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以， 所以， 故的取值范围是. 8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 10．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 11．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 12．下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 考点03 根据椭圆、双曲线过的点求方程 13．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 14．椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 15．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．求的方程. 【答案】 【分析】根据椭圆性质可得 【详解】设，由题设有， 又点在椭圆上，故为通径端点， 所以，故，故，则， 故椭圆方程为. 16．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 17．（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的焦点分别在轴或轴上设椭圆方程，代入两点列方程组求解即得所求椭圆方程； （2）设所求双曲线为（，），根据条件得出关于的方程组，求解即得所求双曲线方程. 【详解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得：，解得，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得，解得，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 18．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 考点04 椭圆、双曲线上点到焦点或坐标轴上点的距离及最值 19．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 20．记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 21．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 22．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 23．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 24．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 考点05 椭圆、双曲线焦点三角形的问题 25．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 26．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 27．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 29．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 30．已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】根据双曲线定义得， 所以，即①， 由余弦定理可得：， 即②， 由②-①得：，即， 所以， 又的面积是 所以，解得， 故选：A 考点06 椭圆、双曲线距离的和、差最值问题 31．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 32．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 33．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 34．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 35．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 36．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 考点07 求椭圆、双曲线的a、b、c 37．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由得，即，所以椭圆的短轴长为． 38．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 39．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 40．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 41．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 42．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【分析】根据对称性可得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 考点08 椭圆离心率的相关问题 43．椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在，中，由正弦定理及可得，设，在中，由余弦定理化简可得，进而计算可解. 【详解】因为是内心，所以是的角平分线， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简可得，所以. 44．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得，进而得，利用椭圆的定义得，又，由，利用二倍角的余弦公式得，最后由离心率的公式即可求解. 【详解】设，由，所以， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 45．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知四边形为平行四边形，可得，结合椭圆的定义可得出、，再利用勾股定理可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则， 所以，则， 因为，由勾股定理可得， 故该椭圆的离心率为. 46．已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 47．已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设点的坐标，将线段长度关系转化为坐标等式，结合椭圆方程推导与的关系，进而计算离心率. 【详解】由题意得椭圆的左右顶点坐标为，， 设点，则有， 因轴，故，则， 又，，因此， 由，即，即， 故，整理得， 故. 48．已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 考点09 双曲线的渐近线的相关问题 49．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】已知双曲线方程为，其渐近线方程为. 直线可化为. 因为一条渐近线与该直线平行，所以它们的斜率相等， 即，两边同乘得， 解得（舍去，因），所以. 50．已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由双曲线的渐近线及点到直线距离公式得出，即可求解离心率． 【详解】设双曲线的渐近线为，顶点坐标为， 则顶点到渐近线的距离， 所以离心率． 51．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 52．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 53．已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 54．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 考点10 双曲线离心率的相关问题 55．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据渐近线及其垂线方程可得点的坐标，再利用面积求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 56．过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【分析】设过原点直线与双曲线交点关于原点对称，取双曲线上点，利用点差法得出，结合已知斜率之积为得到关系，再由双曲线离心率公式及即可求出离心率. 【详解】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 57．已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质结合已知条件得出右焦点、渐近线方程，设点，根据菱形的性质求出，进而求出点坐标，结合求出点坐标，代入双曲线方程求出关系，进而求出的离心率． 【详解】双曲线右焦点，满足， 离心率，为的渐近线上一点，且在第一象限，则渐近线方程为， 菱形边长为，且， 设点，由得， 化简得，解得或（舍去）， 故， ， ，代入双曲线方程得， 展开化简得，即，， ． 58．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合图形可得，在中用余弦定理求与的关系，进而在中用余弦定理求离心率. 【详解】由双曲线定义得：， 轴是的中垂线，在轴上，故， 设，由得，则， 因此. ，故， 在中由余弦定理可得：， 代入： ， 故，结合得：. 在中由余弦定理可得：， 代入， 化简得：，将代入可得： ， 化简得：， 故. 59．已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断为直角三角形且，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值． 【详解】如图所示，设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为，即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由，可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知， 所以双曲线的离心率为，故B正确． 60．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 【答案】 【分析】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形为菱形可得，又易得F到渐近线的距离为b，最后由结合双曲线定义可得答案. 【详解】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形OFPQ为菱形，则， F到渐近线的距离为，结合菱形性质可得， 又注意到，则四边形为平行四边形，， ，又，则， 由双曲线定义可得：，， 从而C的离心率为 考点11 抛物线定义的理解与应用 61．平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 62．已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设点的横坐标为，可知，准线为， 所以，解得． 63．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 64．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 65．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 考点12 抛物线点线距离的和、差最值 66．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 67．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 68．已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【答案】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. 69．抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 70．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点，由抛物线的定义可得出，所以，其中为圆的半径，当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，等号成立. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 圆的圆心为，半径为， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和为 . 当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是. 71．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 考点13 利用抛物线的方程与性质求参数 72．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 73．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离也为5， 即点的横坐标为4，代入可得， 因此. 74．若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 75．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点，    如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 76．设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】联立方程组，利用韦达定理以及抛物线的焦半径公式化简. 【详解】由题意可知，， 联立，得， 设，则，， 则，， 则. 77．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A、B两点，若直线经过抛物线的焦点，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知，直线和关于轴对称； 抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示： 所以A、B两点关于轴对称，所以轴， 又直线经过抛物线的焦点，所以，代入抛物线方程得， 所以点，所以，所以. 考点14 曲线与方程 78．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 79．已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据离心率得到之间的关系，短轴长可得到，根据椭圆中的关系计算出的值，从而得到椭圆的标准方程； (2)设点的坐标，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到中点坐标，通过消参的方法得到轨迹方程，需考虑判别式大于0的条件下参数范围． 【详解】（1）由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 80．已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 【答案】(1)当时，；当时，， (2) 【分析】（1）由点到定点与到定直线的距离关系式，平方化简后按、分类，求得动点轨迹为抛物线及轴负半轴； （2）设直线方程与抛物线联立，由韦达定理得纵坐标和与积，再依据向量建立两点纵坐标关系，代入式子求出，最终换算得出直线斜率. 【详解】（1）设点坐标是，则根据题意可知， 化简可得. 当时，；当时，； （2）当时，不符合题意， 当时，设直线，，， 联立，得， 由韦达定理可得， 又因为，所以， ，解得， 所以. 81．椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，，分别与交于相异P，Q两点，且．已知当时，． (1)求的方程； (2)证明：直线PQ过定点； (3)求线段PQ中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，其中且 【分析】（1）根据题给条件，求出直线与椭圆联立，求出反解出， （2）设直线PQ的方程，与椭圆联立得到韦达式，并利用，寻求的关系. （3）根据上一问的结果，利用点差法，得到斜率与中点之间的关系，而斜率又为中点与定点连线的斜率，替换斜率，得到中点横纵坐标的关系，进而求得轨迹方程，最后限定轨迹范围. 【详解】（1） 由题意知，椭圆的右顶点为，可得． 此时椭圆方程为． 已知，当时，代入可得． 此时直线方程为． 将直线的方程代入椭圆方程得． 设点Q的坐标为， 因为直线与椭圆交于A，Q两点，且， 由韦达定理可得，解得． 将代入直线方程得． 由两点间距离公式可得． 已知，即， 则，． 因为，故．解得． 经检验，此时，，满足条件， 故的方程为． （2）假设直线PQ垂直于x轴，设其方程为且． 此时P，Q两点关于x轴对称，设，且． 则，． 从而，这与题设条件矛盾，因此直线PQ不可能垂直于x轴． 设直线PQ的方程为，设，． 将直线方程代入得． 因为直线与椭圆交于相异两点，故判别式． 由韦达定理得，． 由于，且直线，的斜率分别为，， 则， 即． 分子部分为， 分母部分为， 若，即，直线PQ的方程变为，这意味着直线经过点， 与P，Q是不同于A的交点矛盾，故． 将分子分母代回可得． 由题意知，建立等式， 解得，即， 代回得， 则当时，必有． 即直线PQ恒过定点． （3）设，，线段PQ的中点为． 由（2）可知，直线PQ过定点． 因为P，Q在椭圆上， 代入得与， 两式相减并分解因式可得． 因为为PQ中点，所以，， 代入化简得． 由题意，交点P，Q相异，则（否则直线垂直于x轴已在（2）排除）， 由上式可得直线PQ的斜率k满足． 又PQ过且过中点， 当时直线PQ垂直于x轴矛盾，故且， 代入上式得． 也即， 即， 也即． 设直线PQ的方程为， 代入椭圆方程中整理得． 为保证直线与椭圆交于相异两点，必须满足判别式， ，解得． 由韦达定理，中点的横坐标． 一方面，． 因为，故分子，分母恒正，所以，即． 另一方面，． 因为，故，分子严格大于0， 所以，即． 同时，由代入横坐标可得中点纵坐标． 则． 因为，故且， 从而，所以，即． 故可知x的取值范围为，且y的取值范围满足． 综上所述，线段PQ中点的轨迹方程为： ，其中且． 82．设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，运用相关点法即可解决； （2）设，利用点差法得到，所以直线方程为与椭圆方程联立，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，原点到直线的距离：，即可求的面积. 【详解】（1）设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 （2）设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 83．已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，进而得到点，求出直线，的方程，再化简即可． 【详解】解：设，则，且，，不失一般性， 圆与轴交于点，，则，， 直线，的方程分别为，， 相乘得，所以， 即点的坐标满足. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $