精品解析：天津市西青区张家窝中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级数学阶段性质量监测考 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可． 【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是，是不可能事件； B、画一个三角形，其内角和为，是必然事件； C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件； D、从装满红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，先根据函数图象平移的法则得出平移后的抛物线解析式，再求出其顶点坐标即可，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键， 【详解】解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的解析式是， ∴顶点坐标是， 故选：C． 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，，都在二次函数的图象上，， ∴， 故选：A． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（ ） A. ， B. C. D. 1，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和内接圆，掌握等边三角形的性质、三角形外接圆和内接圆的概念、根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设等边三角形的中心为O， ， 连接，延长交于点E，则， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为外接圆的半径，为内切圆的半径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴内切圆与外接圆的半径分别为1和2， 故选：D． 7. 如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理． 设与的交点为，由得到，圆周角定理可得，进而得到，所以，在中，根据勾股定理构造方程，即可求出的长． 【详解】解：如图，设与的交点为， 为的弦，为半径，且，， ． ， ， ， 在中，． 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ． ， ． 故选B． 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 9. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 10. 如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质，证明是等边三角形，再根据角度之间的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， 是等边三角形， 若，则， 而的度数无法确定，则无法确定，即A选项错误； 是等边三角形， ， 若，则，即是中点， 而点D是等边三角形的边上任意一点，即B选项错误； 是等边三角形， ，即C选项正确； 是等边三角形， ， 若，则， ， 而的度数无法确定，则无法确定，即D选项错误； 故选：C 11. 如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求； 乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A. 甲、乙两人的作法都正确 B. 甲、乙两人的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【解析】 【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线； 对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线． 【详解】解：甲正确． 理由：如图1中，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 乙正确． 理由：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 12. 从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质．根据二次函数的图像和性质解答即可． 【详解】解：， 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①错误； 当小球的运动高度为时，有， 解得：或，故②正确； 当时，， 解得：或， 小球从抛出到落地需要，故③正确． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 14. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 15. 一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2． 【答案】2π 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π． 故答案为2π． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可． 16. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 则可估计这种幼树移植成活率的概率约为_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为0.9， 故答案为：0.9． 17. 如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为______，求阴影部分面积______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，扇形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，求得的度数，可求弧长，再求得的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接、，如图， ，分别切于点、， ，， ， 而， ， 的长度， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：；． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． （1）的大小等于 （度）； （2）若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】（1）90 （2） 如图，取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O．延长与网格线相交于点G；连接与相交于点P，则点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由直径所对圆周角为直角解答即可； （2）取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O，根据90度的角所对的弦为直径，即得出其与的交点O即为圆心．延长与网格线相交于点G，连接与相交于点P，则点P即为所求（如图，作垂直于网格线，通过证明，证明点G与点B关于直线对称）． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴； 【小问2详解】 略 三、解答题：本题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）二次函数的图象经过点，，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过，两点． ①求二次函数解析式； ②根据图象，写出满足不等式的解集______； ③二次函数，当时，对应的函数值的取值范围为______． 【答案】(1)， (2)① ② ③ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、二次函数的图象和性质，解决本题的关键是利用待定系数法求二次函数的解析式，再利用函数图象解决问题． (1)利用因式分解法解一元二次方程； (2)①利用待定系数法求出二次函数的解析式； ②求出二次函数与轴两个交点的坐标，根据图象得到不等式的解集； ③分别求出当、、对应的值，即可得到函数值的取值范围． 【详解】(1)解：， 因式分解得：， 可得：，， 解得：，； (2)①解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式是； ②解：二次函数的对称轴是， 点的坐标是， 抛物线与轴的另一个交点坐标是， 二次函数的图象开口向上， 当时，不等式成立， 故答案为：； ③解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，对应的函数值的取值范围为． 故答案为：． 20. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）填空：在抢答环节中，若答对一题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“③冬季两项”的概率是______； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取2枚（先随机抽取1枚，不放回，再随机抽取另1枚）作为奖品． 请用列表或画树状图的方法，列举出答对两道题奖品情况的所有可能的结果；（可用邮票名称前的标号表示邮票名称），恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）①根据题意画树状图，根据树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“③冬季两项”只有1种情况， 故恰好抽到“③冬季两项”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图，如图： 由树状图可知，所有等可能出现的结果共有12种，其中，恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有2种，即②④、④②， ∴恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的概率为：． 21. 在中，为直径，C为上一点． （1）如图①，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小； （2）如图②，D为上一点，且经过的中点E，连接并延长，与的延长线相交于点P，若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、圆周角定理、三角形外角的性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质可得，再根据圆周角定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）根据垂径定理得到，进而得到，再根据圆周角定理可得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵与相切于点C． ∴，即． ∵， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵E为的中点， ∴，即． ∵在中，， ∴． ∴． ∵是的一个外角， ∴． 22. 如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点，，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解； （）连接，证明可得，由垂径定理得，在中由勾股定理得，得到，即得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵于点， ， 又， ， ， ， 是的切线，点是切点， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， （）， ， 是的直径，于点，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元/盒的口罩，销售单价为元/盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出盒，设每盒降价x元（，x为整数） （1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）； （2）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元? （3）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 【答案】（1）， （2）3元 （3）每盒降价2元时，可取得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）每盒降价x元，则利润也降x元，由原利润与降价之差即得现在每盒的利润；由降价而增加的销售量与原有销售量之和即为现在每天的销售量； （2）由题意列出方程，解方程即可； （3）设每天的利润为y元，可得到关于x的二次函数，根据二次函数关系式可求得利润的最大值． 【小问1详解】 解：未降价前，每盒的利润为（元），降价后每盒的利润为元； 因销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒， 所以销售单价降价x元，则可增加销售盒， 所以现在每天的销售量为盒； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得方程：， 解方程得：，， 为了减少库存，则取，不合题意， 答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元； 【小问3详解】 解：设每天的利润为y元，由可得：， 整理得：， ∵，， ∴当时，函数有最大值； 答：当每盒降价2元时，可取得最大利润，且最大利润为元． 【点睛】本题是销售与利润实际问题，考查了列代数式、解一元二次方程及二次函数的最值，理解题意，找到等量关系式列出方程与函数关系式是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 25. 抛物线（b，c为常数，顶点为 P，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M为第一象限内直线l上一动点，N为线段上一动点． （1）若， ①求点P和点A，B的坐标； ②当点M为直线l与抛物线的交点时，求的最小值． （2）若，，且的最小值等于时，求b，c的值． 【答案】（1）①，；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式为，求出时，的值可得点的坐标，再将抛物线的解析式化成顶点式即可得顶点的坐标；②先求出，，直线的解析式为，再过点作轴于点，交直线于点，求出点的坐标，从而可得和的长，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，根据等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，，再过点作，且使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得的值，从而可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得的值． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线的解析式为， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于点（点在点左侧）， ∴， 将抛物线的解析式化成顶点式为， ∴这个抛物线的顶点坐标为． ②将代入抛物线得：，即， 将代入抛物线得：，解得或， ∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， ∴，点的横坐标为2， 将代入直线得：， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为． 【小问2详解】 解：将代入抛物线得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过点作，且使得，连接， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 又∵的最小值等于， ∴， 解得， ∴， 将，代入抛物线得：， 解得， ∴，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学阶段性质量监测考 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 3. 在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（ ） A. ， B. C. D. 1，2 7. 如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 10. 如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求； 乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A. 甲、乙两人的作法都正确 B. 甲、乙两人的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲的作法错误，乙的作法正确 12. 从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 14. 若点与点关于原点对称，则____________． 15. 一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2． 16. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 则可估计这种幼树移植成活率的概率约为_____（结果精确到0.1）． 17. 如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为______，求阴影部分面积______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． （1）的大小等于 （度）； （2）若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题：本题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）二次函数的图象经过点，，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过，两点． ①求二次函数解析式； ②根据图象，写出满足不等式的解集______； ③二次函数，当时，对应的函数值的取值范围为______． 20. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）填空：在抢答环节中，若答对一题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“③冬季两项”的概率是______； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取2枚（先随机抽取1枚，不放回，再随机抽取另1枚）作为奖品． 请用列表或画树状图的方法，列举出答对两道题奖品情况的所有可能的结果；（可用邮票名称前的标号表示邮票名称），恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的概率． 21. 在中，为直径，C为上一点． （1）如图①，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小； （2）如图②，D为上一点，且经过的中点E，连接并延长，与的延长线相交于点P，若，求的大小． 22. 如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点，，，求的长． 23. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元/盒的口罩，销售单价为元/盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出盒，设每盒降价x元（，x为整数） （1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）； （2）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元? （3）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 25. 抛物线（b，c为常数，顶点为 P，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M为第一象限内直线l上一动点，N为线段上一动点． （1）若， ①求点P和点A，B的坐标； ②当点M为直线l与抛物线的交点时，求的最小值． （2）若，，且的最小值等于时，求b，c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $