精品解析：浙江省杭州市萧山钱江片区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025学年第一学期九年级12月学情调研 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 经过点 4. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，均为圆周上十二等分点，若弦长为，则两点的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 12. 一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是__________． 13. 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为________； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，将绕点逆时针旋转得，画出； （2）如图，请画出的角平分线，交于点． 18. 某班开展“四大名著”主题读书分享活动，老师采取小组合作的方式将班级分成四个学习小组，班委在四张完全相同的不透明卡片的正面分别标注《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，卡片背面保持完全相同．小杭代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小明代表第二小组从中随机抽取一张．求下列事件发生的概率． （1）第一小组抽到“《西游记》”的概率为________； （2）用画树状图或列表的方法，求这两个小组抽到不同主题的概率． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求自变量的取值范围． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点E在边上，点G在的延长线上，，设的长为xm． （1）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时BE的长； （2）当x为何值时改造后的矩形苗圃的面积最大？并求出最大面积． 22. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 24. 如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连接，若的半径为，弦，设，求的长，并直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级12月学情调研 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2. 在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式直接计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个不透明的装有个完全相同的小球的口袋中，随机摸出一个小球，共有种等可能结果，其中标号是或的倍数的结果共有种， ∴标号是或的倍数的概率为， 故选：． 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向下，故A正确，不符合题意； 对称轴为直线 ，故C正确，不符合题意； ∵开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随的增大而增大，故B正确，不符合题意； 当时，， ∴不经过点，故D错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 5. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 结合“两角对应相等”、“两边对应成比例且夹角相等”等判定规则对选项进行分析即可． 【详解】解：已知， 选项：，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，则，即，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，即，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可判定； 选项：成比例的两边是与、与，它们的夹角并非已知的、，不一定能判定． 故选：． 6. 如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形面积与底的关系，相似三角形的判定与性质，掌握“同高三角形的面积比等于底的比”是解题关键． 由​得出线段比，再通过平行线判定相似三角形，得到对应边的相似比，最后结合“相似三角形面积比为相似比的平方”，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 7. 已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据三点与对称轴的距离大小关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴离对称轴越远，函数值越小． ∵，，， ∴． 故选D． 8. 如图，均为圆周上十二等分点，若弦长为，则两点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了，圆心角，弦，弧之间的关系，圆周角定理，勾股定理等，在圆上取等分点，连接，使得为圆的直径，连接，取的中点，连接，可得是等边三角形，即得，得到，又可得，进而根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在圆上取等分点，连接，使得为圆的直径，连接，取的中点，连接， ∵均为圆周上十二等分点，占圆弧的两等份， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵占圆弧的四等份， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线的顶点坐标公式，二次方程根的分布，熟练掌握二次函数图象与、、的关系是解题关键． ①由开口方向、轴交点、对称轴分别得、、，推得；②由顶点坐标公式和顶点纵坐标值大于2，结合变形得；③代入得，再代入时，化简得；④整理方程为函数，结合开口方向、对称轴、当和时的函数值，判断根的范围． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ， 故①正确； ②由图可知，抛物线顶点纵坐标大于， ， ， ， 故②正确； 二次函数的图象经过点， ， ， 由图可知，当，， ，即， 故③正确； 已知，则， 令， 可知抛物线开口向下，对称轴为， 由③知， 故， 当，，则， 当，，则． 故④正确． 综上，正确答案有个． 故选：． 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 12. 一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据频率估算出摸到黄球的概率为，再利用概率球数量即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4， ∴摸到黄球的概率为， ∴； 故答案为：20 13. 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，线段的和差运算，掌握黄金分割的定义是解题关键． 依据黄金分割定义求出上的较长段长度，再算出较短线段、的长度，最后通过的线段和差关系求出的长． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点，，， ， ，同理可得， ． 故答案为：． 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式应用，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的求解，将实际问题转化为二次函数模型是解题关键． 先将已知点代入抛物线顶点式，求出系数的值，得到完整的函数表达式，再令，解关于的一元二次方程，取正根即为铅球掷出的水平距离． 【详解】解：， 点坐标为， 将代入抛物线中， 可得，解得， 抛物线为， 令，则， 移项、化简：， 解得，（不符合题意，舍去）， 故． 故答案为：． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由圆的半径相等以及，确定为中点，再根据圆周角和圆心角的关系求得、，可推断出为等边三角形，进而算出的面积，再算出扇形的面积，利用割补法即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：点、、均在圆上， ， 四边形为矩形，，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质、圆心角与圆周角的关系、等边三角形的判定、勾股定理、三角形面积公式和扇形面积公式，掌握割补法求三角形面积是解题关键． 16. 如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为________； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由在平行四边形内以及，可知的运动轨迹为以为直径的圆，进而推断当的高为该圆的半径时，的面积取最大值，据此计算即可； （2）根据中位线性质可将求的最小值转化为求的最小值，结合（1）可知当、、三点共线时，取得最小值，结合及勾股定理求出，进而求出、． 【详解】（1）解：点是内一动点，且， 点的运动轨迹为以为直径的圆， 如图，设的中点为，当时，的面积取得最大值， 此时，， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接， 为的中点，为的中点， ， 当取得最小值时，有最小值， 如图，连接，交于点，过点作，交的延长线于点, 由（1）可知，点的运动轨迹为以为直径的圆， 当、、三点共线时，取最小值， ，， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形外接圆，三角形中位线定理，圆外点到圆上点的最短距离，识别“的运动轨迹是以为直径的圆”是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，将绕点逆时针旋转得，画出； （2）如图，请画出的角平分线，交于点． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 如图，射线即为的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转性质，角平分线的作图，圆周角定理，灵活运用圆周角定理是解题关键． （1）利用旋转的性质：旋转后对应点到旋转中心的距离不变，旋转角为，结合网格的垂直特征找出、、，顺次连接即可． （2）利用圆的性质：等弧对等角，结合网格的对称特征作图，找到的中点为点，作射线交于点即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 18. 某班开展“四大名著”主题读书分享活动，老师采取小组合作的方式将班级分成四个学习小组，班委在四张完全相同的不透明卡片的正面分别标注《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，卡片背面保持完全相同．小杭代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小明代表第二小组从中随机抽取一张．求下列事件发生的概率． （1）第一小组抽到“《西游记》”的概率为________； （2）用画树状图或列表的方法，求这两个小组抽到不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从四张完全相同的不透明的卡片中随机抽取一张，共有种等可能结果，其中抽到“《西游记》”的结果只有种， ∴第一小组抽到“《西游记》”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中两个小组抽到不同主题的结果有种， ∴两个小组抽到不同主题的概率为． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求自变量的取值范围． 【答案】（1） 的值为，该二次函数的顶点坐标为 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． ()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 如图，是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点E在边上，点G在的延长线上，，设的长为xm． （1）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时BE的长； （2）当x为何值时改造后的矩形苗圃的面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1）BE的长为4m． （2）当时，改造后的矩形苗圃的面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得正方形苗圃的面积为64，进而可得矩形苗圃的面积为64，进而可得：，再解方程即可； （2）先建立面积关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：依题意， 由面积相等列方程得：， 整理得：， 解得（舍去）． 答：BE的长为4m． 【小问2详解】 设改造后的矩形苗圃的面积为， 则， 当时，有最大值． 答：当时，改造后的矩形苗圃的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确理解题意，确定等量关系列方程或二次函数关系式． 22. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 23. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可； （3）根据题意点关于对称轴对称，则，由，得出，即，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2； 【小问3详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，， 当时，， 的取值范围是． 【点睛】题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换、二次函数的性质等知识点，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键． 24. 如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连接，若的半径为，弦，设，求的长，并直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先由结合三角形内角和定理，求出和的和，再通过角平分线的性质，借助圆周角定理将转化为，进而求得； （2）先通过角平分线、外角性质和圆周角定理得，再利用相似三角形的比例关系设未知数列方程，求解得出； （3）先根据角平分线与垂直平分线性质，结合勾股定理算出的长，再通过垂径定理与勾股定理建立与的函数关系，最后根据二次函数性质求出的最大值． 【小问1详解】 解：平分，平分，， ， ， ， ， ． 答：． 【小问2详解】 解：平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得，则． 答：． 【小问3详解】 解：如下图，连接，，，过点作， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 由（2）可得，当平分，平分时，， ， 在中，， 在中，， ，即， ，， ， 即， ， ， 的最大值为． 答：，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用圆周角定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $