精品解析：河北省石家庄市栾城区窦妪镇第一中学2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷

2025～2026学年八年级期末模拟检测 数学试卷（冀教版） 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为90分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ） A. 0，1 B. C. ，0 D. 0， 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（ ） A. ①和②都正确 B. ①和②都不正确 C. 只有①正确 D. 只有②正确 4. 若，则□中的数是（ ） A. B. C. D. 任意实数 5. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 8. 如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 9. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（ ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A. ① B. ②③ C. ③④ D. ④ 12. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题有4个小题，每空4分，共16分，把答案写在题中横线上．） 13. 已知，若，则x的值等于____________． 14. 若是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 15. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 16. 如图，，，于点D，若，，则________． 三、解答题（本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； （2）在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 19. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘______，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，解得. （1）这位同学解题过程中横线处应填______；以上过程从第______步开始出错的． （2）该同学检查上述解答过程时，发现不仅存在错误还缺少了一步，请写出正确的解答过程． 20. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 21. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 22. 观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： （1）写出第四个等式： ． （2）猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． （3）计算： 23. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年八年级期末模拟检测 数学试卷（冀教版） 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为90分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ） A. 0，1 B. C. ，0 D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数的立方运算．结合一个数的立方等于它本身，则这个数是0，，即可作答． 【详解】解：∵一个数的立方等于它本身，且， ∴这个数是0，， 故选：D 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（ ） A. ①和②都正确 B. ①和②都不正确 C. 只有①正确 D. 只有②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．写出该命题的逆命题，再根据相等的角不一定是对顶角判断该逆命题是假命题，即可得答案． 【详解】解：对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故①说法正确； 相等的角不一定是对顶角，故该命题的逆命题是假命题，②说法正确； 所以，①和②都正确． 故选：A． 4. 若，则□中的数是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将左边分式拆解，化为一个常数与一个分式的和，即可确定□中的数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴□中的数为， 故选：B． 5. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，根据算术平方根的意义可得，进而即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为， 故选：． 6. 已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可知,即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 【详解】由勾股定理可知, , , 由图形可知，阴影部分的面积为． 故选:． 8. 如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，可知和的关系，进而通过线段和差求解． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 【详解】解：是的平分线， , , , ， ,, 在和中， , ． 故选：． 9. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据对顶角相等得，再根据可判定两个三角形全等． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 10. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．根据题意分别求得两个正方形的边长，进而求得长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：∵正方形得面积为，正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴长方形的面积， 即便签区的面积为， 故选：C． 11. 下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（ ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A. ① B. ②③ C. ③④ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 12. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，先根据全等三角形的性质得，，再根据线段和差得，则，可判定是等边三角形，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题有4个小题，每空4分，共16分，把答案写在题中横线上．） 13. 已知，若，则x的值等于____________． 【答案】86或 【解析】 【分析】本题考查平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 将7396转化为，再利用平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即x的值等于86或； 故答案为：86或； 14. 若是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质、绝对值、数轴等知识点，根据数轴判定是解题的关键．  由数轴得出且，则，然后根据二次根式的性质、绝对值的定义化简求解即可． 【详解】解：由数轴可得且， ∴ ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求． 【详解】解：由题意得：米，米，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则旗杆的长为米． 故答案为：． 16. 如图，，，于点D，若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．通过角度关系推出，结合已知条件证明，得到，再根据，进而求出的长度． 【详解】解：， ， 又， ，则， ， 在和中： ， ， ， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的除法和加减运算法则求解即可； （2）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关知识． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； （2）在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 【答案】（1） 先连接，作的垂直平分线，观察发现是组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对角线并延长对角线，这条对角线即为直线， 分别作点、关于直线的对称点，连接、、，得到，如下图所示： （2） 根据轴对称的性质，连接，与直线的交点为所求的点， 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换的性质、正方形的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线，分别作点、关于直线的对称点，连接、、得到即可； （2）连接与直线的交点即为所求的点，根据轴对称的性质得到当、、三点共线时，的值最小， 即证得的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为点与点关于直线对称， 所以， 那么, 当、、三点共线时，的值最小， 即的值最小． 19. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘______，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，解得. （1）这位同学解题过程中横线处应填______；以上过程从第______步开始出错的． （2）该同学检查上述解答过程时，发现不仅存在错误还缺少了一步，请写出正确的解答过程． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要先去分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出方程的解，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 解分式方程的第步需要把方程两边同时乘以，其中整数也需要乘以，所以解方程的第步就出现了错误； 解分式方程需要检验，根据解分式方程的步骤求出方程的解，并检验即可． 【小问1详解】 解：解分式方程的第一步是去分线，需要两边同时乘以最简公分母， 方程两边同时乘以， 某同学的解答过程中，第步方程两边同时乘以， 可得：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：解分式方程需要检验求出的解是否原分式方程的增根， 某同学的解答缺少了检验； 解方程：， 去分母得：； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解， 方程的解为． 20. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 21. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； 【小问2详解】 不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 22. 观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： （1）写出第四个等式： ． （2）猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $