精品解析：甘肃省武威市凉州区红星乡中学2025-2026学年上学期九年级第四次月考数学试卷

数学 上册21.1~下册27.1 说明：共三大题、23小题、消分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握非负数才能开平方是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故，求解该不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选B． 2. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 3. 如图，在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角与圆心角的关系是解题的关键． 根据可直接计算出的度数． 【详解】解：∵，结合， ∴， 故选C． 4. 二次函数图象的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，掌握顶点式和顶点坐标的关系是解题的关键． 直接应用顶点式的顶点坐标求解即可． 【详解】解：∵二次函数顶点式为， 对应顶点式中，， ∴顶点坐标为. 故选A． 5. 已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（      ） A. B. C.    D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：AB===13 则cosA== 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及三角函数，解题关键是理解三角函数的定义． 6. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将点（-1，3）代入即可得． 【详解】解：将点（-1，3）代入得： 故选D 【点睛】本题考查了待定系数法，解题的关键是把点（-1，3）代入． 7. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率计算公式是解题的关键． 总共有3瓶溶液，任取2瓶混合，找出所有可能取法和发生中和反应的取法数，再求概率即可． 【详解】∵溶液有3瓶：HCl（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱）， 任取2瓶混合，所有可能取法有三种，是否能反应如下： 1.和→酸和碱，发生中和反应； 2.和→酸和碱，发生中和反应； 3.和→碱和碱，不发生中和反应； ∴总取法数为3，发生中和反应的取法数为2. 故概率为， 故选D． 8. 如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，求三角函数值，由三角函数值求得边长是关键．利用三角函数、勾股定理求、的长，结合折叠和矩形的性质可得的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ，． ， ． ． ． 沿折叠矩形，使点落在边的点处， ． ． 故选：B． 9. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 结合，计算出的度数，利用圆内接四边形的性质求出的度数，最后得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，求得， ∴， 故选C． 10. 如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为，两图象交于点，则下列结论错误的是（　　） A. 的值为2 B. 当时，点之间的距离为6 C. 四边形为菱形 D. 当时，四边形为正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质,菱形的判定与性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可求出的值，可判断选项A；分别求出两抛物线的顶点坐标可判断选项B；由抛物线的对称性得，根据题意得轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分,从而得到，可判断选项C；根据，可判断选项D． 【详解】解：, 抛物线的对称轴为直线， 两抛物线的对称轴相同， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 故选项A正确，不符合题意； ， 抛物线，且顶点D的坐标为， ，顶点C的坐标为， 当时，点之间的距离， 故选项B错误，符合题意； 联立得， 解得或， 两抛物线的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， 抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， 如图，连接， 由抛物线的对称性得， 根据题意得轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ， 两抛物线的顶点到直线的距离相等， 垂直平分， ， ， 四边形为菱形， 故选项C正确，不符合题意； 当时，两顶点的距离， ，， ， 菱形是正方形， 故选项D正确，不符合题意． 综上，结论错误的选项是． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】， 故答案为：． 12. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，熟练掌握函数平移规律是解题的关键． 根据二次函数顶点式平移的规律，函数值“上加下减”，自变量“左加右减”，从而得到新函数的解析式 【详解】原二次函数为 向上平移3个单位长度，函数表达式为， 再向左平移2个单位长度，函数表达式为， 则新二次函数的解析式为 ， 故答案为 ． 13. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟知上述性质是解题的关键． 14. 已知，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握两根与系数的关系公式是解题的关键． 根据根与系数的关系，求出和，然后将所求表达式转化为含和的形式，代入计算即可． 【详解】解：在方程中， ，，， 由根与系数的关系，得，， 则， 代入得， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键，作于点H，先证明，求出，再证明，求出，最后根据勾股定理求出结论． 【详解】解：作于点H， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）若是关于的二次函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算以及二次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的运算乘法法则进行计算，最后化为最简二次根式，进行加减计算即可； （2）根据二次函数的定义，由求出的取值，结合，得出k最终的取值． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：∵是关于的二次函数 ∴，且， 由，解出或； 由，解得； 综上，满足要求的的取值为． 17. 如图，在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义． 过点作交于点，由特殊角，结合三角函数得出的长度，再结合求出的长度． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵，， 解得， 又∵， ∴， 故的长度为． 18. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”．双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．现将分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“巳”的概率为______． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“巳”的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“如”“意”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“巳”的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“巳”的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的结果有2种， ∴（摸出的这两张卡片上印有“如”“意”）． 19. 如图，是的弦，，延长交于点．若，求的半径． 【答案】的半径为 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 连接，结合垂径定理，可得，假设的半径为，可由为直角三角形列出相关方程，解出的值，即为的半径． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵，结合垂径定理，可知点为的中点， 故， 令的半径为，结合，则, 又∵，为直角三角形， 结合勾股定理，有， 得，解得， 故的半径为． 20. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 【答案】围墙的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键． 证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴围墙的高为米． 21. 阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务． 对称衍生抛物线 【定义】对于抛物线，以轴上的点为中心，作抛物线关于点对称的抛物线，则我们称是的“对称衍生抛物线”，点为“对称衍生中心”． 【问题1】抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________． 【问题2】求抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ．．．．．． 任务： （1）抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________； （2）完成问题中的剩余解答过程； （3）若抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为，且与这两条抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称变换、抛物线的顶点式与交点问题．掌握关于轴上某点对称的点的坐标变化规律，熟练运用抛物线的顶点式，熟练运用判别式判断交点情况，是解题的关键． （1）抛物线的顶点坐标，与轴交点坐标，得到其关于原点对称的点的坐标，进而根据对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反，得到对称衍生抛物线的表达式． （2）根据对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反，得到对称衍生抛物线的表达式． （3）联立两个抛物线的表达式得到一个一元二次方程，根据交点情况得到判别式的取值范围，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于原点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于原点对称的点为， ∵抛物线关于原点的对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴对称衍生抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ∵抛物线关于点的对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴对称衍生抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于点的对称衍生抛物线为， ∴， ∵抛物线和抛物线有交点， ∴方程有解， 整理得, ， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． （3）如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 【答案】（1）函数表达式为 （2）点的坐标为 （3）所占的面积为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意并掌握数形结合是解题的关键． （1）根据题意，判断出顶点的坐标以及点的坐标，采用顶点式表示其函数表达式，利用待定系数法进行计算，得出其函数表达式即可； （2）结合题意，可知点、点关于直线对称，，结合，得出点的坐标为，代入函数表达式进行求解即可； （3）由点横坐标，得点纵坐标，结合，可得点纵坐标，又米，得点纵坐标，代入函数表达式，求出点、点的横坐标，即可得出所占的面积． 【小问1详解】 解：∵大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令抛物线对应函数表达式为， ∵点为顶点坐标， ∴故，， ∴，将点， 代入得， 解得， ∴函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴点、点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴所在直线为， ∵， 假设，， ∴点的坐标为， 将该坐标代入， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴，， 故点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点到保温墙的距离为7.5米， ∴点横坐标为， 代入求其纵坐标为， ∵，， ∴点纵坐标为， ∴， 解得或， ∵轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， ∴， ∵， ∵， 得所占的面积为． 23. 综合与探究 问题情境 如图，在菱形中，，，为上一点，，动点从点出发，沿折线运动到顶点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 问题解决 （1）在运动过程中，当点到的距离为3时． ①如图1．若点在线段上，则的长为___________； ②如图2，若点在线段上，求此时的长． 拓展延伸 （2）连接，点在上运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②的长为 （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质和判定以及勾股定理、解直角三角形的相关知识，涉及知识点较多，比较复杂，灵活运用知识，正确添加辅助线是解题关键． （1）①结合图象，做出对应的辅助线，结合，，计算出到的距离，根据题意到的距离为3，算出的长，即为的长度；②结合图象，做出对应的辅助线，证明，依此求出的长度，再结合菱形的性质，以及锐角三角函数得，求出的长； （2）对目标进行分类讨论，结合角度问题，有两种情况，当时，满足要求，此时点恰在上，点恰与点重合，直接根据的长度即可得出的长度；当时，此时、、三点共线，添加适当辅助线，结合线段计算，得出证出与均为等腰直角三角形，令，结合三角函数，可用表示、，由于，结合，可解出的值，代入计算、的长度，最后得出的长度． 【小问1详解】 解：①过点作交于点，延长交于点，如下图所示： ∵，， ∴， 结合勾股定理，得， ∵， 即点到的距离也为， 若到的距离为3， 则， ∴． ②过点作交于点，作交延长线于点，过点作交于点，如下图所示： 由（1）中可知，，由于， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， 故的长为． 【小问2详解】 解：对该情况进行分类讨论： 当的度数以为初始边，为终边按逆时针确定时， ∵，， ∴， 当时，即， ∴， ∴，此时点恰好落在上，如下图所示： 由（1）易得，， ∴， ∵， ∴， 此时点与点重合， 故的长为； 当的度数以为初始边，为终边按顺时针确定时，该情况下点位于上， ∵， ∴， 即点、、三点共线，如下图所示： 过点作交延长线于点，过点作交于点，如下图所示： 由（1）中得， ∵，结合勾股定理得， ∴， ∴， 故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则也为等腰直角三角形， 令， ∵ ， 结合， 解得， 结合勾股定理得， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 上册21.1~下册27.1 说明：共三大题、23小题、消分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 如图，在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数图象的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（      ） A. B. C.    D. 6. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 7. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为，两图象交于点，则下列结论错误的是（　　） A. 的值为2 B. 当时，点之间的距离为6 C. 四边形为菱形 D. 当时，四边形为正方形 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. ___________． 12. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得函数解析式为___________． 13. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为______． 14. 已知，是方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）若是关于的二次函数，求的值． 17. 如图，在中，，求的长． 18. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”．双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．现将分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“巳”的概率为______． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的概率． 19. 如图，是的弦，，延长交于点．若，求的半径． 20. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 21. 阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务． 对称衍生抛物线 【定义】对于抛物线，以轴上的点为中心，作抛物线关于点对称的抛物线，则我们称是的“对称衍生抛物线”，点为“对称衍生中心”． 【问题1】抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________． 【问题2】求抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ．．．．．． 任务： （1）抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________； （2）完成问题中的剩余解答过程； （3）若抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为，且与这两条抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 22. 综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． （3）如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 23. 综合与探究 问题情境 如图，在菱形中，，，为上一点，，动点从点出发，沿折线运动到顶点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 问题解决 （1）在运动过程中，当点到的距离为3时． ①如图1．若点在线段上，则的长为___________； ②如图2，若点在线段上，求此时的长． 拓展延伸 （2）连接，点在上运动的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $