精品解析：天津市第八十九中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式可以用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. 2x B. C. D. 4x 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 72 D. 108 7. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C. D. ±36 11. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 计算下列式子： _______； _______； _______； 利用你发现的规律，计算： （ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（每题3分，共18分） 13. 计算：__________． 14. 多项式能用完全平方公式分解因式，则________． 15. 若，，则的值为__． 16. 定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____． 17. 若，则代数式的值等于__________． 18. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为_____________． 三、解答题：（共5小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 因式分解． （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 先化简再求值． （1），其中，； （2）已知，求的值． 22. 如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：___________； （2）请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 23. 两个边长分别为和的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为． (1)用含的代数式分别表示． (2)若，求的值： (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除等知识，根据相关知识逐项计算验证即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意； B. ，故原选项正确，符合题意； C. ，故原选项错误，不合题意； D. ，故原选项错误，不合题意． 故选：B． 2. 下列各式可以用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．平方差公式为 ，找出可化为该形式的选项即可． 【详解】解：A：，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意； B：，无相同项也无互为相反数的项，不可用平方差公式，故此选项不符合题意； C：，符合平方差公式，故此选项符合题意； D：，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，计算正确； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：B． 5. 将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. 2x B. C. D. 4x 【答案】A 【解析】 【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答． 【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意． 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算的逆用，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 7. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C． 考点：因式分解. 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算． 【详解】解：A、大长方形的面积为：（x＋6）（x＋4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x＋6）（x＋4）−6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x，宽为x＋4和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x＋4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x＋4）＋24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x＋6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x＋6）＋x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x＋4）＋24＝x2＋4x＋24，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，难度适中，解题时要注意利用数形结合的思想找出对应的数量关系进行计算． 9. 如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 10. 若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C. D. ±36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，运用完全平方式的定义进行变形、求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴当时，是一个完全平方式， 故选：C． 11. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，即可得出答案． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ， ， ， 由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案， ， 故选：C． 12. 计算下列式子： _______； _______； _______； 利用你发现的规律，计算： （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，理解题目中的规律是解题的关键． 通过计算前三个等式，发现规律： 乘以一个从 到 的多项式等于 ，所求式子中最高次项为 ，故 ，结果为 ． 【详解】∵ ， ∵ ， ∵ ， ∴ 规律：， 对于所求，，其中 ， ∴ 原式 ， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（每题3分，共18分） 13. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 14. 多项式能用完全平方公式分解因式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，特别注意积的2倍的符号，避免漏解． 先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， 又：， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 若，，则的值为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法运算的逆运算，掌握运算法则是解本题的关键，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 16. 定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____． 【答案】x2﹣1 【解析】 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意得： （x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1． 故答案为：x2﹣1． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 17. 若，则代数式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知条件 可得 ，将代数式 利用平方差公式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ． 故答案为：． 18. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，，建立关于a、b的关系，最后求面积． 【详解】解：设，，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题的关键． 三、解答题：（共5小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据幂的乘方的法则，得，再结合同底数幂相乘得，再合并同类项即可； （2）先根据积的乘方的法则，得，再结合单项式乘单项式得，然后合并同类项即可； （3）先根据单项式乘多项式法则，得，再合并同类项，即可作答； （4）先根据完全平方公式以及平方差公式法则，得，再合并同类项，得，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方，完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 因式分解． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 21. 先化简再求值． （1），其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式化简，再代入求值即可； （2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 22. 如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：___________； （2）请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】（1） （2）①4；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 23. 两个边长分别为和的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为． (1)用含的代数式分别表示． (2)若，求的值： (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）S1=a2-b2，S2=2b2-ab．（2）18；（3）15 【解析】 【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案； （2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=9，ab=21代入进行计算即可； （3）根据S3=a2+b2-b（a+b）-a2=（ a2+b2-ab）和S1+S2=a2+b2-ab=30，可求得图3中阴影部分的面积S3． 【详解】解：（1）由图可得，S1=a2-b2，S2= a2-a(a-b)-b(a-b)-b(a-b)=2b2-ab． （2）∵a+b=9，ab=21 ∴S1+S2=a2-b2+2b2-ab =a2+b2-ab =（a+b）2-3ab =81-3×21 =18 ∴S1+S2的值为18． （3）由图可得： S3=a2+b2-b（a+b）-a2 =（ a2+b2-ab） ∵S1+S2=a2+b2-ab=30 ∴S3=×30=15 ∴图3中阴影部分的面积S3为15． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $