第十九章二次根式测试题 2025-2026学年人教版数学八年级下册.

2025-2026年八年级下学期第十九章二次根式单元测试题（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 3．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 4．下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的求解，立方根的求解，二次根式的加减法，根据算术平方根，立方根的定义，二次根式的加减法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 5．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简和加法．根据二次根式的性质和加法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项正确，符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 7．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 8．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 9．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（　　） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④⑤的相反数是 A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤的相反数是，该题做错了； ∴得分应是（分）， 故选：B． 10．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 12．计算： ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键． 根据二次根式的除法运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．设，，则 ； ． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 14．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 15．如图，中，，，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和求三角形面积， 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， ， ， 故答案为：． 16．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．求值与计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根定义解方程，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据平方根定义解方程即可； （2）根据二次根式性质，绝对值意义，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘2得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据二次根式非负性得出， ． 19．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 20．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 21．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分母有理化．先计算括号内的，同时把除法化为乘法运算，然后计算，再将，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式= 23．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到， ， 若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 三角形的周长为10或11． 24．如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直角三角形的性质，列代数式； （1）根据速度乘以时间等于路程求出 ，即可得到； （2）在（1）的条件下，，，，当是等腰三角形时，，据此列方程计算即可； （3）先推理出当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，画出图形，得到此时、、三个三角形全等，则，，，求出，最后根据点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， 当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒， ∴ ， ∴， 故答案为：，； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∴当是等腰三角形时，， ∴， 解得； （3）解：连接将分成和， ∵中含整个图形中最长边，且与有关的三角形不可能有边等于， ∴当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，如图所示： 此时、、三个三角形全等， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级下学期第十九章二次根式单元测试题（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 3．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 7．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 8．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 9．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（　　） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④⑤的相反数是 A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 10．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值是 ． 12．计算： ． 13．设，，则 ； ． 14．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 15．如图，中，，，．则的面积为 ． 16．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．求值与计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 21．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 22．先化简，再求值：，其中． 23．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 24．如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $