第2章 等式与不等式（7知识8题型2解题方法）（期末复习知识清单）高一数学上学期沪教版

该高中数学知识清单系统梳理“等式与不等式”单元内容，涵盖一元二次方程、不等式性质、绝对值不等式等7大知识点，8类典型题型及2种解题方法，搭建从概念辨析到题型应用再到方法提炼的递进式学习支架。 清单通过表格对比（如一元二次方程与不等式关系表）、例题变式分层（基础例到综合变式）呈现知识体系，突出分类讨论（绝对值不等式零点分段）等思维方法，培养数学思维与数学语言表达能力。特别设计“易错点标注”（分式不等式分母不为0）和“解题步骤模板”，助力学生自主高效复习，教师可精准定位教学重难点。

第2章 等式与不等式（7知识8题型2解题方法） 知识点01 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 一元二次方程的根与系数的关系常用变形： ①；②； ③； 知识点02 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 知识点03 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点04 分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；；；； 知识点05 简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点06 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点07 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 【题型一】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例1-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知方程的两个根为、，则 ． 【例1-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【例1-3】（22-23高一上·上海普陀·期末）已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 【变式1-1】（22-23高一上·上海宝山·期末）已知一元二次方程的两个实根为，则 【变式1-2】（22-23高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【题型二】不等式的性质及其应用 【例2-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例2-4】（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【变式2-4】（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【变式2-5】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【题型三】一元二次不等式的求解 【例3-1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 【变式3-2】（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【变式3-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【题型四】分式不等式的求解 【例4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 【例4-2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【例4-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【变式4-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为 ． 【变式4-3】（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【题型五】分类讨论解绝对值不等式 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 【变式5-1】（22-23高一上·上海普陀·期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【变式5-2】（22-23高一上·上海青浦·期末）方程的解集是 ． 【题型六】基本不等式求最值 【例6-1】（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【例6-2】（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【变式6-1】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【变式6-2】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【题型七】基本（均值）不等式的应用 【例7-1】（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【变式7-2】（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 【变式7-3】（22-23高一上·上海奉贤·期末）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 【题型八】绝对值三角不等式 【例8-1】（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 【例8-2】（22-23高一上·上海浦东新·月考）方程的解集为 . 【例8-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【例8-4】（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【变式8-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【变式8-3】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 【变式8-4】（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【变式8-5】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【变式8-6】（22-23高一上·上海松江·期末）设函数，若不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【变式8-7】（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （3） 证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 【题型一】基本不等式“1”的妙用求最值 1．（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【题型二】条件等式求最值 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 5．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（7知识8题型2解题方法） 知识点01 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 一元二次方程的根与系数的关系常用变形： ①；②； ③； 知识点02 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 知识点03 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点04 分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；；；； 知识点05 简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点06 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点07 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 【题型一】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例1-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知方程的两个根为、，则 ． 【答案】 【详解】由于，故方程有两个不相等的实数根、， 由韦达定理可得，所以， 故答案为： 【例1-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 【例1-3】（22-23高一上·上海普陀·期末）已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 【答案】 【详解】因为是方程的一个根， 所以， 设另一个根，所以有， 故答案为： 【变式1-1】（22-23高一上·上海宝山·期末）已知一元二次方程的两个实根为，则 【答案】 【详解】因为一元二次方程的两个实根为， 所以. 故 故答案为： 【变式1-2】（22-23高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 【答案】 【详解】一元二次方程的两个实根分别为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 【题型二】不等式的性质及其应用 【例2-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 【例2-2】（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项错误. ，其中， 所以，D选项正确. 故选：D 【例2-3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例2-4】（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，，则. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以，故①错误； ，故②正确； ，即，所以，故③错误； 因为，所以，故④错误； 故选：A 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误， 对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【变式2-4】（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 【变式2-5】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 【题型三】一元二次不等式的求解 【例3-1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 【例3-2】（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由题意，在R上恒成立，则， 所以，可得， 所以实数的取值范围为； （2）由题设，、是方程的两个根， 则，，， 由，即， 所以，可得或. 经验证，或均满足， 所以或. 【题型四】分式不等式的求解 【例4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 【答案】. 【详解】因为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例4-2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】 ， 因为， 所以由且， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 【例4-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【答案】 【详解】由，得到，等价于且， 所以，即， 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式等价于，解得或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由于， 所以不等式即不等式， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，故， 所以. （2）由题意得有两个根为1和5， 所以， 则的解集为. 【题型五】分类讨论解绝对值不等式 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 【答案】或， 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 【变式5-1】（22-23高一上·上海普陀·期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 综上，的最小值为3. 不等式的解集为，所以. 故答案为：. 【变式5-2】（22-23高一上·上海青浦·期末）方程的解集是 ． 【答案】 【详解】当时，原方程化为：，即， 故此时； 当时，原方程化为：，即， 故此时. 当时，原方程化为：，即， 当时，原方程化为：，即，舍去. 综上所述：方程的解集为：. 故答案为：. 【题型六】基本不等式求最值 【例6-1】（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【答案】 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【例6-2】（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 【变式6-1】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 【变式6-2】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【详解】（1）由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 【题型七】基本（均值）不等式的应用 【例7-1】（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 【变式7-2】（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【详解】由题意利用三角形相似可得，即得， 易知，又，所以由可得；即①正确； 在中，易知，所以可得， 由三角形相似可得，所以， 由可得，即②正确； 易知， 利用勾股定理可得， 所以由，即可以得，即③正确； 故答案为：①②③ 【变式7-3】（22-23高一上·上海奉贤·期末）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 【详解】（1）由已知可得，矩形绿地的东西侧边长为米， 则人行道的占地面积为. 由已知可得，， 整理可得，，解得. （2）由（1）知，人行道的占地面积为， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，矩形绿地的南北侧边长为时，人行道的占地面积最小． 【题型八】绝对值三角不等式 【例8-1】（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 【答案】60 【详解】. 故答案为：60 【例8-2】（22-23高一上·上海浦东新·月考）方程的解集为 . 【答案】 【详解】由绝对值三角不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的解集为. 故答案为：. 【例8-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 【例8-4】（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 【变式8-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【详解】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意函数，若函数的图像恒在函数图像的上方， 所以恒成立，即恒成立，即恒成立， 故只需即可， 而由三角不等式可得，等号成立当且仅当， 即，所以m的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-4】（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-5】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-6】（22-23高一上·上海松江·期末）设函数，若不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 若不等式的解集非空，即，可得， 所以数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-7】（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解. 综上，不等式的解集为； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数x恒成立，且等号成立时的x的取值范围为. 【题型一】基本不等式“1”的妙用求最值 1．（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号， 故选：D 2．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【题型二】条件等式求最值 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以由，当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 5．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 又的最小值为4， ，得 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $