专题01 空间直线与平面（知识必备+11大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）高二数学上学期沪教版

该高中数学期末复习讲义以“空间直线与平面”为核心，通过表格系统梳理平面基本性质、平行/垂直关系、空间角与距离等核心考点，明确复习目标与考情规律，结合知识框架图呈现公理推论、位置关系判定等内容，用图形语言辅助理解，构建“概念-判定-性质-应用”的逻辑脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础通关练夯实符号表示等基础，重难突破练以正方体为载体设计线面平行证明等题型，综合拓展练融入翻折问题培养空间观念与推理能力，每个题型附变式训练，帮助学生从直观感知到逻辑论证提升，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题01 空间直线与平面（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面基本性质的应用 熟练掌握平面的三个基本公理及三大推论，能精准表述公理的文字语言、图形语言和符号语言，明确各公理及推论的核心用途。 基础考点，常以填空题形式考查点线面位置关系的符号表示、平面公理的简单应用、空间几何体的结构特征。 平行关系的判定与性质 熟练掌握“线线平行→线面平行→面面平行”的递进判定逻辑，以及“面面平行→线面平行→线线平行”的性质推导过程。能独立完成定理的证明，并能在具体几何体中找到定理应用的关键条件。 核心考点，客观题中考查简单判断，主观题中考查完整推理证明。常以长方体、直四棱柱、正三棱柱为载体，要求证明线面平行。 垂直关系的判定与性质 构建“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的判定链条，理解线面垂直的核心条件、面面垂直的判定关键。能灵活运用垂直关系的性质定理解决线面垂直、面面垂直的转化问题。 核心考点，客观题中考查简单判断，主观题中考查完整推理证明。常以长方体、直四棱柱、正三棱柱为载体，要求证明面面垂直。 空间角与距离的计算 明确异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义、范围及求解步骤；了解异面直线间距离、点到平面距离的定义，掌握基础计算方法。 高频考点，客观题中考查小型计算，主观题中考查综合计算。通常需要学生先构造角，再结合三角形知识求解。 知识点01 平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 知识点02 直线与直线间的位置关系 1.判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 2.空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 3.异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 4.求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 知识点03 直线与平面间的位置关系 1.空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 2.直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 3.直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 4.直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 5.直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 6.直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 7.直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 8.直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 知识点04 平面与平面间的位置关系 1.平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 2.两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 3.平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 4.平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 5.二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 （2）二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 二面角的平面角范围是； 二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 知识点05 异面直线间的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 题型一 空间的点、直线与平面 【例1-1】（25-26高二上·上海·月考）＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【例1-2】（24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【例1-4】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是： . 【变式1-3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【变式1-4】（22-23高二上·上海虹口·月考）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 题型二 相交平面 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）在空间四边形中，依次为边的中点，已知，且，则 ． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 题型三 空间图形的平面直观图的画法 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【例3-2】（24-25高二上·上海·月考）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，有一边长为 的正方形，则其水平放置的直观图的周长为 cm. 题型四 平行公理 【例4】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 题型五 异面直线 【例5-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 【例5-2】（23-24高二上·上海静安·月考）在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有 条. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·月考）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 题型六 两条异面直线所成的角 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为 ． 【例6-3】（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 【变式6-1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【变式6-2】（23-24高二上·上海·月考）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 【变式6-3】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 题型七 直线与平面平行 【例7-1】（25-26高二上·上海·月考）已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【例7-3】（24-25高二上·上海浦东新·月考）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【变式7-1】（25-26高二上·上海·月考）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式7-2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时， .    【变式7-3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【变式7-4】（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 题型八 直线与平面垂直 【例8-1】（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【例8-2】（25-26高二上·上海静安·期中）在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为 . 【例8-3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为 ． 【例8-4】（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【例8-5】（24-25高二上·上海静安·月考）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【变式8-1】（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知直线a平行于平面，且它们的距离为d，则到直线a与到平面的距离都等于d的点的集合是（    ） A．空集 B．两条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 【变式8-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的 心． 【变式8-3】（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【变式8-4】（22-23高二上·上海闵行·月考）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【变式8-5】（24-25高二上·上海·月考）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 题型九 直线与平面所成的角 【例9-1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【变式9-1】（24-25高二上·上海·月考）直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为 . 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 题型十 平面与平面平行 【例10-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【例10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【变式10-1】（22-23高二上·上海徐汇·月考）（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明； （2）在长方体中，求证：平面平面． 【变式10-2】（25-26高二上·上海·月考）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【变式10-3】（25-26高二上·上海杨浦·月考）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）.则下列结论： (1)求：异面直线AM与NF所成的夹角； (2)试判断MN与平面BCE的位置关系并说明理由； (3)试判断“CN与ME相交”是“CN=ME”的什么条件并说明理由. 题型十一 二面角 【例11-1】（24-25高二上·上海·月考）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【例11-2】（25-26高二上·上海·月考）在直二面角中，直线，直线，分别与都相交且与不垂直，则（    ）. A．不和垂直，也不与平行 B．可能和垂直，也可能 C．不和垂直，但可能 D．不和平行，但可能 【例11-3】（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 ． 【例11-4】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的余弦值的大小． 【变式11-1】（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知直线，平面给出下列命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，且，则； ④若，且，则. 其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，则二面角的正弦值为 ． 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【变式11-4】（25-26高二上·上海·月考）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 2．（23-24高二上·上海·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二上·上海宝山·月考）用符号表示平面经过直线： . 4．（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 5．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 8．（23-24高二上·上海长宁·期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ． 9．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，下列结论中，正确结论的序号是 . ①平面；②平面；③异面直线与所成角的正切值为；④四面体的体积等于. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    11．（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 12．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)求二面角的大小. 13．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 14．（25-26高二上·上海·期末）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面基本性质的应用 熟练掌握平面的三个基本公理及三大推论，能精准表述公理的文字语言、图形语言和符号语言，明确各公理及推论的核心用途。 基础考点，常以填空题形式考查点线面位置关系的符号表示、平面公理的简单应用、空间几何体的结构特征。 平行关系的判定与性质 熟练掌握“线线平行→线面平行→面面平行”的递进判定逻辑，以及“面面平行→线面平行→线线平行”的性质推导过程。能独立完成定理的证明，并能在具体几何体中找到定理应用的关键条件。 核心考点，客观题中考查简单判断，主观题中考查完整推理证明。常以长方体、直四棱柱、正三棱柱为载体，要求证明线面平行。 垂直关系的判定与性质 构建“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的判定链条，理解线面垂直的核心条件、面面垂直的判定关键。能灵活运用垂直关系的性质定理解决线面垂直、面面垂直的转化问题。 核心考点，客观题中考查简单判断，主观题中考查完整推理证明。常以长方体、直四棱柱、正三棱柱为载体，要求证明面面垂直。 空间角与距离的计算 明确异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义、范围及求解步骤；了解异面直线间距离、点到平面距离的定义，掌握基础计算方法。 高频考点，客观题中考查小型计算，主观题中考查综合计算。通常需要学生先构造角，再结合三角形知识求解。 知识点01 平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 知识点02 直线与直线间的位置关系 1.判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 2.空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 3.异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 4.求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 知识点03 直线与平面间的位置关系 1.空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 2.直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 3.直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 4.直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 5.直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 6.直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 7.直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 8.直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 知识点04 平面与平面间的位置关系 1.平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 2.两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 3.平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 4.平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 5.二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 （2）二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 二面角的平面角范围是； 二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 知识点05 异面直线间的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 题型一 空间的点、直线与平面 【例1-1】（25-26高二上·上海·月考）＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间位置关系的画法 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图，三个平面交于一点可以推出三个平面两两相交， 三个平面两两相交推不出三个平面交于一点， 故选：A 【例1-2】（24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 【例1-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析、平面分空间的区域数量 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 【例1-4】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【知识点】平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是： . 【答案】不在同一直线上的三点确定一个平面. 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据共面的几何公理解题. 【详解】一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：不在同一直线上的三点确定一个平面. 故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【变式1-4】（22-23高二上·上海虹口·月考）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 题型二 相交平面 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）在空间四边形中，依次为边的中点，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】利用中位线平行，可证线线垂直，从而利用勾股定理求线段长. 【详解】    如图，由依次为边的中点，可得：， 因为，， 所以，， 即， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、空间中的点共线问题 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 题型三 空间图形的平面直观图的画法 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可 【详解】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 故选：D. 【例3-2】（24-25高二上·上海·月考）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意，同时求出、的长，由此可得的面积． 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算可得. 【详解】    如图，将直观图还原成平面图， 则，，， 所以， 所以边的实际长度为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，有一边长为 的正方形，则其水平放置的直观图的周长为 cm. 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则，可得直观图的周长. 【详解】 如图，正方形的边长为， 直观图中，， 所以直观图的周长为， 故答案为： 题型四 平行公理 【例4】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【知识点】平行公理 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【知识点】平行公理 【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可. 【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，   时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 【答案】50 【知识点】平行公理、余弦定理解三角形 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到， 故答案为：. 题型五 异面直线 【例5-1】（25-26高二上·上海嘉定·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 【答案】C 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间四边形与平面四边形的特点逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，两组对边分别相等的四边形可以是空间四边形，故A不正确； 对于B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，故B不正确； 对于C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 对于D，四边相等，四个角也相等的四边形可以是空间四边形，故D不正确. 故选：C. 【例5-2】（23-24高二上·上海静安·月考）在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】异面直线的判定、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）连接，根据已知推得，，进而得出； （2）结合已知，根据异面直线的定义，即可得出证明. 【详解】（1）    如图，连接， 因为、分别是棱、的中点， 所以，. 由已知可得，，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以，、、、四点共面. （2）因为平面，平面， 平面，但是， 根据异面直线的定义可得，直线与是异面直线. 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据题意画出图形，即可判断与的位置关系. 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有 条. 【答案】 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义即可判断. 【详解】 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·上海·月考）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】（1）取BC的中点为P，连接，在中由两边之和大于第三边即可得证； （2）连接，可得平面，再结合异面直线的概念，说明BQ和平面的位置关系即可证明． 【详解】（1）取BC的中点为P，连接，如图所示， 由三角形的中线性质可知， 在中． （2）连接，如图所示， 因为平面，平面，，且平面， 所以与是异面直线． 题型六 两条异面直线所成的角 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 【例6-2】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解. 【详解】如图： 连接，. 因为为正方体，所以， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 在中，因为，所以. 故答案为： 【例6-3】（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解. 【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内， 因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条； 对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线； 对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可； 故答案为：①③. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二上·上海·月考）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取，，的中点，，，由中位线的性质可得，，再由勾股定理即可求得. 【详解】分别取，，的中点，，，连接，，， 则，，.    又，即. . 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求异面直线所成的角、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. （2）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 题型七 直线与平面平行 【例7-1】（25-26高二上·上海·月考）已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】依次判断选项即可． 【详解】对于A项，也可以，故A错； 对于B项，也可以或，故B错； 对于C项，显然成立，故C正确； 对于D项，也可以，故D错， 故选：C 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 【例7-3】（24-25高二上·上海浦东新·月考）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【答案】证明见解析. 【知识点】证明线面平行 【分析】由题意可知对角面是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】由题意可知，对角面是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【变式7-1】（25-26高二上·上海·月考）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时， .    【答案】 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 【变式7-3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由线面平行求线段长度、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【变式7-4】（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 题型八 直线与平面垂直 【例8-1】（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面垂直的判定定理即可得. 【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 【例8-2】（25-26高二上·上海静安·期中）在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】取的中点，连接，根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到点到平面的距离为，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以点到平面的距离，即为， 又因为正三棱柱的各棱长均为，可得, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 【例8-3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为 ． 【答案】2 【知识点】求直线与平面的距离 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 【例8-4】（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】求点面距离 【分析】利用等体积法来求点到面的距离即可求解. 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 【例8-5】（24-25高二上·上海静安·月考）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明线线平行、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可. 【详解】（1）取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 【变式8-1】（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知直线a平行于平面，且它们的距离为d，则到直线a与到平面的距离都等于d的点的集合是（    ） A．空集 B．两条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 【答案】B 【知识点】面面距离的概念及性质、线面距离的概念及性质 【分析】求出与平面距离为定值的点的集合，再求出在平面内与直线距离为定值的点的集合即可. 【详解】依题意，与平面的距离为d的点的集合是平行于平面，且到平面的距离为的两个平行平面， 由于平行于平面的直线a与平面的距离为d，因此直线a在上述两个平行平面中的一个中， 在此平面内到直线a的距离为d的点的集合是平行于直线a且到直线a的距离为的两条平行直线， 所以到直线a与到平面的距离都等于d的点的集合是两条平行直线. 故选：B 【变式8-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的 心． 【答案】垂 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证，得，即可得出结论. 【详解】在四面体中，若两两互相垂直， 平面，平面，平面， 又平面，所以， 设点在平面上的投影为点， 则平面，又平面，所以， 又因，所以平面， 又平面，所以， 同理，， 所以点是的垂心. 故答案为：垂. 【变式8-3】（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【答案】1 【知识点】求点面距离、点面距离的概念及性质 【分析】当两点在平面的异侧时，利用中点的性质即可求解到平面的距离． 【详解】当两点在平面的异侧时，如图， 所以点到平面的距离为1； 故答案为：1． 【变式8-4】（22-23高二上·上海闵行·月考）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明面面平行、求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证 (2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可 【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点， OF为中位线，即，由，推出不平行， 平面中，平面中，平面，又平面， 所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB 是异面直线，从而得证. （2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体 的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面 正三角形的中心连接并延长交与点， ，又平面，，由，平面， .，，可得.由题意得，则， ，即EF和AB所成的角为 【变式8-5】（24-25高二上·上海·月考）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面垂直证明线线垂直、补全线面垂直的条件 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 题型九 直线与平面所成的角 【例9-1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面角的概念及辨析 【分析】直接根据直线与平面所成角的定义可得. 【详解】因为直线l和平面α相交但不垂直时，直线与直线在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成角.如图： 所以角的范围为； 当直线l与平面垂直时，所成角为. 所以直线l和平面α相交时，直线与平面所成角的范围为. 故选：B. 【例9-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角、由线面角的大小求值 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    【变式9-1】（24-25高二上·上海·月考）直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 【答案】 【知识点】线面角的概念及辨析 【分析】由直线和平面所成角的知识点即可得. 【详解】由直线和平面所成角的概念可得与平面内的直线所成角的取值范围是. 故答案为： 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为 . 【答案】/ 【知识点】求线面角 【分析】根据题意，结合直线与平面所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，是平面的斜线，平面，且， 因为平面，所以即为与平面所成的角， 在直角中，， 因为，所以，即斜线与平面所成的角为. 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以，则． 综上，直线与平面所成角的大小为． 题型十 平面与平面平行 【例10-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【答案】 【知识点】空间平行的转化、面面平行证明线线平行 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 【例10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【知识点】面面平行证明线线平行、证明面面平行、证明线面平行 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 【变式10-1】（22-23高二上·上海徐汇·月考）（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明； （2）在长方体中，求证：平面平面． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【知识点】证明面面平行、判断面面平行 【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可； （2）根据长方体的性质推出，，然后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 已知，，，，，求证， 假设， ∵，， ∴，同理可得， ∴，这与矛盾， 所以，假设不成立，因此. （2） ∵为长方体， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 【变式10-2】（25-26高二上·上海·月考）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，平面到平面的距离为. 【知识点】证明面面垂直、求面面距离、证明线面垂直、证明面面平行 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点面、面面的距离的定义求得平面到平面的距离. 【详解】（1）由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 【变式10-3】（25-26高二上·上海杨浦·月考）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）.则下列结论： (1)求：异面直线AM与NF所成的夹角； (2)试判断MN与平面BCE的位置关系并说明理由； (3)试判断“CN与ME相交”是“CN=ME”的什么条件并说明理由. 【答案】(1)60° (2)MN始终与平面BCE平行，理由见解析 (3)充要条件，理由见解析 【知识点】充要条件的证明、求异面直线所成的角、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）将图形补成正方体，根据正方体的性质，可将异面直线AM与NF所成的夹角转化成正方体面对角线的夹角，从而求出该夹角为； （2）利用线面平行的判定定理，可证得平面. （3）分别证明充分性和必要性.先证充分性，利用直线与相交证明四点共面，根据三角形全等证得；再证必要性，根据求得参数的值，确定点的位置，以判断四点共面，推出与相交. 【详解】（1）因为边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，所以可将图形补成正方体. 因为，所以四边形为平行四边形，所以. 所以即为异面直线AM与NF所成的夹角. 正方体中，均为面对角线，所以，所以为正三角形，所以. （2）平面.理由如下： 过作，且交于点，则. 连接，因为 ，所以. 因为，所以. 由平面，平面，得平面； 由平面，平面，得平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （3）因为边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，所以可将图形补成正方体.如图所示： 充分性： 若与相交，则四点共面. 因为，平面，平面， 所以均为平面与平面的公共点， 所以三点共线. 所以，即为的中点，，所以. 所以. 又因为，所以 所以. “与相交”是“”的充分条件. 必要性： 若，过作，且交于点， 则平面，且. 所以，. 连接，则 所以 因为， 所以，解得： 即分别为的中点，所以连接AE，过点N，且N为AE的中点， 所以共面，且与相交， 所以“与相交”是“”的必要条件. 综上所述，“”是“与相交”的充要条件. 题型十一 二面角 【例11-1】（24-25高二上·上海·月考）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直于两个半平面的交线，故A错误； 对于B，此时两边不一定在两个半平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 【例11-2】（25-26高二上·上海·月考）在直二面角中，直线，直线，分别与都相交且与不垂直，则（    ）. A．不和垂直，也不与平行 B．可能和垂直，也可能 C．不和垂直，但可能 D．不和平行，但可能 【答案】A 【知识点】面面垂直证线面垂直 【分析】在上任取一点，过分别在内作，，再、，连接AB，分析的形状，并据此判断即可得到答案． 【详解】如图，在上任取一点，过分别在内作，， 在上任取一点，过作，垂足为，则，所以， 过作交于，连，又因为，所以平面ACB，所以， 所以为直角三角形，故为锐角， 所以不和垂直，也不和平行． 故选：A． 【例11-3】（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 ． 【答案】 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角 【分析】过点作，，垂足分别为，，连接，可证明，可得是锐二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】如图，过点作，，垂足分别为，，连接， 因为，所以，而平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是锐二面角的平面角， 在直角三角形中，，则. 故答案为：. 【例11-4】（25-26高二上·上海松江·月考）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的余弦值的大小． 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3). 【知识点】棱柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）由题目数据可得三棱柱体积与表面积； （2）通过证明平面可完成证明； （3）由题可得为二面角的平面角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】（1）由题， ； 三棱柱表面积为：； （2）因D为中点，结合题意，可得， 又平面，平面，则. 因平面，，则平面. 又平面，则平面平面； （3）由（2）可得平面，因平面， 则，从而为二面角的平面角. 如图，连接，由题可得， ，由余弦定理，.    【变式11-1】（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知直线，平面给出下列命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，且，则； ④若，且，则. 其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断面面是否垂直、判断面面平行 【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】命题①：若，，则，或， 又，所以，①正确； 命题②：若，，则，或， 又，此时与可能平行，也可能相交，②错误； 命题③：若，，则，或， 又，此时与可能平行，也可能相交，③错误； 命题④：若，，则， 又，所以，④错误； 所以正确的命题个数是1. 故选：A 【变式11-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，则二面角的正弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求二面角 【分析】通过作辅助线找出二面角的平面角，再利用直四棱柱的性质、勾股定理以及三角函数，即可求解. 【详解】根据题意，取中点，连接，. 由已知四边形是边长为的菱形，，所以为等边三角形， 所以，且. 因为四棱柱为直四棱柱，所以，，相等且均垂直于平面，又， 所以，所以为等腰三角形，所以， 所以即二面角的平面角， 又平面，且平面， 所以为直角三角形，所以， 所以. 故答案为：. 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【知识点】空间垂直的转化、二面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】延长至点，使，连接，为等边三角形，可找到顶点在底面内的射影轨迹，确定线段AD在平面上的投影扫过的平面区域，从而求出面积. 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 【变式11-4】（25-26高二上·上海·月考）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【知识点】求线面角、求二面角、面面垂直证线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）由面面垂直的性质，进而可得平面； （2）在（ii）图中过点作，垂足为，进而得到二面角的平面角为，设，再由二面角的平面角的余弦值为，求出即可求解； （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ii）图中过点作，垂足为， 交于点，连接．由翻折知 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得； （3）如图所示，由（2）知， 所以平面平面，所以． 由（1）问，知平面且，所以平面， 又平面，所以，又， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 在（ii）图中过点作交于点， 过点作，连接． 由（2）知平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 所以在平面的射影为，所以为直线与平面所成角． 注意到，即， 解得． 又， ，所以， 即，所以， 由（2）知，所以 （当且仅当时等号成立）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 2．（23-24高二上·上海·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则与相交或平行，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，则或，故C错误； 若，则，故D错误； 故选：D 3．（24-25高二上·上海宝山·月考）用符号表示平面经过直线： . 【答案】 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 【答案】 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】平面与相交于直线，即. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 【答案】①③ 【知识点】判断面面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面垂直的性质可知①符合题意；举反例知②不符合题意；利用异面直线以及线面平行的性质可知③符合题意.由线面平行的性质即可得，可能相交，可知④不符合题意； 【详解】对于①，当，不平行时，不存在直线与，都垂直， ，，故①正确； 对于②,存在一个平面，使得，；则，相交或平行（比如墙角处的三个互相垂直的平面），所以②不正确； 对于③,由，，，，所以存在过直线的平面，使得，且，即有，因为，是两条异面直线，所以相交，同时，所以可以推出，故③正确， 如图所示： 对于④，存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，比如：若直线，同时平行于与的交线，此时，是相交的（如下图所示），不能推出；所以④不正确； 故答案为 ：①③ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 7．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】求二面角、证明线面垂直 【分析】作出图形找到二面角的平面角，证明即可. 【详解】    过点作，又顶点在底面内的射影，平面， 则，平面，所以平面， 所以，则分别为在底面上的射影， 则即为侧面与底面所成的二面角，即为侧面与底面所成的二面角， ， 故， 则，即为定值， 同理可得为定值. 故选：B． 8．（23-24高二上·上海长宁·期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ． 【答案】异面 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】由题意画出图形，利用反证法以及点面之间的位置关系即可得解. 【详解】如图所示： 由题意在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是异面，理由如下： 若直线与直线共面，则四点共面， 而三点唯一确定平面， 但平面，产生矛盾，故假设不成立， 综上所述，直线与直线的位置关系是异面. 故答案为：异面. 9．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，下列结论中，正确结论的序号是 . ①平面；②平面；③异面直线与所成角的正切值为；④四面体的体积等于. 【答案】②③ 【知识点】判断线面平行、锥体体积的有关计算、判断线面是否垂直、求异面直线所成的角 【分析】①取中点为H，通过判断GH与平面平行可完成判断；②通过说明，可完成判断；③注意到，据此可完成判断；④利用正方体体积，减去其他三棱锥体积可完成判断. 【详解】①如图，取中点为H，连接GH，因GH，GH与FG，EG相交，且与EF不平行，则不平行于平面； ②如图，连接BD，由题平面ABCD，又平面ABCD，则. 结合，平面，则平面， 又平面，则.连接，同理可得， 又平面，则平面，故②正确； ③由题结合图形可得，，则异面直线与所成角即为与所成的 角，注意到，则与所成的角的正切为，故③正确； ④设四面体的体积为，正方体体积为， 则， 故④错误. 故②③正确. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小. 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角，    由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 11．（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 12．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【知识点】线面垂直证明线线平行、证明线面垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）由题意可证面，面，进而命题即可得证； （2）由（1）可证得即为二面角的平面角，在中，根据三角函数定义即可求二面角. 【详解】（1）因为底面，面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 因为， 所以，故， 又因为底面，面， 所以， 又，面，面， 所以面， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，面， 因为面， 所以， 又因为， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的大小为. 13．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面平行证明线面平行、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 14．（25-26高二上·上海·期末）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)在线段上与点相距处 【知识点】求点面距离、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，不在面内，面，则平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，，即， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $