山东省部分学校（济宁市泗水县第一中学等）2025-2026学年高二上学期1月诊断性练习数学试卷

高二数学诊断性练习 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章至选择性必修第二册第四 章4.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 21452 1已知数列-号·分，一专是一号…，则该数列的通项公式可以为a.一 数 A-1)+1(n+1) B,-1)"(n+1) 3n 3n C.-1)+(n+1) D.-1)(n+1) n+2 n+2 封 2.不过原点的直线1在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线1的倾斜角为 A晋 B c D.无法确定 3.在空间直角坐标系中，点M(一1,3,4)到x轴的距离为 A.2 B.√/10 C.1 D.4 4.数列(a,}满足a1=3,a+1十4=2，则a1m a A.-4 B.1 c号 D.3 5.过圆(x一1)2+(y+1)=5上一点M(一1,0)作圆的切线1，则1的方程为 A.x+2y+1=0 B.x-2y十1=0 C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 6.从3名男同学和2名女同学中随机选3名去参加校园科技大赛，则2名女同学都人选的概率为 A号 B号 c号 n是 7.已知直线l:3x十4y十12=0及抛物线x2=8y上一动点M(xM,yM),记M到1的距离为d, 则yM十d的最小值为 A.√5 B.2 C.4 D.√5-2 8.在正项数列(an}中，对任意m,n∈N",am+=am十an十m十n十入一2，a1=l,若{ 为单调 递增数列，则入的取值范围是 A.(0,+∞) B.[1,+∞) C.(-1,十∞) D.(0,1] 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，E,F分别为AB,A1C1的中点，则 A=-号A+号aC+a F BR成.BC-} 、C.E示在平面BCCB1上的投影向量的模长为5 D.萨在A,B上的投影向量为-A,B 10.记S,为数列a,}的前n项和，已知a1=-10,产}是公差为1的等差数列，则 A.{an}是等差数列 B.a10=-1 C.Sn≥Ss D.当Sn>0时，n的最小值为12 L.已知椭圆C:多十为1(@>6>0)的左右焦点分别为F,P,若P,Q是C上关于原点对 称的两点(P为第一象限内一点)，M是C上异于P,Q的一点，直线QM与x轴交于点N,e 为C的离心率，则下列说法正确的是 A若PR,1Q,能成立，则e的取值范周为[2,1) B.若PF1⊥QF1,则△PQF1的面积为b2 C.直线PM与QM的斜率之积为e2一1 D若PQ⊥PM,N的横坐标是P的横坐标的4倍，则e=25 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12.圆01：x2+y2=5与圆02：x2+y2+5x+5y=0的公共弦长为▲， 18已知双曲线C:号芳=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为R,R,过R:的直线1与C的 右支交于M,N两点，若∠F,NP1=否，MF,=MN,则C的离心率为 ▲ 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，点P在正方形BCC1B1及其内部上运动，若点 P到AB的距离是到CD距离的两倍，则点P的轨迹长度为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次 绿球，则摸球结束， (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率， 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD,SA=AB =BC=2AD,E是CS的中点. (1)证明：DE⊥SB. (2)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值， 17.(15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=一3，Sg=0. (1)求{an)和(Sn》的通项公式； (2)求|a1+a2l+|a2十a3|+…+lam十am+1. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分)》 在直角坐标系x0y中，点P到直线2x十3=0的距离比P到点F(号，0)的距离大1，记动 点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程， (2)已知经过点F的直线l1与C交于A,B两点，且|AB|=2. (i)求直线l1的方程； (iⅱ)若经过点F的直线l2(与L1不重合)与C交于M,N两点，且M,A位于x轴同一 侧，直线AM与直线BN相交于点K,证明：点K在定直线上. 19.(17分) 如图1，R,R分别是椭圆C若+片=1a>6>0)的左右焦点，过点，作直线1，与C交 于M,N两点.且△F:MN的周长为8，|FF2|=2 (1)求C的方程. 封 (2)如图2，把△MF,F,沿FF翻折为△MFF2,使得二面角M-FF-N的大小为 (i)若直线MN的斜率为一1，求|M1N|; (i)求三棱锥M1-N:F1F2体积的最大值. 图1 图2 线 【高二数学第4页（共4页）】 高二数学诊断性练习 参考答案 1.B根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为4，=一1)”m十1) 3n 2A由题可设1的方程为子+兰。=1，化简可得一y-a=0,故1的斜率为1，倾斜角为干 3.B点M到之轴的距离为/(-1)2+32=/10. A数列a,中，由a,=3e+-2.得a:=号a:=一4a,=3,因此数列a.是周期数 列，周期为3，所以a111=a3=一4. 5.C圆(x-1)2+(y+1)2=5的圆心为C(1,-1),则直线lcM的斜率kcw= -1-01 1+1 2 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即l⊥lw, 所以·kw=一1，则切线1的斜率k,=。1=2, 所以直线1的方程为y=2(x+1),即2x一y+2=0. 6.D设2名女同学为A,B,3名男同学为1,2,3，从5名同学中随机选3名，有(A,B,1),(A, B,2),(A,B,3),(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)这 10种选法，其中，2名女同学都人选的选法有3种，故所求概率卫一0， 7.B抛物线x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=一2， 根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于到准线的距离，即|MF|=yM十2， 所以yM+d=|MF|+d一2，因为当MF⊥l时，|MF|+d最小，所以(|MF|+d)mim 8+12=4,故yw十d的最小值是4-2=2， 3+4 8.A令m=1,则aw+1=a1十am十1十n十入一2=am十n十入，由am一am-1=n一1十入，aw-1 a-2=m-2+入，…，a:-a1=1+入，累加得a,-a1=n-1+入+1+)n-D_ 2 口+(2a,10m-2以，故a,=n+(21-)n-2以+2 2 2 因为分}为单嗣递增数列，所以常>号恒成立，则0十1》十2P+》-2公+2 2(n+1) +以-0-以+，a1+名+2。，2-2以o+1D.因为neN所以2- 2n 2λ<2，解得入>0. 9.ACE-E+AA+A,产=-A店+AA+2AC-号A+号AC+AMi,A正确： 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 E.BC-(-号A店+号A心+AA)·B元--号A店.BC+号C.B武+AM·BC -号×(-)+2×3+0=3，B错误： 过E作EG⊥平面BCC,B1,垂足为G(图略)，易知BG=二BC,过F作FH⊥平面 4 B0C,B1垂足为H,易知C方-CBi,即E市在平面BCC,B,上的投影向量为G, a-√+-号c正确： 过E作ELA,B,垂足为1，易知Ai=号A,B,过F作FLAB,垂足为J,易知A司 -A6,即示在AB上的投影向量为方-A,五，D错误 10ACD由题可知受-号+(a-1)=a-1则S.=n2-1当≥2时a,=5-S= 2n一12，a1=一10也满足上式，故am=2n一12，a+1一am=2,所以{an}是等差数列，A正 确；a1o=8,B错误；令an≤0，即2n一12≤0，解得n≤6，即数列{an}的前5项为负，第6项为 0,第7项起为正，所以Sm≥S5,故C正确；令Sm>0,则n2一11n>0,解得n<0(舍去)或n >11,又n∈N,所以n=12时，Sn>0,所以当Sw>0时，n的最小值为12，故D正确. 11.BCD因为PF1⊥QF1,所以四边形PF1QF2为矩形，设椭圆C的上顶点为B,若要C上存 在点P,使得∠F1PF2=90°，则需∠F1BF2≥90°，所以|BF1|2+|BF2|≤|F1F212,即a2 十+a,号1A箱误 由对称性可知△PQF1的面积等于△PF,F2的面积，由焦点三角形的面积公式可知， △PQF1的面积为b2,B正确； 设Mx,y),P(x0),则Q(-0,-),且 621,2。 a+ 6分=1，两式相减得 (xo-x)(xo+)__y0-y)(y+y) a2 62 可知kM·k一-·2+=-2=C一 a? 22 =e2-1,C正确； 由N(0.得kow-a一一器.因为友测·ac-1,且p·0-1 yo 。5,解得e=25 所以二1一e2=x0=1 ，D正确. xo 12.3√2已知圆O1:x2+y2=5,圆O2:x2+y2+5x+5y=0,两圆方程作差，得到其公共弦的 方程为x十y+1=0, 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 而圆心O1到公共弦的距离d= √1+12 =受，圆0的半径为后，所以公共弦长为 2√5)-（）-3w2. 13.√3如图，设|MF|=x,则|MF2|=x-2a,因为MF|=|MN|, 所以|NF2|=|MN|-lMF2l=2a,则|NF1I=4a. 在△NF,F2中，由余弦定理得|F,F22=|NF12+|NF2I2 2lNF1INF2cos∠F2NF1,即4c2=16a2+4a2-2×4a×2aX 2,化 简可得c2=3a,故e=台=5. 14.誓易知ABL平面BCC,B.CDL平面BCCB,因为点P到 AB的距离是到CD距离的两倍，所以BP=2PC.以B为原点， BC,BB,所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则C(2, 0),设P(x,y)(0<x<2,0<y<2),由BP=2PC,得x2+y2= B 4红-2+]整理得(x一》+y-5点P的轨迹是以 G(o)为圆心，号为半径的圆在正方形BCC,B:内部的圆弧R.射线CG:x=2)≥0) 交国6于点(.2).cE- 25CG-号an∠CcE-万.则∠CGE-号，即圆派F所 对的圈心角为号，弧长为号×号一侣 都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为。，摸到绿 …2分 恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球， 所以恰好第4次技球结束的复率为（停》×号××3 162 625 …6分 (2)每次都是不放回地摸球，分三种情况： 次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为行X4X?×)一 …8分 第2次损到红球，且格好第1次榄球结束的餐率为×号×号×宁品 …10分 32、2、11 第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为亏××行×2=0 …12分 故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为0： 3 …13分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 16.(1)证明：以A为原点，AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，不妨设AD=1,则SA=AB=BC=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0), D(1,0,0),S(0,0,2),E(1,1,1).…2分 DE=(0,1,1),SB=(0,2,-2), …4分 则DE·SB=(0,1,1)·(0,2,-2)=0,所以DE⊥SB. …7分 (2)解：在平面SCD中，DC=(1,2,0),SC=(2,2,-2),AB=(0,2,↑ 0).…9分 n·DC=0, 设平面SCD的法向量为n=(x,y,x),则 n.s元=0， x+2y=0, x=-2y, 即 所以 2x+2y-2x=0, =-y, 令y=一1，则之=1，x=2,所以n=(2,一1,1).… …12分 故直线AB与平面SCD所成角的正弦值为|cos(AB,n)|= …15分 17.解：(1)因为Sg=a1十a2十…十ag=9a5=0,所以a5=0,…2分 所以等差数列{a,的公差d=a一a2-3 5-23 =1,…4分 所以4n=a2十(n-2)d=n-5,…5分 所以S,=na十a2_n(-4+n-5)_n2-9n …7分 2 2 2 (2)令bn=a,十aw+1,Tn为数列{bn}的前n项和，则bn=an十an+1=n一5十n一4=2n一9， 16.l=2m-91=g-2m,w≤4 2n-9,n≥5， T.=-7+2n-9)n=m2-8m. 2 …9分 当1≤n≤4时，a1+a2|+a2十a3|+…+an十am+1=-Tm=8n-n2,…11分 当n≥5时，la1十a2|+a2十a3|+…+|an+am+1|=Tm-2T4=n2-8n十32.…14分 8n-n2,1≤n≤4， 综上，a1十a2|+|a2十a3十…+an十a+1l= …15分 n2-8n+32,n≥5. 18.解：(1)因为直线2x+3=0和2.x+1=0之间的距离为1， 所以点P到直线x=一 的距离与P到点F(20)的距离相等， …2分 由抛物线的定义可得动点P的轨迹方程为y2=2x. …4分 (2)(1)设A(x1y1),B(x2y2),l1的方程为x=my+之： 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 1 由 =my+2'消去x得y2-2my-1=0, y2=2x, 所以y1十y2=2m,y1y2=-1.…6分 1 1 因为AB|=x1十x2十1=my+2十my2十2十1=2m2+2=2,…8分 所以m=0,即直线1，的方程为=宁 …9分 (i)证明：由抛物线的对称性，不妨令点A在x轴上方，由(1)知，A(2,1),B(分，-1)， 设1，的方程为x=十号（4≠0).M.N(w<0<, 1 =y+2'消去x得y2-2y-1=0, 由 y2=2x, 所以y十y1=2,y3y4=-1.…10分 婆千方程为异(。》+1， 直线AM的斜率AM=y,-1=y一1 2 x3-222 …11分 胶N份珠生-兰是方为名：一》-1分 x4-222 -+1. y、2 由 (-》-1, 整理得x一之 1(y3+1)(y4-1)=1_y3y4+y4-y3-1 11 2(y4-1)-(y3+1)2 y4-y3-2 y3+1y4-1 …15分 1-1+y4-y3-11y4-y3-21 2 y4-y3-22yA-y3-22' 因此点K的横坐标恒为方，所以点K在定直线x=号 …17分 19.解：(1)由题可知4a=8,a=2.…1分 又F1F2|=2c=2,所以c=1,…2分 b2=a2-C2=3,…3分 所以C的方程为 …4分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 (2)设M(x1y1),N(x2,y2). (i)易知MN的方程为y=一x+1, y=-x+1, x2+y2=1,府-6y-9=0, 则y十y=号yy=- 6 7，… …6分 则+y=(0y1+)2-21=162 491 …7分 过M1作M1G⊥F1F2,垂足为G,过N1作N1H⊥FF2,垂足为H(图略)， M N]-MG+GH+HN],IM GI-lyl,IGHI=Ix-z2l,|HN]I=ly2 l. 因为二面角M-FPN,的大小为号，所以MG,HN)=经。 …8分 所以MN=(M,G+Gi+HNi)2=M,C产+Gi+HN2+2M,G.HN =y+(x1-x2)2+y+21y1×(-）=+(0y1-y)》2+8-|yy =2i+)-2-=g×2+2×号-号溜。 即1M,N,1=3V 7 …11分 (i)设MN的方程为x=my+1, (x=my+1, +-1 得(4+3m2)y2+6my-9=0, 4 3 6m 9 则y+yg=一4十3myv:= 4+3m2 …13分 π=3 因为二面角M,-F,F2-N,的大小为于，所以M,到平面NF,F,的距离为ysin号-？ y1,………15分 所以VM,N,FF2= 3√5 3√5 2(3m2+4)≈8 故三棱锥M,-N,F,F,体积的最大值为33 8 …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】