山东省泰安市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

高三年级考试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题: 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D C C C B A D B 二、多项选择题: 题 号 9 10 11 答 案 BCD ACD ACD 三、填空题: 12. 13.180 14. 四、解答题: 15. (13 分) 解: (1) .................. 3 分 ................5 分 ...............6 分 (2) ..............8 分 又 ..............10 分 ..............11 分 解得 ..............13 分 16. (15 分) (1)证明: 平面 平面 为 中点 ..............2 分 平面 平面 平面 , 平面 平面 平面 平面 ...........4 分 又 平面 平面 ...........5 分 (2)作 ，垂足为 平面 ， 平面 又 平面 平面 ...........7 分 ...........9 分 取 中点 ,连接 为 的中位线 平面 以 所在直线分别为 轴, 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 10 分 设平面 的一个法向量为 ,则 即 令 ,得 ...........12 分 ...........14 分 直线 与平面 所成角的正弦值为 ...........15 分 17. (15 分) (1)解: ...........2 分 当 时, ...........3 分 ...........5 分 即 中奇数项是以 为首项,6 为公差的等差数列 偶数项是以 为首项,6 为公差的等差数列 当 为偶数时, , ...........6 分 当 为奇数时, , ...........7 分 ............ 8 分 (2)由(1)知 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列 ........... 9 分 当 时, ...........10 分 当 时, ...........12 分 ...........14 分 ...........15 分 18. (17 分) 解: (1) ...........2 分 将 代入切线方程 ,解得 ...........4 分 ( 2 )当 时， 的图象开口向上,对称轴为 ...........6 分 当 时, 单调递增 当 时， ， 单调递减 又 ...........9 分 的取值范围为 ...........10 分 (3)当 时， ...........14 分 有三个不同零点 有三个不相等实根........... 11 分 设 ,则 ...........13 分 当 时, 单调递增 当 时, 单调递减 当 时, 单调递增 ...........15 分 时, 时, 与 有三个交点 的取值范围为 ...........17 分 19. (17 分) 解: (1) 椭圆长轴是焦距的 2 倍,短轴长为 又 椭圆的标准方程为 ...........3 分 (2)(i)当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 由 得 ...........4 分 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 由 ,得 ...........6 分 化简得: ...........8 分 且 (或 ) ...........9 分 由 且 (或由 且 , 得 综上所述, ...........11 分 (ii) 由 (i) 知， 点 在以原点为圆心,以 为半径的圆上 13 分由 ...........15 分 ...........16 分 的取值范围为 ...........17 分 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足2(cos60°+sin60)z=1+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2."x2-2x-3<0"的一个充分条件是 A.x≥-1 B.-1≤x≤3 C.0<x<3 D.x<3 3.已知实数a>b>c且a,b,c≠0，则 A.a+b>c= B2+8>2 C.2a>b+c D+>2 4.终边落在右图阴影区域（含边界）的角的集合为 Aalo≤a≤) B.{alkm≤a≤kn+,keZ Cal2km≤a≤2km+号，kez D.{a-+2km≤a≤2km,keZ} 5.已知等比数列{an}满足lan+l=2anl,且a1+a2+a3=3,则a4+a5+a6= A.24 B.-24或24 C.-24 D.-或 6.已知向量a=(cos8,sin),b=(1,V3),若a与b的夹角不超过，则|a-bl的范围是 A.[1,v BE C.[1,3] D引 7.已知点P是椭圆号+号=1上的-个动点，A2,2,0,-2),则1P4+P1的最大值为 A.4 B.2v5 C.V29+1 D.8 8.已知函数f(x)=(ax-b)(3nx-b),a,b∈R,若f()≥0恒成立，则a(1+)的取值范围是 A.(-∞，3] B.(0,3) C.(3,+o) D.(-00,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(3-2x)5=a0+a1x+…+a6x,则下列选项正确的是 A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B.a1+a2+a3+a4+a5+a6=-728 C.a1+2a2+3a3+…+6a6=-12 D.当x=5时，(3-2x)6除以8的余数为1 10.已知函数f()=asinwx+bcoswx(a>0,ω>0)的最小正周期为π，且f)≤f(爱)=2恒成立，则下列选 项正确的是 A.b=3 B.f()的图象关于点（怎，0）对称 Cf()在(G,)上单调递减 D.若是<x<x2<元fx)=-f6x2),则x1+x2=号 11.己知定义在R上的函数f(x)满足f(f(x)=x,且f(x-1)为奇函数，则下列选项正确的是 A.f(x)的图象关于直线y=x对称 B.f(0)+f(-1)=-2 C.f(-x)+f(x)=-2 D.f(1)+f(2)+…+f(40)=-860 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点(1,2)，则C的准线方程为一 13.某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通AI算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进 行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名AI算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架 构工程师担任.则有种不同的分组方法（用数字作答） 14己知在四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,且AB1AD,AB/CD,PA=AB=AD=CD=1,动点E在 侧面PCD内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线PB上，则EF的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin(A+)=asinAcosC+csinAcosA. (1)求A: (2)若△ABC的周长为2(V3+√⑥，面积为V3,求a. 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB1平面PBC,∠ACB=45°，平面PAC1平面ABC,棱AC的中点为0. (1)求证：PC1平面ABC; (2)若AB=2,C到平面PAB的距离为V3,求直线OP与平面PAB所成角的正弦值 17.(15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,S1=1. (1)求数列{a}的通项公式； (2证明++…+<号 18.(17分) 已知函数f()=2x2+ax-2b,g6)=3lnx-x2+b,a,b∈R. (1)若y=f(x)-ex在x=1处的切线方程为y=(2-e)x-1,求a,b的值； (2)当a=-4时，x1∈(0,6，总存在x2∈[1,4，使得g(x2)<f(x1)成立，求b的取值范围； (3)当a=-4时，h()=f()+9(x)+2x2有三个不同零点，求b的取值范围。 19.(17分) 已知椭圆三+发=1a>b>0)的左，右焦点分别为F(-50,.F,c.0,长轴长是焦距的2倍短输长为2N5. (1)求椭圆的标准方程： (2)若A(),B(xy)是椭圆上的两个不同的动点，直线OA,0B的斜率分别为kkk1点2=一三 (①求坐标原点O到直线AB的距离d的取值范围； ()设AB的中点为D,点E满足V3O正=OA+OB,过D作DH11x轴，过E作EH21y轴，直线DH1与直线EH2 交于点M,A'(x12,y1),B(x22,y2),以0A,0B为邻边作口0ANB,求线段MN长度的取值范围.高三年级考试 数学试题参考答案及评分标准 2026.01 一、单项选择题： 题号1 2345 678 答案D CC 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ACD 三、填空题： 12y=-8 13.180 4.2 四、解答题： 15.(13分) 解：()bsim(A+骨)=asinAcosC+csinA cosA snB(写nA+5csA)=snAs如AsC+sin Co) =sinA sin B…3分 .·sinB≠0 六血A=imA+5 1 .tanA=√3…5分 .A∈(0，T) 5A=写 6分 (2):S=besinA=3he=3 4 .b0=4…8分 又.·a2=b+c2-2 becosA =b2+c2-bc =(b+c)2-12 10分 .a2=[2(W3+√6)-a-12 11分 解得a=2√3 …13分 高三数学试题参考答案第1页（共7页》 16.(15分) (1)证明： .AB⊥平面PBC,BC,PCC平面PBC .AB⊥BC,AB⊥PC ∠ACB=45° .AB=BC .0为AC中点 B0⊥AC…2分 平面PAC⊥平面ABC,OBC平面ABC D 平面ABC∩平面PAC=AC ∴.BO⊥平面PAC .PCC平面PAC .∴.B0⊥PC …4分 又：AB∩BO=B,AB,B0C平面ABC .PCL平面ABC…5分 (2)作CD⊥PB,垂足为D ,AB⊥平面PBC,CDC平面PBC ·.AB⊥CD 又：PB∩AB=B,PB,ABC平面PAB .CD⊥平面PAB CD=万…7分 AB=BC=2 .sin /DBC= CD=3 BC 2 …9分 .∠DBC=60° =5 .PC=23 取PA中点E,连接OE,OE为△PAC的中位线 .OE∥PC .OE⊥平面ABC 以OB,OC,OE所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(√2,0,0)，C(0,√2,0)，A(0,-√2,0)，P(0,√2,2√3)…10分 AB=（√2，√2,0)，AP=0,2√2,2√3) 高三数学试题参考答案第2页（共7页）》 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则 n=0即 √2x+W2y=0 A.n=0 2W2y+2√W3z=0 令y=-√3，得x=√3，z=√2 n=(W3,-W3,W2)…12分 .·0p=(0,√2,2√3) .cos(Op,n）= Op.n opIn =0×3-W3×2+V2x2√5 √3+3+2√0+2+12 =V42 ……14分 28 直线0P与平面PAB所成角的正弦值为2 15分 28 17.(15分) (1)解：Sn+Sm+1=3n2+2n+1 .Sm-1+Sn=3(n-1)2+2(n-1)+1(n≥2) .am+am+1=6n-1(n≥2).。 …2分 .当n=1时，a1+S2=a1+a1+a2=6 ∴.a2=4 ∴.a1+a2=5=6×1-1 an+0m*1=6n-1,n∈W%…3分 ∴.am-1+an=6n-7(n≥2) .0+1-aw-1=6(n≥2)… 5分 即{a,}中奇数项是以a,为首项，6为公差的等差数列 偶数项是以a2为首项，6为公差的等差数列 当n为偶数时，a,=a+(兮-1)×6=4+3n-6=3n-2.… 6分 当a为奇数时m=a+(士 -1)×6=1+3n+3-6=3n-2,…7分 .an=3n-2,n∈W…8分 (2)由(1)知{an}是以1为首项，3为公差的等差数列 sn=n(a+a）=n(3n- 9分 2 2 高三数学试题参考答案第3页（共7页）】 1 s.=n3n-0 当n=1时=1K月 5 …10分 2 2=21=21,-1 当n≥2时，Sn6m-0n3n-3)3nn-)f3n7 )…12分 1,11 1、,11、 =1+ 14分 ……1 1+1+…+ 1 L 15分 18.(17分) 解：0)：y=+ar-26-e ∴.y'=x+a-e ..y'=1+a-e=2-e a=1…2分 将x=1代入切线方程y=(2-e)x-1,解得y=1-e 区)+1-26-e1-0 1 .b=4 …4分 (2)当a=-4时f=)-4k-2b,xe06] :f(x)的图象开口向上，对称轴为x=4 f(x)mm=f(4)=-8-2b…6分 g(x)=3Inx-x+bxe[14] 6 gw=2言” 当1≤x<3时，g'(x)>0,g(x)单调递增 当3<x≤4时，g'(x)<0,g(x)单调递减 又g0=6-石g④)=3h4-；+6 8 高三数学试题参考答案第4页（共7页） 六g4)-80=3h4- 20 六g(xm=g0)=6-1 …9分 6 6<-8-26 ∴b- ·6<-47 18 47 心的取值范围为(818…… 10分 (3)当a=-4时，h()=22-4+3血x-6… 14分 :h(x)=0有三个不同零点 )2-4红+3n比有三个不相等实根… 设e=-4+3nx,则 '()=t-4+3=-4+3=x-1)x-3) …13分 当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增 当1<x<3时，p'(x)<0,p(x)单调递减 当x>3时，p'(x)>0,p(x)单调递增 e=-p=3h3-5 7 15分 x→0时，p(x)→-∞；x→+∞时，p(x)→+0 :y=6与(=7-4+31n有三个交点 3a3-5<6<号 2 ·6的取值范围为(31n3-5,-7 2,2） ……17分 19.(17分) 解：(1)：椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为2√3 .2a=4c,2b=23 又.a2=b+c2 ∴.b=√3，a=2,c=1 椭圆的标准方程为+了……………3 高三数学试题参考答案第5页（共7页）】 (2)(i)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=n x2y2 由4+3=1 得，=30-) x =n .k62=当2= 304)3 X2 n2 4 .n2=2 d=2............................... ………4分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m 由=：+m 3x2+4y2=12得(3+4x2+8%mx+4m2-12=0 -8km 4m2-12 +=3+4=3+4 .△=64h2m2-4(3+4k2)(4m2-12) =48(3+4h2-m2)>0 m2<4k2+3……6分 k62=2=(k1+m)kx,+m) XX2 xx2 =x1x,+km(化1+x2)+m2 X1尤2 =h2 hm -8km m2(3+42) )+ 4m2-12 4m2-12 化简得：2m2=4h2+3…8分 .x1x2≠0 m2且m3+ 4 .d=-m 4k2+3 √1+k2 2(1+2) =2- 2(2+1) (或d=2- 2 9分 2m2+1 由+1≥1且+1*子（或市2m+1≥4且2m+17列. 得d∈[6221 2,7)U221 2) 篆上所述de15,24U2反 …11分 高三数学试题参考答案第6页（共7页）》 (i)由0知，xn=+2=1x-8m=-26 2 23+4k2 m yg=当+2-k(x+)+2m V3 -42 -m+2m.-4k+2m.5 √3 √3m m 2+2=x2+y62=4+3 m2 -2 .点M在以原点为圆心，以√2为半径的圆上…13分 由0N=OA+0B =(x12+x22y12+y22) .xw=x2+x22 =(x1+x2)2-2x1x2 心、 64h2m22(4m2-12) 42+3)2 42+3 64k2m22(4m2-12) 4m4 m2 =4(4R+3)-4m2 =4…15分 m2 =+=30-+30-至 =302-2+) 4 =3… …16分 ∴.N(4,3) MW的取值范围为[5-√2,5+√2]…17分 高三数学试题参考答案第7页（共7页） 高三年级考试 数 学 试 题 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知复数 满足 为虚数单位,则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. " "的一个充分条件是 A. B. C. D. 3. 已知实数 且 ,则 A. = B. C. D. 4. 终边落在右图阴影区域(含边界)的角的集合为 A. B. C. D. 5. 已知等比数列 满足 ,且 ,则 A. 24 B. -24 或 24 C. -24 D. 或 6. 已知向量 ，若 与 的夹角不超过 ，则 的范围是 A. B. C. D. 7. 已知点 是椭圆 上的一个动点, ,则 的最大值为 A. 4 B. C. D. 8 8. 已知函数 ,若 恒成立,则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 若 ,则下列选项正确的是 A. 展开式中的二项式系数最大项为第 3 项和第 4 项 B. C. D. 当 时, 除以 8 的余数为 1 10. 已知函数 的最小正周期为 ,且 恒成立, 则下列选项正确的是 A. B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递减 D. 若 ,则 11. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 为奇函数,则下列选项正确的是 A. 的图象关于直线 对称 B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线 过点 ，则 的准线方程为_____. 13. 某芯片研发部门共有 8 名核心工程师, 其中 3 人精通 AI 算法, 另外 5 人精通硬件架构, 现需分为两个小组进行技术攻关，每组 4 人，每组满足以下要求:①至少有 1 名 AI 算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任. 则有_____种不同的分组方法(用数字作答). 14. 已知在四棱锥 中, 底面 ,且 ,动点 在侧面 内以点 为圆心,1为半径的圆弧上,动点 在直线 上，则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知在 中,内角 所对的边分别为 ,且 . (1)求 ； (2)若 的周长为 ，面积为 ，求 . 16. (15 分) 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，平面 平面 ，棱 的中点为 . (1)求证: 平面 ； (2)若 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分) 已知数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式; (2)证明: . 18. (17 分) 已知函数 . (1)若 在 处的切线方程为 ，求 的值； (2)当 时， ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围; (3)当 时， 有三个不同零点，求 的取值范围. 19. (17 分) 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，长轴长是焦距的 2 倍,短轴长为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)若 ， 是椭圆上的两个不同的动点，直线 的斜率分别为 (i) 求坐标原点 到直线 的距离 的取值范围; (ii) 设 的中点为 ,点 满足 ,过 作 轴,过 作 轴,直线 与直线 交于点 ,以 为邻边作 ,求线段 长度的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $