河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试题

濮阳市一高2024级高二上学期第三次质量检测 数学试题参考答案 一、单项选择题 1. B【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，渐近线方程为. 故选：B. 2．A【详解】，，则，，，，即，，故数列是以3为周期的周期数列， 则，故选：A． 3.答案A【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A. 4．C【详解】因为，所以，因为， 所以.故选：C 5.故选：A【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点，所以，代入可得：，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程.故选：A 6．B【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值，故选：B 7．D【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离．故选：D 8．C【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：C 2、 多项选择题 9. BCD 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 10. AD 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对C：，故选项C错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对A：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项A正确； 对D：由椭圆的定义有，所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确.故选：AD. 11. AC 【详解】选项A：当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 选项B：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设，则， 设与所成角为，， 则， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减，所以，故B错误； 选项D：已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为，综上，点P的轨迹总长度为，故D错误； 选项C：，设， 则， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 因为平面，所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故C正确. 故选：AC 3、 填空题 12. /1.5【详解】因，则直线与互相平行， 而分别为与上任一点， 故当线段为两直线的公垂线段时，的值最小， 此时的最小值即这两平行直线之间的距离， 而即，故.故答案为：. 13. 【详解】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或，故答案为：. 14. /【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得．设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得，所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率．故答案为：． 四、解答题 15. （1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为；......................................................................6分 （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. ...................................................13分 16．（1）作平面，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ， 由图可知，二面角的余弦值为. ......................................................8分 （2）因为，设 则， 由（2）知平面的法向量为 若平面PBC，则有，解得， 所以线段PE上存在点M，使得平面PBC，点M即中点. ......................15分 17.【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. ........................................................6分 （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. ...............................................15分 18．解析：（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且，∴平面ABED， 又平面， ∴平面平面ABED； .................................4分 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． ..................................10分 （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时．.................................17分 19．（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. ...............................................4分 （2）（i）由（1），且， 则 所以. ...............................................9分 （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得，， ， ， 整理得，即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. ...............................................17分 高二年级（2024级）上学期第三次质量检测数学答案 第14页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测 数学试题 國 命题人：濮阳市一高数学命思中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的、 郑 1.双曲线c:y =1的渐近线方程为() 2516 舒 A.y=x B.y=士-x 4 C.y=t4 D.y=± 4 已知数列a中，4=，0=十8 则a2m6=（) A.1 B.1 C.-1 D.-2 3.“a=-1”是“直线4：x+4y-3=0与直线5：x+(a-3)y+2=0平行的() 长 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马 如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,若B=a,D=i,正=c,且 E=C,F为CD的中点，则丽=（) 邪 A. ca+- D.3a+46+4 5 5 细 5.已知M为圆C:(x+2)}+y'=9上任意一点，N(-8,0),若点P满足M派=1P丽，则点P 的轨迹方程为（) 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第1页（共6页） A(x+4)2+y2=4 8.（x-4)2+y2=4 c.（x+4)2+y2=1 D.（x-4)2+y2=1 6.已知椭圆C 士+上=1的左、右焦点分别为R,B,M为椭圆C上任意一点，N为圆B 43 (x-)+y-3)=2上任意一点，则|N1-|MI的最小值为（) A.3V5-√2 B.1-√2 C5-√2 D.22-1 7.如图，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC,BD=DC=l, 点E在棱从上，且AB-从=分则点C到平面DG的距离为() B.25 D.45 15 c.5 15 5 15 8.已知O为坐标原点，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线1交抛物线于A,B两点， 若0A.0丽=-48，则 BF 4 的最小值为() 3 0. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l:心+(a+l)y+2=0,圆0：x2+y2=9,则下列说法正确的是（) A.存在实数a,使圆O关于直线I对称 B.直线1过定点(2，-2) C.对任意实数a,直线1与圆O有两个不同的公共点 D.当a=-2时，直线1被圆0所截弦长为2 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第2页（共6页) 10.已知椭圆C兰+是=1a>b>0的左右焦点分别为、R,长轴长为4，点P5列在箱 圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（) A.不存在点2，使得丽·0丽=0 B,当离心率为5时，12的最大值为3+互 4 4 C.离心率的取值范围为 D.22啊的最小值为号 11.如图，若P是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,的表面一个动点，则下列结论正确的是() D B D A.当P在平面BCCB内运动时，四棱锥P-AA,DD的体积不变 B.当P在线段AC上运动时，D,P与AC所成角的取值范围是 62] C.若F是棱AB的中点，当P在底面ABCD内运动，且满足PFII平面B,CD时，PF长度 的最小值是√6 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2π+4W2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若P,2分别为3x+4y-6=0与6x+8y+3=0上任一点，则P②的最小值为 13.若圆C:(x-1)2+y2=4上到直线kx-V5y+m-1=0(m为实数)的距离为1的点有且仅有 2个，则m的取值范围是 4.如图，点，B是椭圆C之+1（口>6>0）的左、右焦点 AB是C上两点，A=2巫，且∠R识=于则C的离心率 为 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第3页（共6页） 四、解答愿：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或前算步原， 15.(本小题满分13分) 己知圆M:(x-)+(0-b}'=r2(r>0)的圆心在直线y-3x=0上，且直线x-y=0被圆M截得 的弦长为2万、 (1)求圆M的方程； (2)过点N(-2,-)作圆M的切线，求切线的方程 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,B为AD的中点，PA⊥AD,BE∥CD, BE L AD,PA=AE=BE=2,CD=1. (1)求二面角C-PB-E的余弦值： (2)在线段PE上是否存在点M,使得DM∥平面PBC?若存在，求出点M的位置：若不存 在，说明理由。 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 已双曲线C,号卡=(>0，b>0)的实轴长为2，右焦点P到双曲线C的渐近线距离为5。 (1)求双曲线C的方程： (2)过点E(2,0)作直线I交双曲线的右支于A,B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P (O为坐标原点)，求aPAB的面积的最小值. 18.(本小题满分17分) 图1是直角梯形ABCD,ABIIDC,∠D=90°，4B=2,DC=3,AD=√5，C正=2ED,以 BE为折痕将BCE折起，使点C到达G的位置，且AC=V后，如图2. D 图1 图2 (1)求证：平面BCE⊥平面ABED: (2)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值. (3)在棱DC上是否存在点P,使得二面角P-EB-C的平面角为45°？若存在，求出线段CP 的长度，若不存在说明理由， 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第5页（共6页） 19.（本小题满分17分) 己知抛物线「：y2=2x(p>0),斜率为子的直线1交T于A,B两点，且线段AB中点纵坐标为4. (1)求抛物线T的方程： (2)若直线1不过点P(2,4),且直线PA交T于另一点C,记直线PA,PB的斜率为k,, 11=4: D求证：店+店 (i)求证：直线BC过定点. 濮阳市一高高二年级(2024级)上学期第三次质量检测数学试题第6页（共6页）