5.2 认识函数 第2课时教学设计 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“认识函数”第2课时，核心内容为函数表达式推导、自变量取值范围确定及函数应用。通过复习函数定义与表示方法搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生从概念过渡到应用。 资料特色在于结合等腰三角形周长、游泳池放水等实际情境及棋子图案几何问题，通过问题探究与师生总结，培养学生抽象能力与推理意识。如棋子图案问题引导观察规律推导函数表达式，提升建模能力，助力教师高效教学，夯实函数学习基础。

第五章 一次函数 5.2认识函数 第2课时   一、教材分析 本节课属于认识函数(及函数应用)的学习内容，通过等腰三角形周长、游泳池放水等实例，引导学生掌握函数表达式的推导、自变量取值范围的确定以及函数的实际应用.这些内容是函数知识从概念到应用的关键过渡，为后续二次函数、反比例函数的学习奠定基础. 教材以“实例引入—分析推导—应用拓展” 的逻辑展开，先通过等腰三角形和游泳池的具体情境建立函数关系，再结合课内练习和探究活动，从代数(函数表达式、取值范围)和几何(正方形面积、棋子图案)两个维度巩固函数应用，体现了数学知识与实际生活、几何图形的紧密联系.  二、学情分析 学生已掌握函数的基本概念，能理解变量之间的对应关系，具备初步的代数运算和几何分析能力.但在“结合实际情境确定自变量取值范围”“从几何图形中抽象函数关系”方面，仍需进一步强化. 八年级学生思维处于从形象到抽象的过渡阶段，对具象的实例(如等腰三角形、游泳池)理解较快，但对抽象的规律总结(如棋子图案的函数关系)可能存在困难，需要通过直观演示和分步引导帮助其突破.  三、教学目标 1.能根据实际情境推导函数表达式，掌握确定自变量取值范围的方法(结合代数意义、几何性质、实际意义) 2.会运用函数表达式解决简单的实际问题(如求边长、存水量)和几何问题(如正方形面积、棋子总数) 3.通过探究活动，培养从图形中抽象规律、建立函数关系的能力. 4.感受函数在解决实际问题和几何问题中的应用价值，增强数学学习的实用性认知.   四、教学重难点 重点：能根据实际情境推导函数表达式，掌握确定自变量取值范围的方法(结合代数意义、几何性质、实际意义). 难点：会运用函数表达式解决简单的实际问题(如求边长、存水量)和几何问题(如正方形面积、棋子总数)   五、教学过程 · 复习回顾 回顾1：什么是函数？ 答：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫作自变量. 回顾2：函数有哪些表示方法? 答：(1)解析法 (2)列表法 (3)图象法 师生活动：教师提问“什么是函数”“函数有哪些表示方法”，学生回顾并回答，教师结合课件示例(解析式、列表、图象)进行补充说明. 设计意图：通过复习函数的定义和表示方法，帮助学生巩固旧知，为新知识的学习奠定基础，同时引导学生回顾知识体系提升知识梳理能力. · 探究新知 活动一：探究函数自变量的取值范围 师生活动：教师依次呈现问题，引导学生分析变量关系、推导公式，学生独立完成后小组交流，教师巡视点拔并组织全班分享结论.针对不同函数类型，师生共同总结自变量取值范围的求法. 问题1：求下列函数自变量的取值范围： （1）y= ； （2）y= . 分析：（1）有分母，分母不能为0. 解：（1）因为x-1≠0 所以x≠1 分析：（2）开2次方，被开方数是非负数 解：（2）因为2a-4≥0 所以a≥2 问题2：儿童节的时候，每人发2颗糖果，总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________,其中人数x的取值范围是_____________. 答：y= 2x x为正整数 追问：求自变量的取值范，要注意什么? 答：（1）必须使含有自变量的代数式有意义； （2）满足实际问题的意义，如 S = xr2 中，若 r 表示圆的半径，则 r > 0. 总结：不同类型的函数表达式中自变量取值范围的求法: 设计意图：通过问题探究与类型总结，帮助学生掌握不同函数自变量取值范围的确定方法，培养分析、归纳能力，同时结合实际问题，让学生理解取值范围需兼顾代数意义与实际意义，提升数学应用意识. 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 问题3：等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x. (1)求y关于x的函数表达式. (2)写出自变量x的取值范围. (3)当腰长AB=3时，底边BC的长为多少? 分析：求函数表达式，关键是寻找自变量x与函数y之间的数量关系. 师生活动：教师呈现等腰三角形问题，引导学生分析周长与边长的数量关系，推导函数表达式.学生独立求解后，教师组织讨论自变量取值范围的确定(结合三角形三边关系)，并探究函数值的应用.师生共同总结函数三类基本问题及自变量取值范围的考虑因素. 解：(1)因为三角形的周长为10， 所以2x+y=10， 得函数表达式为y=10-2x. (2)因为x，y是三角形的边长， 所以x>0，y>0，2x>y（两边之和大于第三边） 解得2.5<x<5. 所以自变量x的取值范围是2.5<x<5. (3)当AB=3，即x=3时，y=10-2×3=4. 所以当腰长AB=3时，底边BC的长为4. 追问：当x＝6时，y＝10－2x的值是多少?对本例有意义吗?当x＝2呢? 解：当x=6时，y=10-2×6=-2<0，底边BC不存在. 当x=2时，y=10-2×2=6，边长分别为2、2、6， 这样的三角形不存在. 总结：函数的三类基本问题： (1)求解析式 (2)求自变量的取值范围 (3)已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： (1)自变量自身表示的意义，如时间、耗油量等不能为负数； (2) 问题中的限制条件. 此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围. 设计意图：通过等腰三角形实例，让学生堂握函数表达式推导、自变量取值范围确定及函数值应用的方法，理解实际问题中自变量取值需兼顾代数与几何(或实际)限制，培养建模与分析能力，明确函数三类基本问题的解决思路. 问题4：如图，每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)枚棋子，设每个图案的棋子总数为S. (1)图中，棋子的排列有什么规律? (2)S与n之间能用函数表达式表示吗? (3)自变量n的取值范围是什么? 师生活动：教师呈现棋子正方形图案问题，引导学生观察图案规律.学生独立分析后小组交流，教师巡视点拨，随后师生共同推导函数表达式，分析自变量取值范围. 解：(1)观察图案可知，由于正方形四个顶点的棋子被两条边共用，所以呈现出每条边棋子数每增加1，总数增加4的规律. (2)观察图案可知， 当n=2时，S =4=4×(2-1)；当n=3时，S =8=4×(3-1)； 当n=4时，S =12=4×(4-1)；当n=5时，S =16=4×(5-1). 所以每条边有n枚棋子(n ≥2)，棋子总数S与n的关系为S = 4(n-1)(或S=4n-4). (3)自变量n的取值范围是n ≥ 2且n为整数. 设计意图：通过棋子图案探究，让学生从几何图形中抽象出函数关系，掌握函数表达式推导和自变量取值范围确定的方法培养观察、归纳与建模能力，体会函数在几何规律中的应用. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师呈现游泳池放水例题，引导学生分析存水量与时间的函数关系.学生独立推导函数表达式、确定自变量取值范围，计算特定时间的存水量及放完水的时间，教师巡视指导，针对关键步骤组织讨论. 例1 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米. (1)求Q关于t的函数表达式和自变量的取值范围. (2)放水2小时20分后，游泳池内还剩多少立方米的水？ (3)放完游泳池内全部水需要多少时间? 解：(1)Q关于t的函数表达式是Q=936-312t. 因为Q≥0，t≥0，所以 解得 0≤t≤3 所以自变量t的取值范围是0≤t≤3. (2)放水2小时20分，即t=(时). 把t=代入Q=936-312t，得Q=936-312×=208(立方米). 所以放水2小时20分后，游泳池内还剩208立方米的水. (3)放完游泳池内全部水时，Q=0， 即936-312t=0， 解得t=3. 所以放完游泳池内全部水需要3小时. 设计意图：通过游泳池放水的实际问题，让学生掌握一次函数在实际场景中的应用，学会推导函数表达式、确定自变量取值范围并解决相关计算问题，培养数学建模与应用能力，体会函数与实际生活的联系. 【经典例题】 师生活动：教师讲解例题，引导学生分析游泳活动的费用与次数的变量关系，学生思考后推导函数关系式、计算费用并比较哪种活动合算，教师点评并总结函数应用的要点. 例2 暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，内容如下： 活动一：购买一张30元优惠卡，每次仅需5元； 活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7元. 若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m，n元. (1)请你写出m，n与x之间的关系. (2)小明计划暑假期间游泳25次，你认为参与哪种活动比较合算? 解：(1)根据题意得： 活动一：m=30+5x; 活动二：n=7x; (2)把x=25代入得：m=30+5×25=30+125=155 n=7×25=175 因为155< 175, 所以活动一比较合算. 设计意图：通过游泳优惠活动的实际例题，让学生掌握一次函数在费用比较中的应用，学会建立函数模型并解决实际决策问题，培养数学应用与分析能力，体会函数在生活决策中的价值. · 课堂练习 教材练习 1.求下列函数自变量的取值范围： (1)y= ； (2)y=x-1. 分析：分式的分母不能为0. 解：(1)因为x-1≠0，所以x≠1. (2)自变量x的取值范围是全体实数. 2.如图，正方形EFGH的四个顶点分别在边长为1的正方形ABCD的四条边上.设AE=x，试求正方形EFGH的面积y关于x的函数表达式，写出自变量x的取值范围，并求当AE=时，正方形EFGH的面积. 解：因为四边形ABCD与EFGH均为正方形. 所以HG=EH，D=A=90°，GHE=90°. 所以DHG + AHE =90°= AHE+ AEH 所以DHG=AEH 所以△HAE≌△GDH(AAS) 所以DH= AE =x, 所以AH=1-x, 在Rt△HAE中，由勾股定理得： HE2=AE2+AH2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 所以y= 2x2-2x+1; 又因为x>0，且1-x>0, 所以0<x<l 所以y=2x2-2x+1(0<x<1); 当x= 时，y=2x2-2x+1=2×()2-2×+1= 所以当AE=时，正方形EFGH的面积为. 师生活动：教师引导学生分析函数自变量取值范围的确定方法，学生独立求解后，教师呈现正方形几何题，学生探究函数表达式、取值范围及函数值，教师巡视点拔. 设计意图：通过函数与几何题的练习，巩固自变量取值范围的确定方法，培养从几何图形中抽象函数关系的能力，提升代数与几何综合应用水平. 课堂练习 3.设等腰三角形顶角度数为y，底角度数为x，则（ ） A. y＝180－2x（x可为全体实数） B. y＝180－2x（0≤x≤90） C. y＝180－2x （0＜x＜90） D. y＝180－（0＜x＜90） 分析：等腰三角形的内角和为180°，两个底角相等，所以顶角y＝180－2x.又因为三角形的角必须大于0°且小于180°，底角x需满足0 < x< 90° 综上，函数关系为y＝180－2x(0<x<90)故选C. 故选：C. 答：C 4.如果一个圆筒形水管的外径是R，内径是6，它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S＝π(R2－36)，那么R的取值范围为（ ） A.全体实数 B.全体正实数 C.全体非负实数 D.所有大于6的实数 分析：圆筒形水管的外径R必须大于内径6，因为若R< 6，则横截面积S＝π(R2－36)会小于等于0，不符合实际意义(横截面积应为正数).所以R的取值范围是所有大于6的实数. 答：D 5.如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为36m，则鸡场的面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式为_______________,自变量的x取值范围为____________. 分析：设鸡场的宽为x m，则长为(36-2x)m. 根据长方形面积公式，面积y=x(36-2x)=-2x2+ 36x. 因为墙长为18m，所以长36- 2x需满足0 < 36 - 2x≤18. 解得 9 ≤ x < 18. 答：y＝－2x2＋36x 9≤x＜18 6.求函数自变量的取值范围. 解：要使函数表达式有意义， 需满足 解得x≥2. 故自变量的取值范围是x≥2. 7．2021年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定了如下用水收费标准:每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米1.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米1.8元收费. (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元?若用水14立方米呢? (2)求出每户每月用水量超过10立方米时应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的关系式. 解：(1)用水8立方米时应交水费：1.2×8=9.6(元) 用水14立方米时应交水费:10×1.2+(14-10)×1.8=19.2(元) (2)由题意：y=10×1.2+(x-10)×1.8 整理，得：y=1.8x-6. 师生活动：教师布置课堂练习，学生独立完成各题，教师巡视答疑，针对典型题目进行点评，总结解题要点. 设计意图：通过多样练习，巩固函数自变量取值范围、函数表达式推导及实际应用的知识，提升学生解题能力与知识综合运用水平. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.利用函数解决实际问题实质是求哪三类问题？ 3.求函数自变量取值范围要考虑哪些方面？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． 学科网（北京）股份有限公司 $