天津市南开中学2025-2026学年高三上学期数学统练14

南开中学统练 2026届高三数学统练14 一、单选题（每题5分，共45分） 1.已知集合A={x-2<x<1,B={x-Isx<2),则UB=（) A.{x|-2<x<2 B.{x|-1sx<1) C.{x1-1sxs1 D.{x|-1sx<23 2.命题“3x>0,使得x+2<x2"的否定为() A.x>0,使得x+2<x2 B.3x50,使得x+2<x C.x>0,使得x+22x2 D.1x≤0，使得x+2≥x2 3.函数()=x3,g()=2,则图象为如图的函数可能是() A.f(x)+g(x)B.f(x)-g(x) C.f(x).g(x) D. f(x) g(x) 4.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200 位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法 错误的是（) 顿率组距 40 3a O5060708090100评分 A.a=0.005 B.评分在[50,60)的人数约为20 C.估计评分的第25百分位数为65 D.估计评分的平均数为76.5 试卷第1页，共4页 5、将函效了(-s如-0的图象向宏左平格个单位长度后，得到的图象关干y轴对称， 侧的一个充分不必些张件为（) A.0 C. 2 D-牙 6.已灯两个不阀的平而a和P.两条不阅的血线n和m,下列钻论正确的是() 水、若n∥，m∥a,则n∥m B.若n⊥&，M⊥a,则n小.m C.若nca,mCa,i∥，m∥B,则a∥B D、若n=anB,m∥，m∥B,则n∥m 7.已知{a}是甘项和公差均为m的等差数列，{石，}是背项和公比均为m的等比数列， meN'.若{an}的前5项和与{b}的l4项和等予S,则S=（) Λ.30 B.32 C.42 D.46 &已知R,乃是双曲战C无-=1的左右狐点，点P是共祈近我在第一象限内的一点， 直线P听与y轴相交于点Q,àPQP是正三角形，则该双曲线的浙近线方程是（) A.yx B.y2 C,y=士V2x D.y=t3x 3 9定义在R上的奇函数/满足/心x+2)=-f,当xe0,时，1倒=2-1，设a=n2 ,则() A./(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(c)<f(b)<f(a) 二、填空题（每嗯5分，共30分） 10.复数z=+3i (其中ⅰ是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为 1+i 的展开式中x的系数为. （用数字作答). 12.已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为1.4，则该圆台的侧面积为 试卷第2页，共4页 州开中学皎练 13.如图，已知正方形4CD的边长为2，圆频D是以D为直径的半圆弧.当点P为圆 弧AD的中点时，花在上的投形狗量的横长为一：当点P为圆弧AD上的动点时， PCP8的最小的为一， D 14.己知，点P(m,)是曲线C:y=√2c-x+1上的动点，则四+”+'的取值范图为 M+】 15.己知∫(=ar2+br+c(a>0)若方程(x=1有且仅有四个实根x,x2,5,x,其中 书<为<为<x,且x一=2，则a的取值范围为 三、解答题（16题14分，17-19题每题15分，20题16分，共75分) 16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosC(acosB+bcos4)=c. (1)求角C的大小： 2若c=V万，△ABC的面积为3 ,求△ABC的周长. 2 I7.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AW,NM=AB=2, BM=4,CN=25 (I)证明：MB⊥平面ABCD: ②在线段CM(不含端点)上是否存在一点B,使得二面角E-N-M的余弦值为5，若 存在求出的CE值，若不存在请说明理由。 EM 试卷第3页，共4页 ,已知稀圆G1若±a>b>0的左、右焦点为R、,过的直线交椭圆于 N两点，若△MRN的周长为8√5，且该椭圆过点(3,1). (1)求椭圆G的方程； (2)斜率为1的直线1与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2), 求直线1的方程。 19.已知a,b是不相等的正数，在a,b之间分别插入1个正数a,a2…,an和正数b,b2,…,bn, 使a,a,a2,,an,b是等差数列，a,b,b2,…,bn,b是等比数列. (0)若m=5,马=5 云示求的值： (2)若b=1a(1eN',2≥2)，如果存在n(r∈N,6≤n≤m)使得an=b,求元的最小值及此时 m的值. 20.已知函数f(x)=x2-axInx-l(a∈R,a>0),当x≥1时，f(x)20恒成立， (I)求实数a的取值范围； (2若函数g)=-1-血x-因，当实数a取最大值时，是否存在整数，使得关于x的 不等式g(x)≥21恒成立，若存在，请求出1的最大值，若不存在，请说明理由； 知meN,运明+0+月s+号t片 试卷第4页，共4页天津市南开中学2026届高三数学统练14答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A 0 B D B 9 二、填空题 10 11 12 13 14 15 (2,10 32 「471 25π √2；0 33 (2,+0) 3 三、解答题 16、 【小问1详解】 己知2cosC(acos B+bcosA)=c,由正弦定理可得： 2cosC(sin Acos B+sin Bcos 4)=sin C, 整理：得2 cosCsin(A+B）=5imC,“si血c≠0，sim(A+B)=sin(x-O=simC,cosC=),又 0<C<m,C= 【小问2详解】 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得7=a2+b2-ab,∴.(a+b)2-3ab=7, absinC ab ,ab=6, 4 2 ∴(a+b2-18=7,a+b=5,.a+b+c=5+√万， 'aABC的周长为5+V万. 17、 【详解】(1)正方形ABCD中，BC⊥AB, .:平面ABCD L平面ABMN,平面ABCDO平面ABMN=AB,BCC平面ABCD, .BC⊥平面ABMN, 又BM,BNC平面ABMN,∴.BC⊥BM,BC⊥BN, XBC =AB=2,CN=23,.BN=CN2-BC2=22, 又：AB=AN=2,.BN2=AB2+AN2,.AN⊥AB, 又MB/IAN,∴.BM⊥AB, 又BC∩BA=B,BC,BAC平面ABCD,∴.BM⊥平面ABCD (2)假设存在点E,满足题意， 由(1)知，BML平面ABCD,BC⊥AB, 故以B为坐标原点，BA,BM,BC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 M方 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),D(2,0,2),N(2,2,0),M(0,4,0), 设点E(x,y,z),CE=CM(0<1<1),∴.(x,y,z-2)=(0,4,-2), x=0 ∴{y=42,∴E(0,4元，2-2)，.BN=(2,2,0),BE=(0,42,2-22), z=2-21 BN.m=2x+2y=0 设平面BEN的法向量为m=(xyz),∴. BE.m=4y+(2-2)z=0' 令x=1,∴.y=-1,z= 路-》 22 由(1)知平面BMN的法向量为BC=(O,0,2) 42 1- 5 3，即 2A-5.1 cos(BC.m)=Bcm 2.+ 21-2)+42235: 1 即5=V6-4以+2，即32+22-1=0，解得元=3或元=（舍去)， 所以程在一点上，使得正-W,即器-行 EM 18、 es a 3 91 a2=12 【详解】(1)由题意， 名+安-1,0侣做箱G的方程号+苦1 a2=b2+c2 (2)令AB为y=x+b,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1, 联立AB与椭圆方程得：x2+3(x+b)2=12,整理得4x2+6x+3b2-12=0 若4(x.Bs)则5+书=2·5=362 4 男+为=+名+2办-号又（艺，当空艺）在B中重线上 2 2 的1-经可得b=2甲5+场3-0 4 AB=V1+kVx+x)-4x3=35, 又P(-3,2)到AB的距离d=-3-2+2_3W2 √2 2 5m-空川d-号 2 19. 已知a,b是不相等的正数，在a,b之间分别插入m个正数a1,a2,,am和正数b1,b2,,bm,使a,a1,2,,am b是等差数列，a,b1,b2,,bnm,b是等比数列. (四若m=5,器=景求的值： (2)若b=Aa(eN',1≥2)，如果存在n(meN,6≤n≤m)使得an-5=b,求的最小值及此时m的值： (3)求证：an>bn(n∈W,n≤m) 【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 则=名q=旧 a=a+3d=”,y=ag3=V西. 因为号=景所以2a-5V5+2b=0,解得鸭=4或号 (2)因为ia=a+(m+1)d,所以d=品a,从而得a,=a+号 mtjax n. 因为a=a×gm+1,所以q=入m南，从而得bn=a×1+ 因为a-5=b,所以a+a-1-×a=a×X n m+1 因为a>0,所以1+-0-5=1m中(). m+1 因为，m,nEN,所以1+a-)0-5为有理数。 m+1 要使(*)成立，则入m中必须为有理数. 因为m≤m,所以n<m十1.若入=2，则1m为无理数，不满足条件。 同理，入=3不满足条件. 当入=4时，4扇=2品要使2品为有理数，则2”必须为整数。 2n m+1 又因为m≤m,所以仅有2n=m+1满足条件， 所以1+30-3=2，从而解得n=15,m=29. m+1 综上，的最小值为4，此时m为29. (3)设cn>0,Sn为数列{cn}的前n项的和 先证：若{c}为递增数列，则二}为递增数列. 证明：当neN时，色<心=bnt1 n n 因为541=5，+b1>5十产=中，所以要<台即数列产为递增数列. n 同理可证，若(c3为递减数列，则产}为递减数列. @当b>a时，q>1.当neN,n≤m时，>号 aq(qm+1-1)aq(g"-1) m+1>9 即91 ,即g9>92 m+1 因为b=aqm+1,bn=ag,d= m+行所以d>a-e, n 即a+nd>bn,即an>bn ②当b<a时，0<q<1,当neW,n≤m时，计<共 q(qm+1-1)aq(g-1) m+1< 即91 n 因为0<q<1,所以gm1_>g”-0 m+1 n 以下同①综上，a>bn(meN,n≤m). 【解析】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列知识，考查分类讨论思想，是难题. ()用a,b表示出d,q,利用号=即可求的值： (2)确定bn=Q·,利用an-5=bn,可得1+a-D-为有理数，分类讨论，即可求的最小值及此时m m+1 的值： (3)设c>0,Sn为数列c的前项的和.先证：若(G为递增数列，则丹)为递增数列.若(c]为递减数列， 则(0)为递减数列，再分类讨论，即可证明结论。 20. 已知函数f(x)=x2-axInx-1(a∈R,a>0),当x≥1时，f(x)≥0恒成立. (1)求实数a的取值范围； (2)若函数g(9=-1--f@,当实数a取最大值时，是否存在整数t,使得关于x的不等式g()≥恒成立， 若存在，请求出t的最大值，若不存在，请说明理由； (3)已知meN,证明：lnm+(1+为)≤1+2+号++片 【答案】解：由题意，得当x≥1时，F)=f型=x-amx之0恒成立， F四=1+-是=a x2 令h(x)=x2-ax+1,且a>0, 当4=a2-4≤0，即0<a≤2时，h(x)≥0，即F'(x)≥0， 此时F(x)在[1，+∞)上单调递增，则F(x)≥F(1)=0,满足题设； 当4=a2-4>0,即a>2时，(1)=2-a<0,对称轴x=号>1， 所以3x1∈(1，+∞)使h(x1)=0,在1≤x<x1时h(x)<0,即F'(x)<0, 所以F(x)在[1，x1)上单调递减，此时F(x)≤F(1)=0,不满足题设； 综上，0<a≤2，即a∈(0,2]： (2)由(1)知a的最大值为2. 当a=2时，f(x)=x2-2xlnx-1,代入g(x)得： q=2-1-h-f@=n2-=2nx-g x (x>0), 9'闭=2-1-2-+严 x2 x2 设k)=2x-1+lx,k'()=2+>0,故k()单调递增。 由k(份=-n2<0,k(1)=1>0,得存在唯x0∈(G1)使k(x)=0,即nx=1-20: x∈(0，x0)时，g'()<0,g(x)递减： x∈(xo,+o)时，g'(x)>0,g(x)递增。 故g最小值为g(k)=2n0-,代入lhnx0=1-2x0得：9(xo)=4-4n-云 设(=4-4x-ce(侵1)，t'()=-4+子<0，故（单调递减。 由(1)=-1，t⑤=0，得gxo)e(-1,0). 因此整数t的最大值为-1. (3)证明：由()知，x≥1，x--2x≥0恒成立，即vx≥1,2x≤x-担成立， 令x=片，new且n22,则2n片≤石-只=片+月 所以20+吗++n合)≤1+++++高+高++号 则2m≤2(1+号+写++为-1-是故2n+1+月≤2(1+2+写+…+为， 所以m++月)≤1++写++片（证毕）.