第6章 章末复习课 平面向量初步（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建平面向量单元知识体系，涵盖向量的线性运算、基本定理应用、坐标运算及几何应用四大模块，清晰呈现各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义以“知识点梳理+典型例题+跟踪训练”分层设计，如例1结合三角形法则分解向量培养数学运算素养，例2通过基底表示与共线问题发展逻辑推理能力。反思感悟提炼方法技巧，基础学生可掌握运算规则，优秀学生能深化几何应用，助力教师实施精准复习教学。

　　　　　　　　　　　　　　　　 一、向量的线性运算 1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间联系密切. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　在△ABC中，若点D满足=2，则等于(　　) A.+ B.- C.- D.+ 答案　D 解析　如图所示，由题意可得=+=+=+-)=+. 反思感悟　此类平面向量的线性运算问题，求解的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得答案. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　因为=λ+μ =λ(+)+μ(+) =λ+μ(-+) =(λ-μ)+， 且=+，所以解得 所以λ+μ=. 二、平面向量基本定理的应用 1.平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题. 2.通过平面向量基本定理的应用，培养逻辑推理素养. 例2　如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点.设=a，=b. (1)用a，b表示； (2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设=p，=q，求+的值. 解　(1)设=xa+yb， 则=-=xa+yb-a=(x-1)a+yb， =-=-a+b， =-=xa+yb-b=xa+(y-1)b， =-=-=a-b， 因为A，M，D三点共线，所以，共线， 从而(x-1)=-y， ① 又C，M，B三点共线，所以，共线， 同理可得(y-1)=-x， ② 联立①②，解得故=a+b. (2)=-=a+b-pa =a+b. =-=qb-pa， 因为，共线，所以q=-p， 整理得+=5. 反思感悟　运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 跟踪训练2　在△ABC中，=，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示.设=a，=b，试用基底{a，b}表示. 解　因为M为BC的中点， 所以==-)=(b-a)， =+)=(a+b). 因为DN∥BM，AN与AM共线， 所以存在实数λ，μ使得=λ=λ(b-a)， =μ=μ(a+b)=a+b. 所以=+=a+λ(b-a) =a+b， 所以根据平面向量基本定理，得 解得 所以=(b-a)=-a+b. 三、向量的坐标运算 1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题. 2.通过向量的坐标运算，培养数学运算素养. 例3　(1)已知向量a=(3，m)，b=(2，m+1)，若a∥b，则|a-2b|等于(　　) A.2 B. C. D.1 答案　C 解析　因为a=(3，m)，b=(2，m+1)，a∥b， 所以3(m+1)=2m，解得m=-3， 所以a=(3，-3)，b=(2，-2)，则a-2b=(-1，1)， 所以|a-2b|==. (2)已知向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若2a+3b+c=0，则向量c的坐标为(　　) A.(1，-1) B.(-1，1) C.(-4，6) D.(4，-6) 答案　D 解析　向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若2a+3b+c=0， 则c=-2a-3b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(4，-6). 反思感悟　解决向量问题时，把题中向量用坐标形式表示出来，运用坐标运算方法来解决是一种重要途径. 跟踪训练3　平面上有A(2，-1)，B(1，4)，D(4，-3)三点，点C在直线AB上，且=，连接DC并延长至点E，使||=||，则点E的坐标为　　　　.  答案　 解析　因为=， 所以-=-). 所以=2-=(3，-6)， 所以点C的坐标为(3，-6). 由||=||，且E在DC的延长线上， 得=-.设E(x，y)， 则(x-3，y+6)=-(4-x，-3-y)， 得解得 即E. 四、向量在平面几何中的应用 1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基底表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明. 2.借助向量在平面几何中的应用，提升数学抽象和数学运算素养. 例4　已知在Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示). (1)证明　以C为坐标原点，边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，m)，B(n，0). 因为D为AB的中点，所以D， 所以||=，||=， 所以||=||，即CD=AB. (2)解　因为E为CD的中点，所以E， 设F(x，0)，则=，=(x，-m). 因为A，F，E三点共线，所以=λ(λ>1)， 即(x，-m)=λ， 则解得 所以F，所以||=， 即AF=. 反思感悟　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 跟踪训练4　如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，=，=a，=b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线. (1)解　∵=+)=(a+b)， ∴==(a+b)，∵==b， ∴=-=(a+b)-a=b-a， =-=b-a. (2)证明　由(1)知=-a+b， =-a+b， ∴=，∴与共线. 又，有公共点B，∴B，E，F三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $