甘肃省兰州市多校2025-2026学年高二上学期1月阶段性诊断数学试题

绝密★启用前 2025一2026学年高二年级阶段性诊断 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答策后，用铅笔把答题卡对应题目的答策标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1数列-1，是-号，名，…的-个通项公式为 A(-1).2n-1 2n B.(-1).2n-1 2 C.(-1)-1.2n-1 D.(-1).2n+1 (n+1)2 2.圆(x-2)2+(y-2)2=2与圆x2+y2=1的位置关系是 A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ACnBD=O,则PA+P克+P元+Pi= A.20示 B.2P0 C.40 D.4P6 4.已知直线1经过点(3，-2)但不经过原点，且，在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍， 则1的方程为 A.×+3y-1=0 B.x+y-1=0 C.x+3y+3=0 D.3x+y+3=0 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 5已知在△ABC中，L408=120?,能-号若点A,B为双曲钱g的两个氟点，且点C在B上， 则E的离心率为 A.7 c D子 6.已知点P到点F(2,0)的距离与点P到直线x=8的距离之比为2，则1FP的最大值为 A.1 B.3 C.6 D.8 7.已知数列{an}满足a1-1,凸2=3，an+2=an+a+1,若{a|中的第n项为奇数，把该项替换成 (-1)”,若第n项为偶数，把该项替换成2n,得到数列{b,|,则{b,1的前100项和为 A.1121 B.1123 C.3365 D.3367 &已知在正方体BCD-A8,CD,中，沉·AG=4,点P满足亦=宁D+号成+子aC,则 三棱锥D-A,BP的体积为 A号 B.i D号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若{a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A.a,2b,3c B.a-b,b-c,c-a C.a,a-b,a-2b D.a,a-b,a+b-2c 10.记等差数列1a,}的公差为d,前n项和为Sn,已知S2<Sg<S6,则 A.d>0 B.a+ag <O C.a+ag <O D.a,>√agao 11.已知实数a,b满足a2+b2-4a-4b+7=0,则 A异+号的最小值为是 B.alal+b1bl的最小值为3-2√2 c0的最小值为21 14 D.当me(0,+o)时，√(a-2√m)2+(b+m)2+lm+11的最小值为√13-1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共】5分. 12.已知点P(1,0,1)在平面&内，a的一个法向量为n=(-2,N5,3),则点A(-1,0,2)到平 面α的距离为 13.在数列}a,}中，a=2,若数列|a,+a+i是公差为2的等差数列，则as= 14.已知点0(0,0)，4(4,2)，B(2,-1),点P在双曲线C:芹-y=1上，记△0AP的面积为 S1,△OBP的面积为S2,则S,+S2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知餐题c塔+ =1(a>6>0的右焦点为F(,巨，0)，离心率为号 (1)求C的方程； 2)过点P-要o 且斜率为V2的直线与C交于A,B两点，求△FAB的面积 16.(15分) (1)若{an|为等差数列，且a1+a+a=12,2+a4+a6=21,求{an}的通项公式； (2)记1e,的前a项和为8者41=3，%=7，且侣}为等差数列，求a和8 17.(15分) 如图，菱形ABB,A与矩形AM,CC所在的平面垂直，M:=2,AC=万，LAMB,=于，D为 AA,的中点. (1)证明：AC1⊥平面B,CD; (2)求直线BC,与平面A,B,C所成角的正弦值 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 如图，已知圆0：x2+2=4,P是直线y=4上的动点，过点P作圆0的两条切线，切点分别 为A,B (1)若PALx轴，求四边形OAPB的面积； (2)若直线PA,PB与x舳分别交于点M(m,0),N(,0),证明：9m2+9n2+30mn为定值； (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程， 19.(17分) 已知点P(6,6)在抛物线C:x=2y(p>0)上，C的焦点为F (1)点A,B在C上，且满足+丽=FP,求FAI+IFB1 (2)设k为常数，按照如下方式依次构造点P(n=2,3,…):过点Pn1作斜率为k的直线 与C交于点Q-1(异于点P.-),令P。为Q-1关于y轴的对称点，记P,的坐标为 (xn,yn),且1=y1=6. （1)若k=-1,求22； (ⅱ)若k=石，设点P,到y轴的距离为a,求数列a,的前n项和S 数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025一-2026学年高二年级阶段性诊断 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.c 7.D 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2子 13.16 14.22 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析（1)设C的半焦距为c(c>0).由C的右焦点为F(万，0)，得c=瓦. …(2分)》 的离心率为号，得兰二：号所以a2。 (4分) a 所以62=a2-2=4-2=2, (6分) 所以c的方程为子+号=1 (7分) (2)设A(x1y1),B(x2y2）. 由题可知直线B的方程为y=(x+) (8分) 与若+兰=1联立，得5-2y-7=0, 解得X=-1,%=子 (10分) 所以5=分1PP%-%宁×2妥×号-号，即△M8的面积为 2 5 (13分) 16.解析（1)设{an}的公差为d. 由题意知 解得2， 3a1+6d=12, …(4分） 3a+9d=21,ld=3, 所以an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5. (6分) (2)设{}的公差为， 则三=S,+(n-1)k=bm-k+3,即S,=n2-(k-3)n …(8分） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 当n≥2时，an=Sn-S。-1=kn2-(k-3)n-k(n-1)2+(k-3)(n-1)=2kn-2k+3,…(11分) 所以a3=6k-2k+3=7,得k=1, 所以an=2n+1,01=3也符合该式。… (13分) 所以Sn=n2+2n…。 (15分) 17.解析方法一：(1)连接AB,因为侧面ABB,A是菱形，LAM,B,=号， 所以△A4,B1是正三角形，因为D为AA1的中点，所以BD⊥AA1,… (1分) 因为平面AA1C,C⊥平面ABBA1,平面AA,C,Cn平面ABB,A,=AA1, 所以B,D⊥平面AA,C,C. …(3分） 因为ACC平面AA,C,C,所以BD⊥AC1.… (4分) 因为在矩形AM,C,C中，AA,=2,AC=V2,所以tan∠ADC=tanZA1G,A=√万， 所以LADC=LAC,A,因为LCAM,+LA,C,A=,所以LC,AM,+LADC=受， 所以AC1⊥CD，… …(6分) 因为B,D∩CD=D,所以AC,⊥平面B,CD.… (7分) (2)以D为坐标原点，DB,DA,所在直线分别为x,y轴，过点D且与乎面AB跳，A,垂直的直线为z轴，建立空间 直角坐标系，如图，… …(8分) D 则B(5,0,0),A(0,1,0),C,(0,1,2),C(0,-1,N万)，B(5,-2,0), 所以8C=(-万，3,2)，A,B=(5,-1,0),At=(0,-2,2).… （10分)】 设平面A,B,C的法向量为n=(x,y,z),则 rn·A1B=0,r5x-y=0, n.At=0,-2y+Ex=0, 取x=1,得n=(1,5,N6).… (13分) 设直线BC,与平面A,B,C所成的角为0， 则0=·C.452匹姬 InlIBC1√10×√/1435 (15分) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 方法二：(I)连接AB,因为侧面ABB,A,是菱形，LAA,B,=,所以△AM,B,是正三角形， 因为D为AA,的中点，所以B,D⊥AA,以D为坐标原点，DB1,DA,所在直线分别为x,y轴，过点D且与平面 ABB,A,垂直的直线为z轴，建立空问直角坐标系，如图.…(2分) 因为平面AA,C,C⊥平面ABB,A,所以z轴在平面AA,C,C内， 所以D(0,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,N2),B1(3,0,0),C(0,-1,N2), 所以DC=(0,-1,2),AC=(0,2,2),DB=(5,0,0),… (4分) 所以AG.D元=0-2+2=0，AC.DB=0+0+0=0, 所以AC,⊥DC,AC1⊥DB,… (6分) 因为B,D门CD=D,所以AC,⊥平面B,CD.… (7分) (2)同方法一. 18.解析（1)当PALx轴时，根据对称性，不妨设点A在B的右侧，则P(2,4),A(2,0),…（1分) 所以|AP引=4，|OA|=2,且0A⊥AP,…(3分） 连接0P,则Sa5om=2Sar=2×子×0A1xMP1=2×7x×2×4=8 …(5分） (2)设P(2,4),因为M(m,0), 所以直线PM的方程为4(x-m)=(2-m)y,即4x-(21y-4m=0, Vi6+(a-i萨*2，…。 因为直线PM与圆0相切，所以I4mL (7分) 整理得3m2+4m-422-16=0,同理有3n+4n-4:2-16=0, 所以m,n是方程3x2+4kr-4r+16=0的两个实根， 所以m+n=-号m=-6, 3 ……(9分)》 所以9m2+9n2+30mn=9(m+n)2+12mn=162-4(42+16)=-64,为定值. ……………… (11分) (3)由题知OA⊥AP,OB⊥BP, 所以点A,B在以0P为直径的圆上，由0(0,0)，P(2t,4), 得该圆的方程为(x-)2+(y-2)2=2+4, 与x2+y2=4相减，得直线AB的方程为x+2y-2=0. （14分)》 取t=0,得y=1,所以直线AB过定点R(0,1), 又因为Q为AB的中点，所以0Q⊥AB,即OQ⊥RQ, 所以点Q在以0R为直径的圆上，该圆的方程为+(-” 4 …(16分)） 又AB不可能是圆的直径，所以点Q不可能与原点重合， 所以点Q的钱迹方程为2+(-宁=(y0)）,即2+-y=0y*0. (17分)》 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.解析(1)因为点P,(6,6)在C上，所以62=2p×6, 所以p=3,c的方程为女=6y,0,2)} …(2分)） 设A(xA,yA),B(xByB）. 减+应=丽，得（名++-3）=(6，)， 所以+=3+号-艺 所以PA+FB1=A+⅓+3= (5分) (2)(1)过点P1且斜率为-1的直线为y=-x+12. (6分) x=6,x=-12, 或{ Ly=6,y=24, 所以Q(-12,24),…(8分） 因为P2与Q1关于y轴对称，所以P2(12,24), 即名2=l2,y2=24.…(9分)》 (i)因为Pn(xyn),所以当n≥2时，有Pn-1(x,-1y-),Q-1（-3). 直线PQ的方程为y=右+)+， =石+)+ 由 得x2-米-名，-6yn0,… (10分) x2=6y, 则，1一x。=1,即x,-。1为-1，即{x}是首项为6，公差为-1的等差数列， 所以花n=6-（n-1)=7-n。…(12分） 当1≤≤7时，xn≥0，an=lxn1=x, 则Sn=@1+a2+…+an=名1+2+…+xn =6+7业13n,心 2 2 (14分) 当n≥8时，xn<0,an=lx1=-xn, 则Sn=S,+ag十g+…+an=S,-xg-y-…-光w =21+1+2+…+(n-7)=21+1+n-7)(n-7）=n2-13n+84 …(16分) 2 2 13n-2,1≤n≤7， 2 故S。= （注：把几=7归入下面的式子也正确)…（17分)》 2-l3n+84,n≥8. 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP