专题03图形的初步认识（期末复习讲义）（知识点总结+1个易错警示+9大题型+巩固练习）2025-2026学年华东师大版七年级数学上学期

该初中数学讲义以“图形的初步认识”为核心，通过表格系统梳理10个核心考点，结合知识脉络图谱呈现立体图形与平面图形的内在逻辑，明确重难点分布，帮助学生构建完整知识框架。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型巩固立体图形识别等核心知识，培优题型如角的和差倍分计算培养推理意识，压轴题型如射线旋转问题发展空间观念，配套易错点警示和避错技巧，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题03 图形的初步认识 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、立体图形的识别与分类 能识别长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形，按柱体/锥体/球体分类 选择/填空/识图题 ★ 混淆圆柱与圆锥的侧面特征；误将多面体与旋转体分类错误 2、三视图的识别与绘制 掌握主视图、左视图、俯视图的定义，能根据立体图形画三视图，或由三视图还原立体图形 选择/填空/作图题 ★★ 画图时忽略“长对正、高平齐、宽相等”；看不见的轮廓线未画虚线 3、立体图形的表面展开图 能判断正方体、圆柱、棱柱等的展开图，会折叠还原立体图形 选择/填空/匹配题 ★★ 混淆正方体相对面；误判圆柱展开图中长方形与底面圆的关系 4、直线、射线、线段的辨析 明确三者的端点、延伸性、度量性区别，规范表示方法 选择/填空/判断题 ★ 射线表示时端点顺序错误；误认为直线/射线可度量长度 5、线段的计算与中点 掌握线段和差、中点性质，能解决线段等分、路程最短问题 填空/解答/计算体 ★★ 中点计算时忽略“平分线段”本质；路程最短问题未用“两点之间线段最短” 6、角的概念与度分秒换算 理解角的定义与表示方法，熟练进行、的换算 选择/填空/计算题 ★★ 换算时未按60进制进退位；角的表示混淆顶点字母位置 7、角的计算与角平分线 能进行角的和差倍分计算，运用角平分线性质推导角度关系 填空/解答/推理题 ★★★ 角平分线应用时漏写“平分所得两角相等”；忽略邻补角和为 8、余角与补角 理解余角（和为）、补角（和为）概念，运用性质解题 选择/填空/计算题 ★★ 混淆余角与补角的度数关系；未掌握“同角的余角/补角相等” 9、方位角的应用 以正北/正南为基准，描述物体方向，解决实际方位问题 选择/填空/解答题 ★★ 方位角表述以正东/正西为基准；计算方位角时未结合图形分析 10、线段与角的动点问题 用变量表示动点形成的线段/角度，结合分类讨论求解 解答题（压轴题） ★★★ 动点位置未分类讨论；忽略运动范围与端点限制 易错类型1：立体图形展开与折叠对应错误 易错警示： 正方体展开图中相对面判断错误（如“相邻面当作相对面”）； 折叠时忽略“对应边相等、对应角相等”，导致立体图形面关系判断失误； 误将“田”“凹”型图形当作正方体展开图。 【题型1】正方体展开图与立体图形对应面判断 避错要点: 牢记正方体展开图“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”“3-3”四种类型，排除“田”“凹”型； 相对面判断技巧：间隔一个正方形（如“1-4-1”型中，中间4个正方形的相对面为上下两个）； 折叠时想象“面的重合过程”，标记对应边和对应角。 【例题1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图是一个正方体表面的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，相对两个面上的数字之和的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对面的确定，准确地找出每个面的相对面是解题的关键． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可得“1”与“4”是相对面；“3”与“5”是相对面；“2”与“6”是相对面，然后求解比较即可解答． 【详解】解：根据题意得：“1”与“4”是相对面；“3”与“5”是相对面；“2”与“6”是相对面， ∵，， ∴相对两个面上的数字之和的最小值是5． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·广东佛山·月考）一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母F对面的字母是 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字；观察三个正方体，与C相邻的字母有A、B、D、E，从而确定出C对面的字母是F，即可得出结果. 【详解】解：由图可知，与C相邻的字母有A、B、D、E， ∴C对面的字母是F，即字母F对面的字母是C. 故答案为：C. 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图是一个正方体纸盒的展开图，将这个图形折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是 ． 【答案】7 【分析】先确定正方体展开图中相对的面，再根据“相对面的数互为相反数”列等式，求出、的值． 本题主要考查了正方体展开图的相对面关系及相反数的概念，熟练掌握正方体展开图中相对面的位置特征是解题的关键． 【详解】由正方体展开图可知：和6是相对面，和是相对面，和是相对面， 相对面的数互为相反数 ， ，， ． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)图，，所需外包装盒的纸板面积分别为平方分米，平方分米，平方分米，图所需外包装盒的纸板面积更少； (3)图见解析， 【分析】本题考查了列代数式，长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）结合长方体表面积公式列出代数式，即可解题； （2）分别计算出图，，所需外包装盒的纸板面积，再进行比较判断，即可解题． （3）要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：制作的长方体纸箱需要纸板面积为平方厘米， 故答案为：． （2）解：图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； ， 图所需外包装盒的纸板面积更少； （3）解：如图所示，此时外围周长最大， 最大外围周长为：； 故答案为：． 【基础必考题型】 【题型2】立体图形与平面图形互化（生活情境） 1.核心知识点: 常见立体图形（正方体、圆柱、圆锥等）的识别； 立体图形与展开图的对应关系。 2.解题方法技巧: 结合生活实例（如包装盒、积木）识别立体图形； 排除正方体展开图“田”“凹”型，通过“相对面不相邻”验证对应关系。 【例题2】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）下列几何体的命名不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握立体图形的特征是解题的关键．根据立体图形的特征进行作答即可． 【详解】解：A．本图是圆柱，故本选项不符合题意； B．本图是圆锥，故本选项不符合题意； C．本图是三棱柱，故本选项符合题意； D．本图是三棱锥，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了画主视图，根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案． 【详解】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线， 故答案为：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）将如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了 正方体相对两个面上的数，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据 正方体相对两个面上的数互为相反数求出a、b、c，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面， 相对面上的两个数都互为相反数， ，，， ， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 【题型3】角的度量与度分秒换算 1.核心知识点: 角的度量单位（度°、分′、秒″）； 度分秒换算进制（1°=60′，1′=60″）。 2.解题方法技巧: 小单位化大单位：除以60（如150′=2.5°）；大单位化小单位：乘60（如2.25°=2°15′）； 换算时分步计算，避免进制混淆。 【例题3】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末） ′ °． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，． 根据，，先把秒化分，再把分化度即可． 【详解】解：，． 故答案为：；． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知：，，那么下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查度、分、秒的互化，角的大小比较，掌握相关知识是解决问题的关键．将三个角统一转换为以度为单位的角，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ； ； ∵， ∵， ∴． 故选：B． 【变式题3-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（   ） （精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】本题考查近似数、单项式的系数和次数、角度换算及同类项的概念，关键是熟练利用知识点判断；根据定义逐一判断各题正误． 【详解】解：∵ 精确到百分位需看千分位，千分位为， 向百分位进，得，故正确； ∵ 单项式的系数为数字因数，次数为字母的指数和， 故正确； ∵ ，故错误； ∵ 同类项需字母相同且对应指数相同，中指数为、指数为，中指数为、指数为，指数不同， 不是同类项，故错误； 综上，做对题数为道， 故选：B. 【变式题3-3】.（2025七年级上·福建泉州·专题练习）将化成度分秒表示， 【答案】 26 32 24 【分析】本题考查角度单位换算，掌握角度由大单位变小单位用乘法，由小单位变大单位用除法是解题关键． 将度的小数部分乘以60得到分，再将分的小数部分乘以60，得到秒即可得解． 【详解】解: 故答案为：26，32，24． 【题型4】方位角基础表示 1.核心知识点: 方位角的定义（以正北/正南为基准，向东/向西偏转的角度）； 方位角的规范表示（如“北偏东45°”“南偏西30°”）。 2.解题方法技巧: 以正北/正南为基准线，画出偏转方向和角度； 避免“东偏北”“西偏南”等不规范表述（特殊角45°可表示为“东北方向”）。 【例题4】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，如果的方向是北偏东那么的反向延长线表示的方向是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．东偏南 D．西偏南 【答案】B 【分析】本题考查了方位角．利用方向角的定义判断即可． 【详解】解：的反向延长线表示的是：南偏西方向上的一条射线． 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，一艘轮船行驶至点O处同时测得海岛A，B的方向分别是北偏西和南偏西，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方位角，涉及方位角的概念与计算，由方位角可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示： 一艘轮船行驶至点O处同时测得海岛A，B的方向分别是北偏西和南偏西， ， ． 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，港口在灯塔的北偏东的方向上，港口在灯塔的南偏东的方向上，一货轮从港口向港口航行． (1)求从灯塔看两港口的视角的度数． (2)当货轮航行至点时，恰好平分，问此时货轮在灯塔的什么方位？ 【答案】(1) (2)货轮在灯塔的北偏东的方向上． 【分析】本题主要考查了方向角，掌握方向角的计算方法是关键； （1）根据方向角的大小来求解即可； （2）由及恰好平分，求出即可求解． 【详解】（1）解：港口在灯塔的北偏东的方向上，港口在灯塔的南偏东的方向上， ， ； （2）解：，恰好平分， ， ， 故货轮在灯塔的北偏东的方向上． 【变式题4-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11400平方米 (3)见解析 【分析】关键是掌握画圆的方法，能根据方向、角度和距离画出路线图，结合题意分析解答即可． （1）先用虚线画出正方形对角线，对角线的交点是圆心，半径=对角线的一半，据此画出圆． （2）增加的面积=圆的面积-正方形面积，南门到北门距离是圆的直径，圆的面积=圆周率×半径的平方，正方形可以看成两个三角形，三角形面积=底×高÷2，据此求出增加的面积． （3）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．看图可知，图上1段表示50米，实际距离÷50=要画的段数． 【详解】（1）解：设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形，如图 （2）（米） （平方米） 答：扩建后公园面积增加11400平方米 （3）（段），如图 【培优高频题型】 【题型5】角的和差倍分计算（图形结合） 1.核心知识点: 角的和差运算（）； 角的倍分关系（则）。 2.解题方法技巧: 标注图形中已知角的度数，明确角之间的和差倍分关系； 设未知数（如设），列方程求解未知角。 【例题5】.（25-26七年级上·山西运城·月考）将一副三角板按如图所示的方式放置，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查角的和差运算，掌握好三角板的锐角的角度值是关键． 一副三角板的锐角的角度值为，，，结合图，进行相加运算即可． 【详解】由图可知，． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，将一副学生用三角板按如图方式摆放，其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的概念和度分秒的换算，关键是求出的度数，是一道基础题． 求出的度数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形为含角的直角三角板，三角形为含角的直角三角板． (1)如图1，若点在上，则的度数为______； (2)如图2，若，则的度数为______； (3)如图3，若，求的度数； (4)如图3，若，的度数是否改变，若改变，说出理由．若不变，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数不变， 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （2）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再根据计算即可得出结果； （4）由题意可得，，再根据，，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴； （2）解：由题意可得：，， ∵，， ∴； （3）解：由题意可得：，， ∵，， ∴； （4）解：由题意可得：，， ∵，， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，点是直线上一点，以点为顶点作，且，位于直线两侧，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系和平角定义求解即可； （2）先根据角平分线的定义得出，结合已知条件可得出，，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ （2）解：设 ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴． 【题型6】角平分线与余补角综合推理 1.核心知识点: 角平分线的定义与性质； 余角、补角的性质（同角的余角/补角相等）。 2.解题方法技巧: 设未知角为，用表示相关角，结合角平分线、余补角关系列方程； 推理时注明依据（如“与互余，与互余（同角的余角相等）”）。 【例题6】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，几何图形中角的和差计算．首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后分两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 分为两种情况： 如图1，当在内部时， ； 如图2，当在外部时， ∴． 综上，的度数是或． 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）如图，点、、是在同一直线上，平分、平分，则下列说法中错误的是（   ） A．是直角 B．与互余 C．和互余 D．与互余 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，互余和互补的定义， 根据角平分线的定义得，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， 即， ∴，， 即与互余，与互余，与互补． 所以A，B，C正确；D错误． 故选：D． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东菏泽·月考）如图，已知，，平分，ON平分． (1)求的度数； (2)如果，其他条件不变，求的度数； (3)如果（为锐角），其他条件不变，求的度数； (4)从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) (4)无论和的度数大小如何变化， 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和几何图形中的角度计算．能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系是解题的关键． （1）要求，即求，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得； （2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可． （4）根据（2）和（3）中的结论进行总结． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，ON平分． ∴ ∴ （2），， 平分，平分 ， ． （3），， 平分，平分 ，． ． （4）从上面的结果中，发现： 的大小只和的大小有关，与的大小无关． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 【压轴创新题型】 【题型7】平面图形计数规律探究（含的表达式） 1.核心知识点: 线段、角的计数方法； 规律归纳（从特殊到一般）。 2.解题方法技巧: 计算前3-4个简单图形的计数结果（如、时的线段数）； 归纳规律：个点最多连条线段，条射线（共端点）最多构成个角。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 (2) (3)30 【分析】根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得题（1）的结果，再根据表（1）数据总结出归律得题（2）的结果，根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数． 【详解】（1）解：结合图形我们可以得出： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 （2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：； （3）代入上式得：．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【分析】本题考查欧拉公式，正确数出多面体的顶点、面、棱的数量； （1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为个，每条棱连着两个面，所以棱数为个； （2）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数、面数的关系，代入顶点数面数棱数即可求解. 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 【题型8】三角板叠放与组合角度计算 1.核心知识点: 常见三角板内角（、、、）； 叠放时重叠角、互补角、互余角的关系。 2.解题方法技巧: 标注三角板已知角度，找准重叠或相邻的关键角； 利用“整体角=已知角±重叠角”计算，验证结果是否为合理角度（）。 【例题8】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差计算，熟练掌握相关概念，准确表示各角和各角之间的关系是解答本题的关键． （1）设，则，根据求解即可； （2）设，则，得出，然后根据求解即可． 【详解】（1）设，则， 因为平分， 所以， 所以， 解得：，即的度数为； （2）设，则， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得：，即的度数为． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·全国·期末）点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．射线平分． (1)如图，若，求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图的位置，一边在射线上方，另一边在直线的下方．探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的关系，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， 所以； （2）解：由已知得， 又是直角，平分， 所以； （3）解：，理由如下： 设，则， 平分， ， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)135 (2)平分，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． (1)根据角之间的位置关系和三角板中角的度数，可得； (2)根据可知，，根据角平分线的定义可证，根据同角的余角相等可证结论成立； (3)根据，，可知，根据角之间的位置关系可得，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：平分， 理由如下： ， ，， 平分， ， ， 平分； （3）解： ，， ， ， ， ， 即． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)是 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，角的和差运算，互余、互补关系，解答本题的关键是理解新定义的含义． （1）利用互补关系与互余关系即可判断； （2）由题意得，设，用含的式子将和表示出来，即可得猜想结果； （3）由题意得，，则可得，由此得，即，根据是正整数可得的度数，从而求得的值． 【详解】（1）解：是， ． ∴， ，， ，即． ． ． 即是． 故答案为：是． （2）不是，理由如下： 是， ． ． 设，则，， ． ， ． 若是， 则， 即，解得， 此时不满足题意， 不是． 与是重合的， 不是． （3）是，是， ，． ， ． ， ． ． ，且为正整数， ． ． 【题型9】射线旋转中的角度动态探究 1.核心知识点: 旋转角度=旋转速度×时间（）； 旋转过程中角的和差、邻补角关系。 2.解题方法技巧: 设旋转时间为，用表示射线旋转角度，明确旋转方向（顺时针/逆时针）； 分旋转角未超过临界角、超过临界角两类讨论，结合图形列角度关系式求解。 【例题9】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·四川广元·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北唐山·月考）是内部的一条射线，且． (1)如图1，若平分平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒． ①和分别在和内部时，求和的数量关系； ②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)①；②5或9 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）将中拆为，结合平分即可判断； （3）①先求出，根据题意可得，，由此求出 ；②根据位置不同，分情况讨论即可． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）解：是的平分线，理由如下： ， ， ， 平分， ， ，即， 是的平分线； （3）解：①∵， ， 由题意得：， ， ； ②∵， ∴， ， （i）当时，和分别在和内部， ， ， 若，则，不符合； （ii）， 当时，如图： ， ， ，则，符合； （iii）当和重合时： ， 即，则； 故当时，如图： ， ， ，则，不符合； （iv）当时，如图： 则当时，，解得， ∵的旋转速度大于的旋转速度， ∴时，； 综上所述，的值为5或9． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·月考）定义；当射线在内部，时，我们称n为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若射线平分，则_____． (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，______，______． ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速原路返回，则当为何值时，? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为，没到晚上7点就回家了，发现时针和分针的夹角还是，回来时时针和分针的位置分别设为，，出发时分针的位置设为，钟面中心为点，，分别从，同时出发，绕点顺时针旋转，绕点逆时针旋转，当到达射线时停止旋转．旋转速度是旋转速度的3倍，设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示（对的范围不做要求）． 【答案】(1) (2)①，；②或时， (3) 【分析】本题以新定义的形式考查运动型问题，涉及到列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的新定义，能根据射线运动过程中角度的变化进行适当的分类讨论. （1）根据新定义和角平分线的定义，进行求解即可； （2）①用含有t的代数式表示出，的度数，根据新定义进行求解即可； ②分和两种情况进行讨论求解即可； （3）根据新定义，求出，进而得到，利用角的和差关系求出，再根据新定义，列出代数式即可. 【详解】（1）解：∵射线平分， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：①由题意得：，， ∴ ∴，， 故答案为：，. ②由题意得，射线旋转到射线时，所需时间为秒，射线旋转到射线时所用时间为秒， ∴当时，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上：或. （3）解：∵分针以每分钟在旋转，时针以每分钟在旋转， ∴分针比时针每分钟多旋转， ∴分钟， ∴小明从离开家到回来的时间间隔是40分钟， ∴在这段时间间隔里分针一共旋转了， 即从开始位置到结束位置，顺时针方向的角度为， 又∵回来时时针和分针的位置分别为，，即， ∴， ∵， ∴ ∵旋转速度是旋转速度的3倍， ∴ 当射线运动到的内部时， 即 ∴ 此时， ∴ . 重点 重点1：直线、射线、线段的概念区别与线段长度计算（含中点、等分点）； 重点2：角的定义、度分秒换算与角的和差倍分运算； 重点3：余角、补角、对顶角的定义与性质应用； 重点4：立体图形与展开图的互化（尤其是正方体展开图）； 重点5：方位角的规范表示与实际情境计算。 难点 难点1：线段动点问题的动态分析与分类讨论； 难点2：图形折叠前后对应关系的识别与角度计算； 难点3：方位角与跨学科情境的结合应用（如航海、测绘）； 难点4：平面图形计数的规律归纳（用含的整式表示）； 难点5：复杂图形中角的和差、余补角性质的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个小正方形，第二列看到两个小正方形，第三列可看到一个小正方形； 从左视图来看：第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形． 故符合题意的图形为： 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列图形中，能折成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，解题关键在于熟练掌握展开图折叠成几何体的性质． 根据立体图形的平面展开图进行逐项分析即可． 【详解】解：A、该图形能折成圆锥，故A不符合题意； B、该图形能折成圆柱，故B不符合题意； C、该图形不能折叠成四棱柱，有两个面重叠，故C不符合题意； D、该图形能折叠成五棱柱，，故D符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键．直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】解：A、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； B、 不可用来表示，故该选项不正确，符合题意； C、 图中共有三个角，，，故该选项正确，不符合题意；     D、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图，掌握几何体的三视图是解题的关键． 观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，选项A符合要求． 故选：A． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差计算．解题的关键是正确识别在内部和外部两种情形，并分别计算和．由于射线的位置没有明确限定，需要分两种情况讨论： 当在内部时：此时．平分，平分．等于与的差． 当在外部时：此时．平分，平分．等于与的和． 分别根据角平分线的定义求出和，再根据上述关系计算即可． 【详解】情况1：当在内部时， 平分，， ， 平分，， ， . 情况2：当在外部时， ， ， ， ， . 故答案为. 故选C 二、填空题 6．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）已知，则的余角等于 ，补角等于 ． 【答案】 55 145 【分析】本题考查余角和补角的概念，根据定义直接计算． 【详解】解：的余角； 的补角． 故答案为55，145． 7．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，是的平分线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将如图的平面图折叠成正方体后，若相对面上的两个数之和均为7，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 首先根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z字形是对面”可知，“”与“x”，“9”与“y”，“2”与“5”是相对面， ∵相对面上的两个数之和均为7， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：10． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，图中共有三条线段．若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”．若，则的长为 ． 【答案】8或12或16 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据“巧点”的定义可分三种情况：，和，根据线段的和差关系用表示出，再根据的长即可求出答案． 【详解】解：若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，的长为8或12或16， 故答案为：8或12或16． 10．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知O是线段的中点，C是线段上的一点，当，时，则 ． 【答案】8或16 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义求出的长，再分点C在线段上和点C在线段上，两种情况根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵O是线段的中点，， ∴； 当点C在线段上时，则， 当点C在线段上时，则； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：8或16． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1，27 (2)12，33，36 (3)28.57 (4)0.9 【分析】根据大单位化小单位乘以进制，小单位化大单位除以进制，即可求解． 【详解】（1），． （2），，． （3），． （4），． 【点睛】本题考查了角度值的转换，熟练掌握角度的进制是解题的关键． 12．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点，，点、为线段延长线上的点，且，、分别是线段、的中点，当点是线段的三等分点时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查线段中点，及线段的有关计算，进行分类讨论，画出正确的图形是解题的关键．由点是线段的三等分点，分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：设，则，则． 由于点是线段的三等分点，需分两种情况讨论： 当时，，， 代入，得，如图1， ， ， 为中点， ，． 为中点， ， ， ． 当时，，， 代入，得，如图2， ，， 为中点， ，， 为中点，， ， ． 综上，的长为或． 14．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图1，将直角三角形纸片的直角边放置在直线上，为内部的一条射线． (1)若，则_______，_______； (2)如图2，当直角三角形纸片只有点O放置在直线上时，平分． ①若，求的度数； ②与满足怎样的数量关系？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①；②数量关系，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，，即可求解． （2）①设的度数为，用含的式子将、表示出来，根据列方程，解出，即可求出；②数量关系， 设，用含的式子将表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，． 故答案为：． （2）解：①设的度数为， ， 平分， ， ， ，解得， ． ②数量关系， 证明：设， ， ， 平分， ， ， ． 15．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了新定义、几何图形中角度的计算等知识点， 理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而求得即可； （2）①由题意可得：，，根据，则，再根据列方程求解即可；②根据①的思路解答即可； （3）由4分位线的定义以及已知条件可得，或，进而求得；然后分、两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，为的2分位线， ∴， ， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． 故答案为：． ②∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． （3）解：∵射线分别为与的4分位线，且， ∴，或 ， ∴， ∴， ①当时， ∵， ∴,解得：， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的初步认识 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、立体图形的识别与分类 能识别长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形，按柱体/锥体/球体分类 选择/填空/识图题 ★ 混淆圆柱与圆锥的侧面特征；误将多面体与旋转体分类错误 2、三视图的识别与绘制 掌握主视图、左视图、俯视图的定义，能根据立体图形画三视图，或由三视图还原立体图形 选择/填空/作图题 ★★ 画图时忽略“长对正、高平齐、宽相等”；看不见的轮廓线未画虚线 3、立体图形的表面展开图 能判断正方体、圆柱、棱柱等的展开图，会折叠还原立体图形 选择/填空/匹配题 ★★ 混淆正方体相对面；误判圆柱展开图中长方形与底面圆的关系 4、直线、射线、线段的辨析 明确三者的端点、延伸性、度量性区别，规范表示方法 选择/填空/判断题 ★ 射线表示时端点顺序错误；误认为直线/射线可度量长度 5、线段的计算与中点 掌握线段和差、中点性质，能解决线段等分、路程最短问题 填空/解答/计算体 ★★ 中点计算时忽略“平分线段”本质；路程最短问题未用“两点之间线段最短” 6、角的概念与度分秒换算 理解角的定义与表示方法，熟练进行、的换算 选择/填空/计算题 ★★ 换算时未按60进制进退位；角的表示混淆顶点字母位置 7、角的计算与角平分线 能进行角的和差倍分计算，运用角平分线性质推导角度关系 填空/解答/推理题 ★★★ 角平分线应用时漏写“平分所得两角相等”；忽略邻补角和为 8、余角与补角 理解余角（和为）、补角（和为）概念，运用性质解题 选择/填空/计算题 ★★ 混淆余角与补角的度数关系；未掌握“同角的余角/补角相等” 9、方位角的应用 以正北/正南为基准，描述物体方向，解决实际方位问题 选择/填空/解答题 ★★ 方位角表述以正东/正西为基准；计算方位角时未结合图形分析 10、线段与角的动点问题 用变量表示动点形成的线段/角度，结合分类讨论求解 解答题（压轴题） ★★★ 动点位置未分类讨论；忽略运动范围与端点限制 易错类型1：立体图形展开与折叠对应错误 易错警示： 正方体展开图中相对面判断错误（如“相邻面当作相对面”）； 折叠时忽略“对应边相等、对应角相等”，导致立体图形面关系判断失误； 误将“田”“凹”型图形当作正方体展开图。 【题型1】正方体展开图与立体图形对应面判断 避错要点: 牢记正方体展开图“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”“3-3”四种类型，排除“田”“凹”型； 相对面判断技巧：间隔一个正方形（如“1-4-1”型中，中间4个正方形的相对面为上下两个）； 折叠时想象“面的重合过程”，标记对应边和对应角。 【例题1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图是一个正方体表面的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，相对两个面上的数字之和的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题1-1】.（25-26七年级上·广东佛山·月考）一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母F对面的字母是 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图是一个正方体纸盒的展开图，将这个图形折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是 ． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 【基础必考题型】 【题型2】立体图形与平面图形互化（生活情境） 1.核心知识点: 常见立体图形（正方体、圆柱、圆锥等）的识别； 立体图形与展开图的对应关系。 2.解题方法技巧: 结合生活实例（如包装盒、积木）识别立体图形； 排除正方体展开图“田”“凹”型，通过“相对面不相邻”验证对应关系。 【例题2】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）下列几何体的命名不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）将如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【题型3】角的度量与度分秒换算 1.核心知识点: 角的度量单位（度°、分′、秒″）； 度分秒换算进制（1°=60′，1′=60″）。 2.解题方法技巧: 小单位化大单位：除以60（如150′=2.5°）；大单位化小单位：乘60（如2.25°=2°15′）； 换算时分步计算，避免进制混淆。 【例题3】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末） ′ °． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知：，，那么下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（   ） （精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．道 B．道 C．道 D．道 【变式题3-3】.（2025七年级上·福建泉州·专题练习）将化成度分秒表示， 【题型4】方位角基础表示 1.核心知识点: 方位角的定义（以正北/正南为基准，向东/向西偏转的角度）； 方位角的规范表示（如“北偏东45°”“南偏西30°”）。 2.解题方法技巧: 以正北/正南为基准线，画出偏转方向和角度； 避免“东偏北”“西偏南”等不规范表述（特殊角45°可表示为“东北方向”）。 【例题4】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，如果的方向是北偏东那么的反向延长线表示的方向是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．东偏南 D．西偏南 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，一艘轮船行驶至点O处同时测得海岛A，B的方向分别是北偏西和南偏西，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，港口在灯塔的北偏东的方向上，港口在灯塔的南偏东的方向上，一货轮从港口向港口航行． (1)求从灯塔看两港口的视角的度数． (2)当货轮航行至点时，恰好平分，问此时货轮在灯塔的什么方位？ 【变式题4-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 【培优高频题型】 【题型5】角的和差倍分计算（图形结合） 1.核心知识点: 角的和差运算（）； 角的倍分关系（则）。 2.解题方法技巧: 标注图形中已知角的度数，明确角之间的和差倍分关系； 设未知数（如设），列方程求解未知角。 【例题5】.（25-26七年级上·山西运城·月考）将一副三角板按如图所示的方式放置，则的大小为 度． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，将一副学生用三角板按如图方式摆放，其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形为含角的直角三角板，三角形为含角的直角三角板． (1)如图1，若点在上，则的度数为______； (2)如图2，若，则的度数为______； (3)如图3，若，求的度数； (4)如图3，若，的度数是否改变，若改变，说出理由．若不变，求出的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，点是直线上一点，以点为顶点作，且，位于直线两侧，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【题型6】角平分线与余补角综合推理 1.核心知识点: 角平分线的定义与性质； 余角、补角的性质（同角的余角/补角相等）。 2.解题方法技巧: 设未知角为，用表示相关角，结合角平分线、余补角关系列方程； 推理时注明依据（如“与互余，与互余（同角的余角相等）”）。 【例题6】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式题6-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）如图，点、、是在同一直线上，平分、平分，则下列说法中错误的是（   ） A．是直角 B．与互余 C．和互余 D．与互余 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东菏泽·月考）如图，已知，，平分，ON平分． (1)求的度数； (2)如果，其他条件不变，求的度数； (3)如果（为锐角），其他条件不变，求的度数； (4)从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【变式题6-3】.（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【压轴创新题型】 【题型7】平面图形计数规律探究（含的表达式） 1.核心知识点: 线段、角的计数方法； 规律归纳（从特殊到一般）。 2.解题方法技巧: 计算前3-4个简单图形的计数结果（如、时的线段数）； 归纳规律：个点最多连条线段，条射线（共端点）最多构成个角。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【变式题7-1】.（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【题型8】三角板叠放与组合角度计算 1.核心知识点: 常见三角板内角（、、、）； 叠放时重叠角、互补角、互余角的关系。 2.解题方法技巧: 标注三角板已知角度，找准重叠或相邻的关键角； 利用“整体角=已知角±重叠角”计算，验证结果是否为合理角度（）。 【例题8】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·全国·期末）点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．射线平分． (1)如图，若，求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图的位置，一边在射线上方，另一边在直线的下方．探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【题型9】射线旋转中的角度动态探究 1.核心知识点: 旋转角度=旋转速度×时间（）； 旋转过程中角的和差、邻补角关系。 2.解题方法技巧: 设旋转时间为，用表示射线旋转角度，明确旋转方向（顺时针/逆时针）； 分旋转角未超过临界角、超过临界角两类讨论，结合图形列角度关系式求解。 【例题9】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·四川广元·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北唐山·月考）是内部的一条射线，且． (1)如图1，若平分平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒． ①和分别在和内部时，求和的数量关系； ②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·月考）定义；当射线在内部，时，我们称n为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若射线平分，则_____． (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，______，______． ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速原路返回，则当为何值时，? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为，没到晚上7点就回家了，发现时针和分针的夹角还是，回来时时针和分针的位置分别设为，，出发时分针的位置设为，钟面中心为点，，分别从，同时出发，绕点顺时针旋转，绕点逆时针旋转，当到达射线时停止旋转．旋转速度是旋转速度的3倍，设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示（对的范围不做要求）． 重点 重点1：直线、射线、线段的概念区别与线段长度计算（含中点、等分点）； 重点2：角的定义、度分秒换算与角的和差倍分运算； 重点3：余角、补角、对顶角的定义与性质应用； 重点4：立体图形与展开图的互化（尤其是正方体展开图）； 重点5：方位角的规范表示与实际情境计算。 难点 难点1：线段动点问题的动态分析与分类讨论； 难点2：图形折叠前后对应关系的识别与角度计算； 难点3：方位角与跨学科情境的结合应用（如航海、测绘）； 难点4：平面图形计数的规律归纳（用含的整式表示）； 难点5：复杂图形中角的和差、余补角性质的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列图形中，能折成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 4．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 二、填空题 6．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）已知，则的余角等于 ，补角等于 ． 7．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，是的平分线，，则 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将如图的平面图折叠成正方体后，若相对面上的两个数之和均为7，则 ． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，图中共有三条线段．若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”．若，则的长为 ． 10．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知O是线段的中点，C是线段上的一点，当，时，则 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 12．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 13．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点，，点、为线段延长线上的点，且，、分别是线段、的中点，当点是线段的三等分点时，求的长． 14．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图1，将直角三角形纸片的直角边放置在直线上，为内部的一条射线． (1)若，则_______，_______； (2)如图2，当直角三角形纸片只有点O放置在直线上时，平分． ①若，求的度数； ②与满足怎样的数量关系？请通过计算说明． 15．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $