专题02整式及其加减（期末复习讲义）（知识点总结+1个易错警示+8大题型+巩固练习）2025-2026学年华东师大版七年级数学上学期

该初中数学讲义以“整式及其加减”为核心，通过表格系统梳理11个核心考点，明确复习目标、考察形式、难度星级及高频易错点，结合知识脉络图谱呈现概念、运算与应用的内在联系，突出整式概念体系和运算规则等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题强化单项式系数求解等核心技能，培优题如“整式加减无关型问题求参”培养推理意识，压轴题通过数字图形规律探究发展抽象能力，配套易错点警示和避错要点，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题02 整式及其加减 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、整式的定义与分类 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分整式与分式，按要求分类 选择/填空 ★ 将分母含字母的分式（如）误判为整式；忽略“化简后”判定原则（如误判为多项式） 2、单项式的系数与次数 掌握单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的定义，能准确求解 选择/填空 ★ 忽略系数的符号（如系数误写为5）；混淆为常数（如系数误写为1）；漏算字母指数1（如的次数误写为0） 3、多项式的项、次数与常数项 明确多项式的项（带符号）、次数（最高次项次数）、常数项的定义，能辨析相关概念 选择/填空 ★★ 漏算常数项或项的符号（如误判为二项式）；混淆“项的次数”与“多项式的次数”（如次数误写为2） 4、同类项的概念 掌握同类项“所含字母相同、相同字母指数也相同”的定义，能准确识别同类项 选择/填空/解答（化简题） ★★ 只看字母种类忽略指数（如与误判为同类项）；受字母排列顺序干扰（如与误判为非同类项） 5、去括号法则 熟练掌握去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），能正确去掉单层或多层括号 填空/解答（化简题） ★★ 括号前是负号时，部分项不变号；多层括号去括号顺序混乱；忽略括号前的数字因数（如误算为） 6、合并同类项 掌握合并同类项法则（同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变），能化简整式 填空/解答（化简/求值题） ★★ 合并时改变字母或指数（如误算为）；系数符号计算错误（如误算为） 7、整式的加减运算 掌握整式加减的本质（去括号+合并同类项），能进行整式的和差运算 解答题 ★★ 运算顺序颠倒；去括号后未及时合并同类项导致出错；符号处理失误 8、代数式求值 能直接代入或先化简再代入求值，解决含具体数值或简单参数的求值问题 解答题 ★★ 直接代入时忽略符号（如代入误算为）；化简不彻底就代入导致计算复杂；单位未统一 9、含参数同类项问题 根据同类项定义建立方程，求解字母参数的值 选择/填空/解答 ★★★ 遗漏同类项的任一条件（字母相同或指数相同）；求解后未验证；参数为负数时符号处理错误 10、整式加减无关型问题 通过合并同类项，令指定字母的系数为0，求解参数 选择/填空/解答 ★★★ 合并同类项不彻底，无法准确识别目标项系数；忽略“不含某一项”的本质是系数为0 11、规律探究（数字/图形） 能观察单项式、数字序列或图形的变化规律，用含的整式表示第项 选择/填空/解答 ★★★ 无法提炼系数、指数的变化规律；图形量化时遗漏关键要素；规律验证不充分 易错类型：整式概念辨析错误 易错警示： 将分式（分母含字母）误判为整式（如误归为多项式）； 单项式系数忽略符号或分母（如系数误写为）； 多项式项数漏算常数项，次数误算为所有项次数之和。 【题型1】整式概念判断题（分类/系数/次数辨析） 避错要点: 先判断是否为整式：分母不含字母、无根号下字母，再区分单项式与多项式； 单项式系数：数字因数（含符号、分母），次数：所有字母指数和（为常数）； 多项式项数：按“+”“-”符号分界（含符号），次数：最高次项的次数。 【例题1】.（25-26七年级上·山东德州·月考）在代数式，，，，，，中，整式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 整式是分母中不含字母的代数式，逐一检查每个代数式是否符合定义． 【详解】解：∵整式分母中不含字母， ∴是整式，是整式，是整式，是整式，是整式；分母含字母，不是整式，分母含字母，不是整式， ∴整式有、、、、，共5个， 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南周口·月考）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．是多项式 C．是按y的升幂排列的 D．是三次三项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数、多项式定义、升幂排列的含义，根据单项式的系数，多项式的定义，升幂排列的含义逐项判断即可． 【详解】解：∵ 选项A： 的系数应包含常数，即系数为 ，而非， ∴ A原说法错误． ∵ 选项B： ，为两个单项式的和，符合多项式定义， ∴ B原说法正确． ∵ 选项C： ，各项关于字母的次数分别为0， 0， 1， 0，并未按从小到大的顺序排列，故不是按y的升幂排列， ∴ C原说法错误． ∵ 选项D： 的最高次数项为，次数为5，故为五次三项式， ∴ D原说法错误． 故选：B 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广东阳江·月考）单项式的系数、次数分别是（   ） A．3，3 B．，5 C．，3 D．，5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，根据单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和，进行分析，即可作答． 【详解】解：单项式的系数、次数分别是和5， 故选：D 【变式题1-3】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）多项式的项数和次数分别是（   ） A．2，6 B．3，6 C．2，7 D．3，7 【答案】D 【分析】本题考查多项式的项数和次数，解题的关键是明确多项式项数是项的数量，次数是最高次项的次数． 根据多项式项数和次数的定义，分别确定该多项式的项数和最高次项的次数． 【详解】解：多项式-+有三项：、和， 项数为3． 第一项的次数为，第二项的次数为，第三项的次数为0， 最高次数为7，故次数为7． 因此，项数和次数分别为3和7． 故选：D． 【基础必考题型】 【题型2】单项式与多项式系数、次数精准求解 1.核心知识点: 单项式系数（含符号、分母、的数字因数）、次数（所有字母指数和）； 多项式的项（带符号）、次数（最高次项次数）、常数项定义。 2.解题方法技巧: 单项式：剥离字母得系数（如系数为），累加字母指数得次数； 多项式：按“+”“-”分拆项，找最高次项定次数，常数项不含字母（如常数项为1）。 【例题2】.（2025七年级上·北京·专题练习）若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，准确判断出单项式的系数和次数是解题的关键． 首先根据单项式判断出系数是，次数是字母x的指数b，再根据已知条件求解a和b的值即可． 【详解】解：∵单项式的系数是， ∴，解得， ∵次数是字母x的指数b， ∴． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·甘肃天水·月考）多项式是关于x的四次三项式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查多项式，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式次数和项数的定义，最高次项次数为4，且第二项系数不为零，求解m的值． 【详解】解：∵多项式 是关于的四次三项式， ∴，且， 由，得， 由，得， ∴． 故答案为： 4． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）已知是关于的多项式，其中、为整数，且． (1)若该多项式是一个二次二项式，求的值； (2)若该多项式是一个三次三项式，求的值； (3)若该多项式是一个四次三项式，求的值． 【答案】(1)7或0 (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了多项式的定义，绝对值，代数式求值，掌握多项式的项数和次数的定义是解题关键． （1）根据已知条件可得，，从而求出、的值代入计算求值即可； （2）根据最高次项为三次项得，，解得，再根据项数分了，两种情况求解即可；； （3）根据已知条件可得，，或，求出、的值代入计算求值即可． 【详解】（1）解：若是一个二次二项式，， 则，，或，， 解得：，或， 所以，或， （2）解：若是一个三次三项式， 则，， 解得：， 当时，解得：，此时，满足题意， 则； 当时，解得：，此时，满足题意； 则， 综上可知，的值为或； （3）解：若是一个四次三项式， 则，，且，或，，且， 解得：，， 当，且时，； 当时，，此时为四次二项式，不符合题意； 当，时，，； 当，时，，，此时为四次二项式，不符合题意； 综上可知，的值为或． 【题型3】基础去括号与合并同类项化简 1.核心知识点: 去括号法则（“正不变，负全变；有数字，遍乘各项”）； 合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变）。 2.解题方法技巧: 先按法则去括号，再用不同标记区分同类项； 合并时仅对系数进行有理数运算，结果按字母顺序排列（如的次数从高到低）。 【例题3】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）把和各看成一项，合并同类项：，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广西南宁·月考）化简，下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则，掌握去括号的法则是解题的关键； 根据去括号法则解答即可. 【详解】解：； 故选：B. 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江西上饶·月考）下列各题去括号所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号，注意括号前是负系数时，括号内各项都要乘以系数并变号，避免漏乘．依据去括号规则，括号前是负系数时，去括号后括号内各项要变号，并乘以系数． 【详解】解：∵， ∴去括号结果为， 故选：D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）（1）计算：；              （2）合并同类项：． 【答案】（1）15；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算和整式的加减运算． (1)先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； (2)直接合并同类项即可． 【详解】解：(1) ； (2) ． 【培优高频题型】 【题型4】整式加减无关型问题求参 1.核心知识点: 合并同类项法则； “不含某一项”的本质是该项系数为0。 2.解题方法技巧: 先彻底合并同类项，分离出目标项（如项）的系数； 令系数等于0列方程求解（如不含项，则）。 【例题4】.（25-26七年级上·四川达州·月考）已知代数式，．若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减． 将A、B代入计算，根据的值与x的取值无关说明x的系数为0，据此求出y的值． 【详解】解： ， ∵值与取值无关， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，若不含项，则的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0． 计算的和，并令x项的系数为零． 【详解】解：∵，， ∴ ． ∵不含x项， ∴． 故选B. 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题． （1）列出算式，然后去括号，合并同类项即可； （2）不含三次项，可得，即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）∵不含三次项， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河北保定·月考）已知整式，其中“◇”数字印刷不清． (1)若“◇”数字是3，请化简整式． (2)若的值与无关，求出“◇”代表的数字． (3)在（2）的条件下，定义新整式：．若是关于的单项式，且系数为负整数，直接写出所有满足要求的正整数的值：____________． 【答案】(1) (2)2 (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了整式加减运算，单项式定义，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）设“◇”代表的数字为m，化简整式A得出，再根据的值与无关，得出； （3）根据解析（2）可得：，从而得出，再根据是关于的单项式，且系数为负整数，得出答案即可． 【详解】（1）解：当“◇”数字是3时， ； （2）解：设“◇”代表的数字为m，则： ， ∵的值与无关， ∴， 解得：， ∴“◇”代表的数字为2． （3）解：根据解析（2）可得：， ∴， ∵是关于的单项式，且系数为负整数， ∴正整数或或． 【题型5】图形面积的整式表示（组合图形） 1.核心知识点: 常见图形（长方形、三角形、梯形）面积公式； 整式加减运算（去括号+合并同类项）。 2.解题方法技巧: 用“分割法”将组合图形拆分为规则图形，分别用整式表示面积； 通过求和或求差得到总面积/阴影面积，合并同类项化简结果（如阴影面积=大长方形面积-小三角形面积）。 【例题5】.（25-26七年级上·陕西汉中·月考）如图，两个三角形的面积分别为29、21，若两阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形正确列式是解题关键．设空白部分的面积为，则，，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， 若两阴影部分的面积分别为， 则，， 则， 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图是一个长方形． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式： （1）通过用长方形的面积减去两个小三角形的面积得到阴影部分； （2）将代入求值． 【详解】（1）由图形可知： ． （2）当时，． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·山东聊城·月考）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）利用分割法，求出图形的面积即可； （2）把米，米代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，求出总费用，然后用科学记数法进行表示即可． 【详解】（1）解：； （2）当米，米， ， ∴（元）． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广西南宁·月考）如图，这是某款国产手机后置摄像头模组，其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积． (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据阴影部分的面积半径为的圆的面积半径为的圆的面积4半径为的圆的面积，计算即可得出结果； （2）将，取3代入（1）中得出的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 图中阴影部分的面积为； （2）解：当时，图中阴影部分的面积为． 【压轴创新题型】 【题型6】数字/图形规律探究 1.核心知识点: 单项式系数、指数的变化规律； 图形量化与序号的关系。 2.解题方法技巧: 数字规律：观察系数符号（正负交替用）、绝对值变化（等差用），指数与的关系； 图形规律：量化前3-5个图形的数量，归纳整式表达式（如第个图形有个小正方形），代入验证。 【例题6】.（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，                ① ，                ② ，                ③ ︙ 请按此规律写出第n个等式． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，根据已知各式找到规律并列出等式即可． 【详解】解：，        ① ，                ② ，                ③ ︙ ∴第n个等式为． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【答案】(1)210 (2) (3) 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为 ； （2）每一行第9和第10个数的总和是 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律． （1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可； （2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可． 【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为， ∴当时，， 即第一行第10个数为， 故答案为：； （2）第一行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第二行第个数为， ∴第二行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第三行第个数为， ∴第三行第9个数为，第10个数，和为； ∴每一行第9个数和第10个数的总和为， 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南永州·月考）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表： 1          第一行 5   12       第二行 22   35    51    第三行 …    …   …   …   … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为（    ） A．1330 B．1335 C．1340 D．1345 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，学生的观察能力，发现规律总结概括能力，观察表中图形及数字、数表的变化，发现其规律是解决本题的关键． 观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式即可求得答案． 【详解】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为： 由数表可知前七行数的个数和为：， ∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即， ∴把代入得：， 故选：B． 【题型7】整式新定义运算探究 1.核心知识点: 新定义运算规则的解读； 整式加减、合并同类项法则。 2.解题方法技巧: 精读材料提炼运算规则（如“”），明确运算优先级； 代入整式按规则运算，先去括号再合并同类项，化简结果（如）。 【例题7】.（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）定义一种新运算“@”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如： (1)； (2)当，时，计算的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查定义新运算、有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据规定的运算列式计算即可； （2）将已知数值代入原式，根据规定的运算列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当，时， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2）解： ∵多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴， ∴“对消值”为． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 【答案】(1) (2)4 (3)； 【分析】本题考查数字的变化规律，探索出运算结果的循环规律是解决本题的关键． （1）根据差倒数的定义直接代入求解即可； （2）通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则与的值相同，即可求解； （3）根据差倒数的定义直接代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，的差倒数为， 故答案为：； （2）解：， ，，，， 每3次运算结果循环出现一次， ， 与的值相同， 的值为4， 故答案为：4； （3）解：当时，的差倒数， 当时，的差倒数． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填________； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有________个，宽长比为的长方形操作路径为________（用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为________． 【答案】（1）；（2）①，宽长比为，②，宽长比为，图见解析；（3）8，；（4）或． 【分析】本题考查了图形规律，充分理解题意，并适当运用数形结合思想进行分析是解题的关键． （1）理解题意，观察【记录与观察】中的数值，得当阶数3阶，操作路径为，则宽长比是，即可作答． （2）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （3）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （4）结合前面三小问的结论进行分析，再得出当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为或． 【详解】解：（1）∵从边长为1的正方形（0阶长方形）开始， 观察【记录与观察】中的数值，当阶数是3阶，操作路径为， 则宽是，长是， 则宽长比是， 即表格中的▲处应填； （2）依题意，如图所示： ①，宽长比为， ②，宽长比为， （3）依题意，如图所示： 4阶长方形的宽长比有8个，宽长比为的长方形操作路径为（用L和S表示）； （4）依题意，则观察如下表格： 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 … 结合（3）得宽长比为的长方形操作路径为，宽长比为的长方形操作路径为， 故当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为或． 【题型8】分段计费问题（水电缴费） 1.核心知识点: 分段计费逻辑（基础部分+超出部分费用叠加）； 整式表示不同区间费用。 2.解题方法技巧: 明确分段节点（如“水费前50吨元/吨，超出部分元/吨”）； 用含字母的整式表示不同区间费用（如吨水费：时为；时为），化简后根据实际用量计算。 【例题8】.（25-26七年级上·山东济南·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费(水费按月缴纳)： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，明明家5月份用水量为，则该月需交水费______元；6月份明明家用水量为，则该月需交水费______元（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某户月用水量为n立方米，该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【答案】(1)16，32 (2)104元 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得明明家月份需交水费； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）当时，列式求出该用户应缴纳的水费即可． 【详解】（1）当时，明明家5月份用水量为， 则该月需交水费为：(元) 该户这个月应缴纳的水费为16元； 当时，明明家6月份用水量为， 由题意得：(元)； 故答案为：16，32； （2）（元） 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为104元； （3）当时， 该用户应缴纳的水费为：(元)， 答：该户这个月应缴纳水费是元． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）某市为鼓励市民绿色出行，推出了共享电瓶车，并提供两种方式供市民选择，以下是两种收费方式的相关信息： 包月套餐 按时收费套餐 包月套餐35元/月 15分钟内（含15分钟）起步价：2元 不限骑行次数和骑行时间 超过15分钟后，超出部分每分钟收费：元 在区域内可随意更换车辆 骑行时间：分钟，更换车辆重新计费 总费用：35元 总费用：_____元 (1)若中途不换车，用含（）的代数式表示共享电瓶车按时收费套餐的总费用_____元； (2)小圳每个周六骑共享电瓶车往返区图书馆（按每个月4个周六计算，共享电瓶车投放量充足），单程骑行25分钟．请问他选择包月还是每次单独计费呢?请说明理由． 【答案】(1) (2)选择每次单独计费比较实惠，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，理解题目中的数量关系是正确解答的关键． （1）根据按时收费套餐的收费标准进行计算即可； （2）计算出按时收费套餐的收费标准的费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：按时收费套餐的收费标准可知，当时， 总费用为元， 故答案为：； （2）按时收费套餐的收费标准计算，当时，单程的费用为（元）， 所以一个月的总费用为（元）， ∵， ∴选择每次单独计费比较实惠． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川成都·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，四川省实施居民生活用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如 居民每月用电量 单价(元/度) 月用电量度及以内部分 月用电量度至度部分 月用电量超过度部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以180度为标准，超出180度记为正、低于180度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)请求出小明家六月份应交纳的电费； (3)若小明家七月份用电量为度，求小明家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 五， (2) 小明家六月份应交纳的电费为元； (3) 当时，电费为元；当时，电费为元；当时，电费为元． 【分析】本题主要考查正负数的实际意义以及列代数式． （1）根据正负数表示的意义，进行计算即可； （2）根据收费标准计算，即可求出电费； （3）分三种情况，列出代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小明家五月份用电量最多，实际用电量为（度） 故答案为：五，． （2）解：∵六月份用电量为（度）， ∴六月份的电费为（元）； ∴小明家六月份应交纳的电费为元． （3）解：当时，电费为元； 当时，电费为元； 当时，电费为元． ∴当时，电费为元；当时，电费为元；当时，电费为元． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．下表是该市自来水收费价目表： 价目表 每月用水量 价格 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 3元 超出的部分 5元 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水，则应缴水费______元； (2)若某户居民3月份用水，则应缴水费多少元（用含的整式表示并化简）？ (3)若某户居民4月份和5月份共用水（5月份用水量超过了4月份）．设4月份用水，则该户居民4月份和5月份共缴水费多少元？ 【答案】(1)8 (2)元 (3)该户居民4月份和5月份共缴水费元或元或33元 【分析】（1）每月用水量不超过时，单价为元，根据水费=单价×数量计算即可； （2）根据水费=单价为元的的水费+单价为元的超过的水费进行计算即可； （3）应分情况讨论：①当4月份用水量少于，5月份用水量超过；②4月份用水量不少于但不超过，5月份用水量不少于，但不超过；③4月份用水量超过但少于，5月份用水量超过但少于，对三种情况进行分析计算即可. 【详解】（1）解：用水则应缴水费：（元） （2）解：根据题意，应缴水费元． （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于． ①当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4月份和5月份共缴水费元； ②当4月份用水量不少于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4月份和5月份共缴水费元； ③当4月份用水量超过但少于时，5月份用水量超过，但少于，则4月份和5月份共缴水费（元）． 综上所述，该户居民4月份和5月份共缴水费元或元或33元． 【点睛】本题考查了用水的应用问题，进行分类讨论是解题的关键． 重点 重点1：整式的概念体系（单项式系数/次数、多项式项/次数、整式与分式区分），是本章基础； 重点2：核心运算规则（去括号法则、合并同类项法则），是整式加减的核心； 重点3：代数式的应用（生活情境、图形面积、跨学科），实现从具体到抽象的转化； 重点4：关键题型方法（含参数问题列方程、规律探究“观察-归纳-验证”、无关型问题系数为0）。 难点 难点1：含参数问题的逻辑推理（同类项、无关型），需精准把握定义本质列方程； 难点2：符号处理（去括号、合并同类项、代入求值），易因符号混淆出错； 难点3：规律探究的抽象概括，从数字/图形中提炼含的整式表达式； 难点4：概念辨析细节（如的属性、分式与整式的区分、项的符号），需强化对比记忆。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2025七年级上·河北沧州·专题练习）下列说法： ①的绝对值是1 ② ③，5是的项 ④若与是同类项，则的值为5 ⑤将精确到为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，同类项，乘方，近似数，多项式等知识内容，据此相关性质内容进行逐一判断每个说法的正确性，即可作答． 【详解】解：， 即的绝对值是1 故说法①是正确的； 故说法②是不正确的； ，是的项， 故说法③是不正确的； ∵与是同类项， ∴， 则的值为5 故说法④是正确的； 精确到为， 故说法⑤是正确的； ∴正确的个数是3个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）若，，且，则（） A． B．7 C．1或7 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 由绝对值的定义得到a和b各有两种取值，结合条件，确定a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，； 又∵， ∴时，或时，， 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； ∴的值为或． 故选：C． 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，掌握相同字母的指数相同是解题关键．两个单项式的和仍为单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相同． 【详解】∵单项式 与 的和是一个单项式， ∴它们是同类项， ∴的指数相同：， ∴的指数相同：， ∴，， ∴故选B． 4．（25-26七年级上·山东临沂·月考）如果单项式与是同类项，那么的值分别为（　　） A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴且， 解得，， 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（　　） A． B． C． D．254 【答案】D 【分析】本题考查图形中的数字规律问题，含乘方的有理数的混合运算，根据图形中的数字，抽象概括出数字规律是解题的关键． 先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：，由图可知： ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ∴； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·北京昌平·期中）写一个含有字母x，y的三次二项式，其中常数项为，你写的三次二项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是明确“三次二项式”需满足最高次数为3且只有两项，同时包含指定常数项． 明确三次二项式的定义，确定其中一项为含、的三次项，另一项为指定常数项，构造符合条件的多项式． 【详解】解：由题意得，满足条件的三次二项式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26七年级上·广东湛江·月考）人们通常用c表示摄氏温度（），f表示华氏温度（），c与f之间的关系为，当华氏温度为59（）时，摄氏温度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，将华氏温度59代入关系式进行计算 【详解】解：当时，． 故答案为． 8．（25-26七年级上·山东滨州·月考）一个多项式减去得多项式，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的运算，掌握多项式的加减法运算是解题的关键． 根据减法的逆运算，被减数等于减数加上差，进而将已知减数与差相加即可求出原多项式． 【详解】解：设这个多项式为A， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·北京海淀·月考）写出一个关于的二次三项式，使它的二次项系数为，则这个二次三项式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次三项式的定义以及多项式的项、系数、次数的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 首先明确二次三项式需包含二次项、一次项、常数项这三项，且最高次项为二次项，再根据题目要求确定二次项系数为，即二次项为，最后任意选取不为的一次项系数和常数项，组合成包含这三项的多项式即可，由于一次项系数和常数项的取值不唯一，因此答案也不唯一． 【详解】解：满足题意的二次三项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有 个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算： (1) (2) (3) (4)先化简，再求值：，其中； 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可； （3）先计算乘方和乘除，再计算减法即可； （4）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ， 当时，原式 12．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知，． (1)求．（用含，的代数式表示） (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． （1）利用整式的加减运算法则计算即可； （2）先将原式变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：当，时， ∴ ， ． 13．（25-26七年级上·河北唐山·月考）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式：_______； (2)若n是正整数，请用含n的代数式表示第n个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． （1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第6个式子； （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 第6个等式：． （2）解：用含的代数式表示第个等式为： ． （3）解： ． 14．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）印江县某中学生物学科社团“籽语绿梦社”，为了观察植物从种子到发芽、生长、开花、结果的完整生命周期，了解不同植物的生长习性、所需环境条件等知识，同时可以在劳动教育基地中直观感受大自然的神奇与奥秘，增强学生对自然科学的认知和探索兴趣．如图2所示，每厢土可近似看作长方形，每厢土三面用围栏围起，靠路一侧无围栏． (1)求围栏的总长度 (2)若米，米，每米围栏造价15元，求围栏的总造价是多少元？ 【答案】(1)米 (2)300元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）由图可知围栏的总长度为4个a米个b米个1米； （2）将，代入（1）中结果求出围栏的总长度，乘以15即可． 【详解】（1）解：围栏的总长度米， 答：围栏总长度为米； （2）解：当，时，米， 元， 答：围栏总造价为300元． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳） 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2元 3元 4元 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某户月用水量为立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含的代数式表示）； 【答案】(1)35元 (2)元 【分析】本题考查了列代数式. （1）根据用户用水情况，根据不同单价计算，即可得出其应缴纳的水费； （2）根据用水量，代入不同的单价进行计算，即可得出其应缴纳的水费． 【详解】（1）解：（元）， ∴该用户这个月应缴纳的水费为35元； （2）解：∵， ∴该用户应缴纳的水费为： 元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1、整式的定义与分类 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分整式与分式，按要求分类 选择/填空 ★ 将分母含字母的分式（如）误判为整式；忽略“化简后”判定原则（如误判为多项式） 2、单项式的系数与次数 掌握单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的定义，能准确求解 选择/填空 ★ 忽略系数的符号（如系数误写为5）；混淆为常数（如系数误写为1）；漏算字母指数1（如的次数误写为0） 3、多项式的项、次数与常数项 明确多项式的项（带符号）、次数（最高次项次数）、常数项的定义，能辨析相关概念 选择/填空 ★★ 漏算常数项或项的符号（如误判为二项式）；混淆“项的次数”与“多项式的次数”（如次数误写为2） 4、同类项的概念 掌握同类项“所含字母相同、相同字母指数也相同”的定义，能准确识别同类项 选择/填空/解答（化简题） ★★ 只看字母种类忽略指数（如与误判为同类项）；受字母排列顺序干扰（如与误判为非同类项） 5、去括号法则 熟练掌握去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），能正确去掉单层或多层括号 填空/解答（化简题） ★★ 括号前是负号时，部分项不变号；多层括号去括号顺序混乱；忽略括号前的数字因数（如误算为） 6、合并同类项 掌握合并同类项法则（同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变），能化简整式 填空/解答（化简/求值题） ★★ 合并时改变字母或指数（如误算为）；系数符号计算错误（如误算为） 7、整式的加减运算 掌握整式加减的本质（去括号+合并同类项），能进行整式的和差运算 解答题 ★★ 运算顺序颠倒；去括号后未及时合并同类项导致出错；符号处理失误 8、代数式求值 能直接代入或先化简再代入求值，解决含具体数值或简单参数的求值问题 解答题 ★★ 直接代入时忽略符号（如代入误算为）；化简不彻底就代入导致计算复杂；单位未统一 9、含参数同类项问题 根据同类项定义建立方程，求解字母参数的值 选择/填空/解答 ★★★ 遗漏同类项的任一条件（字母相同或指数相同）；求解后未验证；参数为负数时符号处理错误 10、整式加减无关型问题 通过合并同类项，令指定字母的系数为0，求解参数 选择/填空/解答 ★★★ 合并同类项不彻底，无法准确识别目标项系数；忽略“不含某一项”的本质是系数为0 11、规律探究（数字/图形） 能观察单项式、数字序列或图形的变化规律，用含的整式表示第项 选择/填空/解答 ★★★ 无法提炼系数、指数的变化规律；图形量化时遗漏关键要素；规律验证不充分 易错类型：整式概念辨析错误 易错警示： 将分式（分母含字母）误判为整式（如误归为多项式）； 单项式系数忽略符号或分母（如系数误写为）； 多项式项数漏算常数项，次数误算为所有项次数之和。 【题型1】整式概念判断题（分类/系数/次数辨析） 避错要点: 先判断是否为整式：分母不含字母、无根号下字母，再区分单项式与多项式； 单项式系数：数字因数（含符号、分母），次数：所有字母指数和（为常数）； 多项式项数：按“+”“-”符号分界（含符号），次数：最高次项的次数。 【例题1】.（25-26七年级上·山东德州·月考）在代数式，，，，，，中，整式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南周口·月考）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．是多项式 C．是按y的升幂排列的 D．是三次三项式 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广东阳江·月考）单项式的系数、次数分别是（   ） A．3，3 B．，5 C．，3 D．，5 【变式题1-3】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）多项式的项数和次数分别是（   ） A．2，6 B．3，6 C．2，7 D．3，7 【基础必考题型】 【题型2】单项式与多项式系数、次数精准求解 1.核心知识点: 单项式系数（含符号、分母、的数字因数）、次数（所有字母指数和）； 多项式的项（带符号）、次数（最高次项次数）、常数项定义。 2.解题方法技巧: 单项式：剥离字母得系数（如系数为），累加字母指数得次数； 多项式：按“+”“-”分拆项，找最高次项定次数，常数项不含字母（如常数项为1）。 【例题2】.（2025七年级上·北京·专题练习）若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·甘肃天水·月考）多项式是关于x的四次三项式，则 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）已知是关于的多项式，其中、为整数，且． (1)若该多项式是一个二次二项式，求的值； (2)若该多项式是一个三次三项式，求的值； (3)若该多项式是一个四次三项式，求的值． 【题型3】基础去括号与合并同类项化简 1.核心知识点: 去括号法则（“正不变，负全变；有数字，遍乘各项”）； 合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变）。 2.解题方法技巧: 先按法则去括号，再用不同标记区分同类项； 合并时仅对系数进行有理数运算，结果按字母顺序排列（如的次数从高到低）。 【例题3】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）把和各看成一项，合并同类项：，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广西南宁·月考）化简，下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江西上饶·月考）下列各题去括号所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）（1）计算：；              （2）合并同类项：． 【培优高频题型】 【题型4】整式加减无关型问题求参 1.核心知识点: 合并同类项法则； “不含某一项”的本质是该项系数为0。 2.解题方法技巧: 先彻底合并同类项，分离出目标项（如项）的系数； 令系数等于0列方程求解（如不含项，则）。 【例题4】.（25-26七年级上·四川达州·月考）已知代数式，．若的值与x的取值无关，求y的值． 【变式题4-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，若不含项，则的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河北保定·月考）已知整式，其中“◇”数字印刷不清． (1)若“◇”数字是3，请化简整式． (2)若的值与无关，求出“◇”代表的数字． (3)在（2）的条件下，定义新整式：．若是关于的单项式，且系数为负整数，直接写出所有满足要求的正整数的值：____________． 【题型5】图形面积的整式表示（组合图形） 1.核心知识点: 常见图形（长方形、三角形、梯形）面积公式； 整式加减运算（去括号+合并同类项）。 2.解题方法技巧: 用“分割法”将组合图形拆分为规则图形，分别用整式表示面积； 通过求和或求差得到总面积/阴影面积，合并同类项化简结果（如阴影面积=大长方形面积-小三角形面积）。 【例题5】.（25-26七年级上·陕西汉中·月考）如图，两个三角形的面积分别为29、21，若两阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图是一个长方形． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求的值． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·山东聊城·月考）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广西南宁·月考）如图，这是某款国产手机后置摄像头模组，其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积． (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 【压轴创新题型】 【题型6】数字/图形规律探究 1.核心知识点: 单项式系数、指数的变化规律； 图形量化与序号的关系。 2.解题方法技巧: 数字规律：观察系数符号（正负交替用）、绝对值变化（等差用），指数与的关系； 图形规律：量化前3-5个图形的数量，归纳整式表达式（如第个图形有个小正方形），代入验证。 【例题6】.（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，                ① ，                ② ，                ③ ︙ 请按此规律写出第n个等式． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为 ； （2）每一行第9和第10个数的总和是 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南永州·月考）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表： 1          第一行 5   12       第二行 22   35    51    第三行 …    …   …   …   … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为（    ） A．1330 B．1335 C．1340 D．1345 故选：B． 【题型7】整式新定义运算探究 1.核心知识点: 新定义运算规则的解读； 整式加减、合并同类项法则。 2.解题方法技巧: 精读材料提炼运算规则（如“”），明确运算优先级； 代入整式按规则运算，先去括号再合并同类项，化简结果（如）。 【例题7】.（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）定义一种新运算“@”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如： (1)； (2)当，时，计算的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 【变式题7-3】.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填________； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有________个，宽长比为的长方形操作路径为________（用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为________． 【题型8】分段计费问题（水电缴费） 1.核心知识点: 分段计费逻辑（基础部分+超出部分费用叠加）； 整式表示不同区间费用。 2.解题方法技巧: 明确分段节点（如“水费前50吨元/吨，超出部分元/吨”）； 用含字母的整式表示不同区间费用（如吨水费：时为；时为），化简后根据实际用量计算。 【例题8】.（25-26七年级上·山东济南·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费(水费按月缴纳)： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，明明家5月份用水量为，则该月需交水费______元；6月份明明家用水量为，则该月需交水费______元（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某户月用水量为n立方米，该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）某市为鼓励市民绿色出行，推出了共享电瓶车，并提供两种方式供市民选择，以下是两种收费方式的相关信息： 包月套餐 按时收费套餐 包月套餐35元/月 15分钟内（含15分钟）起步价：2元 不限骑行次数和骑行时间 超过15分钟后，超出部分每分钟收费：元 在区域内可随意更换车辆 骑行时间：分钟，更换车辆重新计费 总费用：35元 总费用：_____元 (1)若中途不换车，用含（）的代数式表示共享电瓶车按时收费套餐的总费用_____元； (2)小圳每个周六骑共享电瓶车往返区图书馆（按每个月4个周六计算，共享电瓶车投放量充足），单程骑行25分钟．请问他选择包月还是每次单独计费呢?请说明理由． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川成都·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，四川省实施居民生活用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如 居民每月用电量 单价(元/度) 月用电量度及以内部分 月用电量度至度部分 月用电量超过度部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以180度为标准，超出180度记为正、低于180度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)请求出小明家六月份应交纳的电费； (3)若小明家七月份用电量为度，求小明家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．下表是该市自来水收费价目表： 价目表 每月用水量 价格 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 3元 超出的部分 5元 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水，则应缴水费______元； (2)若某户居民3月份用水，则应缴水费多少元（用含的整式表示并化简）？ (3)若某户居民4月份和5月份共用水（5月份用水量超过了4月份）．设4月份用水，则该户居民4月份和5月份共缴水费多少元？ 重点 重点1：整式的概念体系（单项式系数/次数、多项式项/次数、整式与分式区分），是本章基础； 重点2：核心运算规则（去括号法则、合并同类项法则），是整式加减的核心； 重点3：代数式的应用（生活情境、图形面积、跨学科），实现从具体到抽象的转化； 重点4：关键题型方法（含参数问题列方程、规律探究“观察-归纳-验证”、无关型问题系数为0）。 难点 难点1：含参数问题的逻辑推理（同类项、无关型），需精准把握定义本质列方程； 难点2：符号处理（去括号、合并同类项、代入求值），易因符号混淆出错； 难点3：规律探究的抽象概括，从数字/图形中提炼含的整式表达式； 难点4：概念辨析细节（如的属性、分式与整式的区分、项的符号），需强化对比记忆。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2025七年级上·河北沧州·专题练习）下列说法： ①的绝对值是1 ② ③，5是的项 ④若与是同类项，则的值为5 ⑤将精确到为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）若，，且，则（） A． B．7 C．1或7 D．或7 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级上·山东临沂·月考）如果单项式与是同类项，那么的值分别为（　　） A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（　　） A． B． C． D．254 二、填空题 6．（25-26七年级上·北京昌平·期中）写一个含有字母x，y的三次二项式，其中常数项为，你写的三次二项式是 ． 7．（25-26七年级上·广东湛江·月考）人们通常用c表示摄氏温度（），f表示华氏温度（），c与f之间的关系为，当华氏温度为59（）时，摄氏温度为 ． 8．（25-26七年级上·山东滨州·月考）一个多项式减去得多项式，则这个多项式为 ． 9．（25-26七年级上·北京海淀·月考）写出一个关于的二次三项式，使它的二次项系数为，则这个二次三项式为 ． 10．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有 个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为 （用含的代数式表示）． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算： (1) (2) (3) (4)先化简，再求值：，其中； 12．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知，． (1)求．（用含，的代数式表示） (2)若，，求的值． 13．（25-26七年级上·河北唐山·月考）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式：_______； (2)若n是正整数，请用含n的代数式表示第n个等式：________； (3)求的值． 14．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）印江县某中学生物学科社团“籽语绿梦社”，为了观察植物从种子到发芽、生长、开花、结果的完整生命周期，了解不同植物的生长习性、所需环境条件等知识，同时可以在劳动教育基地中直观感受大自然的神奇与奥秘，增强学生对自然科学的认知和探索兴趣．如图2所示，每厢土可近似看作长方形，每厢土三面用围栏围起，靠路一侧无围栏． (1)求围栏的总长度 (2)若米，米，每米围栏造价15元，求围栏的总造价是多少元？ 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳） 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2元 3元 4元 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某户月用水量为立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含的代数式表示）； 学科网（北京）股份有限公司 $