精品解析：山西省忻州市静乐县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月质量监测数学试卷

山西省忻州市静乐县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月质量监测数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法运算法则，积的乘方运算法则，幂的乘方，熟练计算是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法运算法则，积的乘方运算法则，幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： 选项A、，故A错误，不符合题意； 选项B、，故B错误，不符合题意； 选项C、，故C错误，不符合题意； 选项D、，故D正确，符合题意， 故选：D． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图形不是轴对称图形，不符合题意； 选项，该图形不是轴对称图形，不符合题意； 选项，该图形是轴对称图形，符合题意； 选项，该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 3. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和的知识，理解并掌握多边形的外角和是是解题关键．根据正多边形，每一个外角都相等，且多边形的外角和是，即可获得答案． 【详解】解：根据题意可知该多边形是正多边形， ∴它的每一个外角都相等， ∵多边形的外角和是，每个外角是， ∴这个正多边形的边数是． 故选：D． 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为几个整式的积， 选项A：从左到右是乘法展开，不是因式分解； 选项B：右边不是积的形式，有加号； 选项C：从左到右是乘法展开，不是因式分解； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，且变形正确，∴是因式分解 故选：D． 5. 一个锐角三角形硬纸板，先在三角形的一个顶点处用细线系上一个小重物．然后，慢慢地把三角形悬挂起来，让它自然下垂．等三角形静止后，用铅笔沿着细线的方向在三角形上画一条线．接着，换一个顶点，重复刚才的步骤，又画了一条线．两条线的交点就是这个三角形的重心位置，如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条中线的交点 D. 画出三角形三条垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了重心的定义．质地均匀的三角形薄板的重心是三条中线的交点.题干描述的方法通过悬挂两个顶点画出两条通过重心的直线，即两条中线，它们的交点就是重心. 【详解】解：∵当悬挂一个顶点时，细线方向通过重心和该顶点， ∴画的线是顶点到重心的连线. ∵对于均匀三角形，重心是三条中线的交点， ∴从两个顶点画出的线是两条中线， ∴它们的交点就是三条中线的交点，即重心. 故选：C． 6. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意； C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等得，，结合角平分线的定义推得，由三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， ， ， 中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握两直线平行内错角相等． 8. 如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积． 根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积即可得解． 【详解】解：该正方形边长为， 则面积为， 大正方形由个全等的长为，宽为的长方形及一个边长为的正方形组成， 则面积为， 即． 故选：． 9. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，根据中线的性质求出的面积，用的面积减去的面积，即为阴影的面积． 【详解】解：，点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ， ． 故选：B． 10. 如图，已知等腰中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，交点为，连接并延长交于点．若，，点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，作交、于点、，由题意得是的角平分线，结合三线合一定理推出，则当、、三点共线时，的值最小，为的长，即即为的最小值，由等面积法即可求解． 【详解】解：连接，作交、于点、， 依题意得：是的角平分线， ， ，， 即垂直平分， ，， ， 当、、三点共线时，的值最小，为的长， ， 为最小值， ， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的作法、三线合一定理、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式和利用公式进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为． 12. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、计算． 先将带分数进行变形为假分数，再逆用积的乘方进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点M，N，若，则的周长是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别与交于点M， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：6． 14. 如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则_____________°． 【答案】62 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 15. 如图，在四边形中，，若，则的长为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合同底数幂相乘、同底数幂相除进行计算即可得解； （2）结合多项式除以单项式运算法则进行计算即可得解； （3）结合完全平方公式、平方差公式，整式的混合运算法则进行计算即可得解； （4）结合平方差公式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ； 【小问4详解】 解：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、同底数幂相除、多项式除以单项式、完全平方公式、平方差公式、整式的混合运算法则，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式． ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值，，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、平方差公式、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的混合运算． 先根据完全平方公式、平方差公式计算后化简，再将代入即可得解． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）请分别写出关于轴对称的图形的坐标，_____________，_____________，_____________； （2）作关于轴对称的图形； （3）的面积为_____________． 【答案】（1），，； （2） 根据轴对称图形性质，画出关于轴对称的图形如下： （3）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是坐标与图形、轴对称图形性质、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握轴对称性质． （1）根据轴对称性质即可得解； （2）根据轴对称图形性质，画出即可； （3）利用网格求面积即可． 【小问1详解】 解：，，， 关于轴对称的图形的坐标，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 故答案为． 20. 如图，在中，，点是边上一点，点是射线上一点，且，点在点右侧： （1）根据下列步骤尺规作图，要求：保留作图痕迹，不写做法． ①过点作的平行线； ②过点作的垂线，交于点． （2）求证：． 【答案】（1） ①过点作的平行线； ②过点作的垂线，交于点，如图所示： （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质； （1）①过点作，即可得到； ②过点作的垂线，交于点； （2）由得到，再根据垂直得到，最后由得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 【答案】（1）；（2）2；1；3； （3）如图所示； （4）20 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于（1），根据面积相等得出答案； 对于（2），拼出图形数出答案； 对于（3），根据所给图形的张数拼出正方形即可； 对于（4），根据两种类型的张数可知拼出正方形的边长为，再补充型，进而得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，需要型2张，型1张，型3张； 故答案为：2,1,3； （3）略． （4）如图所示， ∵， ∴还需要补充20张型卡片． 故答案为：20． 22. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索 在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 【答案】任务：①，②答案不唯一，只要正确即可得分，例如； 任务：①设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为． 规律即表示为：． 等式左边， ， ， 等式右边， ， 等式左边等式右边，等式成立，即上述规律正确． ②如下图： 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整式规律、整式的混合运算法则，解题关键是正确理解题意． 任务：①根据题中所给速算方法进行求解即可； ②符合题中所给的规律即可； 任务：①根据题中所给的证明步骤进行计算即可； ②结合题意画出图形． 【详解】解：任务：①由题意得：，； ②（答案不唯一）； 任务： 略 23. 高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 【答案】 （1）解：如图1，点即为所求． 这其中的道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图2，点即为所求； （3）①解：如图3，点，点即为所求； ②10 【解析】 【分析】（1）利用两点之间，线段最短求解； （2）作点关于直线的对称点，连接，利用两点之间，线段最短求解； （3）①分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、即可求解； ②先得出垂直平分，从而可得，，，于是有，从而可证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后证明是等边三角形，从而可得，，进而求得，即可得出的周长的最小值为10． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）① 略 ②解：连接，，， 由题意得：垂直平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为10． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，全等的性质和综合，等边三角形的判定和性质，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省忻州市静乐县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月质量监测数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个锐角三角形硬纸板，先在三角形的一个顶点处用细线系上一个小重物．然后，慢慢地把三角形悬挂起来，让它自然下垂．等三角形静止后，用铅笔沿着细线的方向在三角形上画一条线．接着，换一个顶点，重复刚才的步骤，又画了一条线．两条线的交点就是这个三角形的重心位置，如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条中线的交点 D. 画出三角形三条垂直平分线的交点 6. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知等腰中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，交点为，连接并延长交于点．若，，点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____________． 12. 计算：_____________． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点M，N，若，则的周长是_____________． 14. 如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则_____________°． 15. 如图，在四边形中，，若，则的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值，，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）请分别写出关于轴对称的图形的坐标，_____________，_____________，_____________； （2）作关于轴对称的图形； （3）的面积为_____________． 20. 如图，在中，，点是边上一点，点是射线上一点，且，点在点右侧： （1）根据下列步骤尺规作图，要求：保留作图痕迹，不写做法． ①过点作的平行线； ②过点作的垂线，交于点． （2）求证：． 21. 手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 22. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索 在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 23. 高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $