精品解析：山东省济宁市任城区济宁实验中学2025-2026学年上学期九年级数学阶段性质量检测试卷

2025－2026学年度第一学期初三数学阶段性质量检测 一、选择题（每题3分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 如图，将沿BC方向平移得到对应的．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，列式计算即可得解． 【详解】解：∵沿BC方向平移得到对应的， ∴, ∵, ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键． 3. 如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合． 故选B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4. 如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　） A. 是中心对称图形 B. 且 C. D. 与的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积，由平行四边形的性质得出，得出的面积的面积，平行四边形是中心对称图形，即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解题的关键． 【详解】∵是中心对称图形，故正确； ∵四边形是平行四边形， ∴且，故正确； 在和中，，，， ∴和不全等，故错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴和的底边，高相同， ∴与的面积相等，故正确， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化—平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．各对应点之间的关系是横坐标加，纵坐标加，那么让点的横坐标加，纵坐标加即为点的坐标． 【详解】解：由的对应点的坐标为， 坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加，纵坐标加， ∴点的横坐标为，纵坐标为； 即所求点的坐标为． 故选：A． 6. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 7. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在边上，连结，则的周长为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用含30度角的直角三角形的性质求出与，再根据旋转的性质得出的周长等于的周长，从而得解，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的周长等于的周长，即， 故选：D． 9. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 二、填空题（每题3分） 11. 如图，将向右平移5个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，然后根据线段的和差定义求解即可． 【详解】∵是由向右平移5个单位长度得到， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键． 12. 如图，在口ABCD中，，，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD，CE平分，可得，利用等角对等边得出，结合图形中线段间的数量关系即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵CE平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． 13. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线分别与，，交于点M，O，N．若四边形的周长为11，,则平行四边形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接．由作图可知垂直平分线段，则，由四边形是平行四边形，得，，，再证，进一步可得，进一步得到，即可得到平行四边形的周长． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴， ∵四边形的周长为11 ∴， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质及基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键． 14. 如图，和中，，，．点在边上．将图中的绕点顺时针方向旋转，旋转角为（），当为______时，边恰好与边平行． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，旋转变换的性质，设与交于点，由平行线的性质可得，则有，所以，最后通过旋转角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角， 故答案为：． 15. 如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转可得AD=AE， ∠DAE=60°，进而得出△ADE为等边三角形，则DE=AD，根据“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD=BE，而△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，当AD⊥BC时，AD最小， △BED的周长最小，然后求出AD的最小值即可解答． 【详解】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE=AD， ∵△ABC是等边三角形，AB=4， ∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△ABE， ∴CD=BE， ∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD， ∴当AD最小时，△BED的周长最小， 当AD⊥BC，时，AD最小， 过A作AM⊥BC于M， ∴BM=BC=2， ∴AM=， ∴AD的最小值为， ∴△BED的周长最小值是4+． 故答案为：4+． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求△BED的周长最小值转化求AD的最小值是解题的关键． 三、解答题 16. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠CFE， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△FEC， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=FC， ∴DC=CF． 【解析】 【分析】由已知条件易得AB∥CD，AB=DC，得出∠BAE=∠CFE，根据点E是BC的中点，得出BE=CE，再证△ABE≌△FCE（AAS）即可． 【详解】略 【点睛】熟悉平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质掌握是平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； ， （2） 如图，即为所求作三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 18. 如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，AB=CD， 又已知BE=DH， ∴AB-BE=CD-DH， ∴AE=CH， 在△AEF和△CHG中 ， ∴△AEF≌△CHG(SAS)， ∴EF=HG． 【解析】 【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键． 19. 如图，在△ABC中 BC=3，AB＝，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 【答案】DC的长为1 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得由旋转的性质可知AD＝AB＝，从而得到∠B＝∠BDA＝45°．进而得到∠DAB＝90°．再由勾股定理可得．即可求解． 【详解】解：∵由旋转的性质可知AD＝AB＝， ∴∠B＝∠BDA＝45°． ∴∠DAB＝90°． ∴． ∴CD＝BC﹣DB＝3﹣2＝1， 故DC的长为1． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理，熟练掌握图形旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． 20. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）的长为6． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；（2）由（1）得：，，再由平分，得到，再得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 21. 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 22. 问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 【答案】问题解决：3、；类比探究：；迁移运用： 【解析】 【分析】问题解决：利用旋转性质证明是等边三角形，利用勾股定理证明是直角三角形即可求解； 类比探究：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，利用勾股定理证明是直角三角形，即可求解； 迁移运用：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，推出在线段上，证明是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：问题解决：如图1，连接， 是等边三角形， ， 为绕点逆时针旋转所得， ∴， 又旋转后与重合，与重合， ， 是等边三角形， ，， 由旋转性质得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． 故答案为：3；； 类比探究：如图2， 将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，， 是等腰直角三角形． 由勾股定理得： ， ，， ， 是直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 迁移运用：如图3， 将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在线段上， ， 是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形、等边三角形、正方形的性质，直角三角形的判定，勾股定理解直角三角形等知识点，用到了类比推理、知识迁移的数学思想，综合性较强，为考试常见题型，需要侧重练习． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期初三数学阶段性质量检测 一、选择题（每题3分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将沿BC方向平移得到对应的．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A. B. C. D. 4. 如图所示，的对角线交于点，下列结论错误的是（　　） A. 是中心对称图形 B. 且 C. D. 与的面积相等 5. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 12 8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在边上，连结，则的周长为( )． A. B. C. D. 9. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分） 11. 如图，将向右平移5个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是________． 12. 如图，在口ABCD中，，，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为______． 13. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线分别与，，交于点M，O，N．若四边形的周长为11，,则平行四边形的周长为_____． 14. 如图，和中，，，．点在边上．将图中的绕点顺时针方向旋转，旋转角为（），当为______时，边恰好与边平行． 15. 如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 三、解答题 16. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 18. 如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：． 19. 如图，在△ABC中 BC=3，AB＝，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 20. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 21. 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 22. 问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $