专题03 一元二次方程（必备知识+21大题型+分层训练）（期末复习讲义）九年级数学上学期青岛版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，按“定义-解法-判别式-应用”逻辑递进呈现9个知识点，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于19类分层题型设计，如“增长率问题”“动态几何问题”等，结合实际情境培养模型意识与应用意识，配套基础、重难、综合练习，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的及其相关概念 精准掌握一元二次方程定义、一般形式，能准确识别各项系数与次数。 多以选择题、填空题考查，聚焦定义判断和系数确定，难度较低。 一元二次方程的解法 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程。 是解答题的高频考点，结合代数式求值等出题，侧重计算能力。 一元二次方程的判别式 理解判别式与根的关系，能运用其判断根的情况及求参数范围。 常与函数等知识综合，以解答题形式出现，注重逻辑推理。 一元二次方程的应用 学会分析实际问题，构建一元二次方程模型并求解、检验。 结合实际情境，如销售、增长率问题，考查建模与应用能力。 知识点01：一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程可以化为 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项， ，分别叫做二次项系数和一次项系数。 知识点03： 用配方法解一元二次方程 1）配方法的定义：当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成一般形式。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 知识点04：用公式法解一元二次方程 1）公式法的定义： 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1）因式分解的方法的定义：利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2）因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。 ②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 知识点06： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用 来表示，即。 1)若 方程有两个不相等的实数根 。 2)若 方程有两个相等的实数根。 3)若 方程没有实数根。 知识点07： 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 ， 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 知识点08：整体法或换元法解一元二次方程 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 知识点09：一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④解：准确求出方程的解。 ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题。 ⑥答：写出答案。 1、与图形有关问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。 ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2、增长率问题 计算公式：平均增长类型： 平均下降类型： 3、营销问题 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－（原数量＋） 题型一 由一元二次方程的解求参数 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【规范解答】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 【变式】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键．利用方程根的定义，将根代入方程后得到等式，再整体代入代数式求值． 【规范解答】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 题型二 解一元二次方程-直接开平方法 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2)，． 【思路引导】本题考查了解分式方程、解一元二次方程． （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解； （2）根据直接开平方法解方程即可． 【规范解答】（1）解： 方程两边同时乘以，得 ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： ∴ ∴ ∴，． 【变式】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程—配方法及特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ， ， ， 则， 所以，． 题型三 配方法的应用 【例3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2027 【思路引导】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如， （，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)10 (2)12 (3)25 (4)见解析 【思路引导】本题主要考查完全平方公式，配方法的应用； （1）根据新定义逐一判定即可； （2）根据配方法得到，代入计算即可； （3）根据配方法得到，得到，计算即可； （4）令，，为整数），得到，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴10是“雅美数”， 故答案为：10． （2）解： ； ∴， ． 故答案为：12． （3）解： ， 要使为“雅美数”，其表达式应为两个整数的平方和的形式， ∵是整数， ∴是整数， ， ∴； （4）证明：∵实数，是“雅美数”， 令，，为整数）， ∴ ∵为整数， ∴均为整数， ∴是“雅美数” 题型四 公式法解一元二次方程 【例4】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用提公因式法解方程即可得到答案； （2）利用直接开平方解方程即可得到答案； （3）利用因式分解法解方程即可得到答案； （4）利用公式法解方程即可得到答案 【规范解答】（1）解： 提公因式得： 解得：，． （2）解：， 开平方得：， 解得：，． （3）解： 因式分解得： 解得：，． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 【变式】（25-26九年级上·广西南宁·期中）（1）计算：     （2）解方程：． 【答案】 （1）；（2） 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算，解一元二次方程，正确计算，灵活选择一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先算乘除，后算加减即可； （2）选择配方法解方程即可． 【规范解答】解：（1）原式； （2）， ， ， ， ． 题型五 因式分解法解一元二次方程 【例5】（23-24九年级上·四川宜宾·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，熟知各种解法并灵活应用是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，． 【变式】（25-26九年级上·四川成都·期中）解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程． （1）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质，进行计算即可求解 （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：． 题型六 换元法解一元二次方程 【例6】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·山东日照·期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查解一元二次方程，代数式求值，掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后根据实数 的条件排除无效解即可． 【规范解答】设 ， ∵原方程为， ∴原方程可化为 ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∵ ，且 ，此时方程无实数解， ∴舍去， 综上， ． 故答案为：． 题型七 解分式方程（化为一元二次方程) 【例7】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【规范解答】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案． 【规范解答】解：如图，过点作于， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 故选：A． 题型八 根据判别式判断一元次方程根的情况 【例8】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可； （1）把代入方程得：，推出，即可判断； （2）由题意得，推出，根据即可求证； 【规范解答】（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：得 ， ∴ ∴ ∴ 是等腰三角形； （2）证明：∵ 是直角三角形，c为斜边， ∴ ∴； ∵ ∵ ， ∴； ∴ 方程有两个相等的实数根； 【变式】（25-26九年级上·青海西宁·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【思路引导】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【规范解答】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 题型九 根据一元二次方程根的情况求参数 【例9】（25-26九年级上·福建福州·期中）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【规范解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)；8 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先求出该方程的判别式，再根据判别式的意义即可证明结论； （2）一个等腰三角形的底边长是2，且两条腰长分别是该方程的两个根，即该方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ， 当时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得：或， 当时，原方程可化为，即，解得：，不符合题意； 当时，原方程可化为，即，解得：， ∴该等腰三角形的两腰均为3， ∴该等腰三角形的周长为． 综上，，等腰三角形的周长为8． 题型十 —元二次方程的根与系数的关系 【例10】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出的值． 【规范解答】（1）证明：，，， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，， 或． 【变式】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 方程有两个实数根，且，可转化为二次函数与直线的交点问题，通过分析函数性质，由于，抛物线开口向下，且在和处函数值为负，两个根均位于区间内，因此满足． 【规范解答】解：对于二次函数，令得，， 由于，则令或， 解得或， 即二次函数与轴的交点坐标为和， 由于，在内，，且顶点在处，顶点值， 函数大致图象如下： 为使有两个实根，需二次函数顶点值大于， 即， 解得（满足）， 因此，一元二次方程的两个实数根在到之间，即， 故选：A． 题型十一 传播问题（一元二次方程的应用） 【例11】（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 【变式】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，经过两轮传染后总人数为初始人数加上第一轮新增人数和第二轮新增人数，据此列出方程即可． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． ∵ 开始有1人患流感， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， ∴ 两轮后总患病人数为：． 故选C． 题型十二 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例12】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【变式】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 题型十三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例13】（25-26九年级上·山西临汾·期中）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见解析，，，，， (3) 【思路引导】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据题意可得， ，进而根据阅读材料构造大正方形，即可求解． 【规范解答】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 【变式】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当t =_______时，四边形ABQP是矩形； (2)当t =_______时，四边形AQCP是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 【答案】(1)3 (2) (3)不存在，见解析 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． （1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【规范解答】（1）解：如图， 过点作于点，    由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 题型十四 数字问题（一元二次方程的应用） 【例14】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【答案】最小数为10，最大数为18 【思路引导】本题考查了用一元二次方程的实际应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键. 设最小数为，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，列出一元二次方程并求解即可． 【规范解答】解：设最小数为，则最大数为 根据题意， 可列方程， 解方程，得，不合题意，（舍去） 所以． 答：最小数为10，最大数为18． 【变式】（24-25九年级上·重庆·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【思路引导】本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【规范解答】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 题型十五 营销问题（一元二次方程的应用） 【例15】（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【变式】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 题型十六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例16】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【思路引导】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【规范解答】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【考点剖析】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【规范解答】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当 时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 题型十七 工程问题（一元二次方程的应用） 【例17】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【变式】25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【思路引导】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【规范解答】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型十八 行程问题（一元二次方程的应用） 【例18】（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【规范解答】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【变式】（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型十九 图表信息题（一元二次方程的应用） 【例19】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【思路引导】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【思路引导】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【规范解答】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 题型二十 其他问题（一元二次方程的应用） 【例20】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为45人 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，设该公司参加旅游的员工人数为人，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【规范解答】解：设该公司参加旅游的员工人数为人， ∵， ∴， 依题意得： 解得：，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：该公司参加旅游的员工人数为45人． 【变式】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)应该再增加3个工厂． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x； 解得：（舍），， （2）解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 题型二十一 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例21】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【规范解答】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 【变式】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键； 因为双循环比赛每两队之间比赛两场，所以总场次公式为 ，据此可列方程求解． 【规范解答】解：∵双循环比赛总场次为， ∴ ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ ，（舍去）， ∴， 故选：B． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的概念，掌握其概念是解题的关键． 一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程． 【规范解答】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：A ． 2．（25-26九年级上·云南怒江·期中）一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 【答案】C 【思路引导】本题考查了解一元二次方程. 通过因式分解法求解即可. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 故选：C. 3．（25-26九年级上·云南怒江·期中）今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了增长率问题． 根据2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只列方程即可． 【规范解答】解：∵设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x， ∴2024年初数量为， ∴2025年初数量为． 又∵2025年初统计为180只， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【规范解答】解：方程 中，二次项系数 ，一次项系数 根据根与系数的关系，两根之和 ． 故答案为． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程左边可以因式分解，利用因式分解法解方程即可得． 【规范解答】解：， ， 或， ，， 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键， 根据“使花园所占面积为荒地面积的一半”列方程即可． 【规范解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得 ； （2）解：， ， ， ， ， 解得 ． 8．（25-26九年级上·广东珠海·期中）（1）解方程：； （2）如图，已知，把绕着点顺时针旋转至，使得点与的延长线上的点重合．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、旋转的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握方程的解法和旋转的性质是解题关键． （1）方程可变形为，利用配方法解方程即可得； （2）先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． （2）由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·江苏常州·期中）为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】米 【思路引导】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得：，据此即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】3元 【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的方程，然后求解即可． 【规范解答】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【规范解答】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用． 由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【规范解答】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数， 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，列方程求解． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，其中 ，，， ∴， 即， 解得． 又因为一元二次方程要求二次项系数，而， ∴符合题意． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西临汾·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的应用，根据单循环赛的规则，每两队之间比赛一场，设有x个队参赛，总比赛场数为，共安排28场比赛，即可列出方程． 【规范解答】解：设有x个队参赛，每两队之间进行一场比赛，则总比赛场数为 ． 根据题意，总比赛场数为28场， 因此可列方程为 ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：． 【答案】 ， 【思路引导】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解此题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可得到答案． 【规范解答】解： ，，， ， ， ，． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知关于的方程，小明认为，“这个方程总有两个不相等的实数根．”你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】同意他的观点，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，可证明，据此可得结论． 【规范解答】解：同意他的观点，理由如下： 由题意得， ， ∵， ∴， ∴关于的方程总有两个不相等的实数根， ∴同意他的观点． 9．（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3)不能，理由见解析 【思路引导】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程是解题的关键， （1）根据题意利用待定系数法即可求函数解析式； （2）根据每天的销售利润为元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每天获得的利润需要达到元，列出方程，再根据，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可； （3）由题意可知，，然后根据进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 根据方程解的定义求出，整体代入求解． 【规范解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解 【规范解答】∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， ， ∴ ， ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故选 B 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的整数解与一元二次方程根的判别式，解题的关键是分别求出不等式组中的取值范围和方程有实数根时的取值范围，再确定符合条件的整数并求和． 先解不等式组得到解集，根据整数解个数确定的范围；再根据一元二次方程有实数根的条件（判别式且二次项系数不为0）确定的范围，取公共部分的整数求和． 【规范解答】解：由解得：； 由解得：． 故解集为． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故，解得． 对于一元二次方程， 由得； 由，得． 结合得且，整数为3、4，和为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图是贵州旅游的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，已知海报含边框面积为，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意增加边框后的矩形长宽应各增加两倍的边框长度． 根据题意，原矩形长宽比为，依据题意假设，矩形图案的长为，宽为，随后可用x表示增加边框后的长宽分别为、，根据矩形面积公式即可列出方程． 【规范解答】解：∵矩形长宽比为，矩形图案的长为， ∴宽的表达式为， ∵边框宽度为， ∴添加边框后海报长度为，宽度为， 由题意海报含边框面积为， 故可列方程． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键. 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【规范解答】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法和性质得到线段的数量关系是关键． 根据题意，连接，过点作于点，设，证明，，得到线段数量关系，由此列式求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，过点作于点，设， ∵点是中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程 (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 因式分解，得， ∴或 解得，． （2）解∶， 移项，得， 配方，得， 即， 所以， 解得，． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【思路引导】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【规范解答】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当的面积为25时，求t的值； (3)在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 【思路引导】本题为几何图形动点问题，考查了矩形性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，构造关于t的方程是解题关键． （1）由题意得，证明，得到，即可求出； （2）根据四边形为矩形得到，，，根据的面积为25，列出方程，解方程即可求解； （3）当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时，证明，得到，当时，求出，再证明，即可得到当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 当的面积为时， 由题意得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 此时， ∴， ∴当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 10．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①；②或；③ 【思路引导】（1）根据，，．进行列式代数计算，即可作答． （2）①先整理得，，当点在边上运动时，，因为，则，再把数值代入进行计算，即可作答． ②理解题意，分类讨论，再逐个情况作图，结合图中的性质以及相似三角形的性质，代入数值计算，即可作答． ③先证明，把数值代入，得，，则，然后证明，把数值代入进行计算，得，解得（舍），，此时的长为，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵，，． ∴在中，； （2）解：①由（1）得， 在中，可得， ∵动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为（秒）． ∴，， 当点在边上运动时，， ∵， ∴， 即， 解得； ②点在边上运动， 当与相似时， 分以下两种情况： 情况1：如图1， 当时， 则， 即， 解得， ； 情况2：如图2，当时， 则， 此时， 即， 解得， ； 综上，的长为或； ③， ， ， ， 即， .， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 则， 整理得， 解得，， ∵当时，则，此时点与点重合，不存在，故舍去． 此时的长为． 【考点剖析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的及其相关概念 精准掌握一元二次方程定义、一般形式，能准确识别各项系数与次数。 多以选择题、填空题考查，聚焦定义判断和系数确定，难度较低。 一元二次方程的解法 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程。 是解答题的高频考点，结合代数式求值等出题，侧重计算能力。 一元二次方程的判别式 理解判别式与根的关系，能运用其判断根的情况及求参数范围。 常与函数等知识综合，以解答题形式出现，注重逻辑推理。 一元二次方程的应用 学会分析实际问题，构建一元二次方程模型并求解、检验。 结合实际情境，如销售、增长率问题，考查建模与应用能力。 知识点01：一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程可以化为 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项， ，分别叫做二次项系数和一次项系数。 知识点03： 用配方法解一元二次方程 1）配方法的定义：当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成一般形式。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 知识点04：用公式法解一元二次方程 1）公式法的定义： 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1）因式分解的方法的定义：利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2）因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。 ②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 知识点06： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用 来表示，即。 1)若 方程有两个不相等的实数根 。 2)若 方程有两个相等的实数根。 3)若 方程没有实数根。 知识点07： 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 ， 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 知识点08：整体法或换元法解一元二次方程 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 知识点09：一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④解：准确求出方程的解。 ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题。 ⑥答：写出答案。 1、与图形有关问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。 ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2、增长率问题 计算公式：平均增长类型： 平均下降类型： 3、营销问题 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－（原数量＋） 题型一 由一元二次方程的解求参数 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【变式】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 题型二 解一元二次方程-直接开平方法 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）解方程： (1) (2) 【变式】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 题型三 配方法的应用 【例3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式】（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如， （，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 题型四 公式法解一元二次方程 【例4】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）用适当方法解下列一元二次方程： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式】（25-26九年级上·广西南宁·期中）（1）计算：     （2） 解方程：． 题型五 因式分解法解一元二次方程 【例5】（23-24九年级上·四川宜宾·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式】（25-26九年级上·四川成都·期中）解方程： (1) 计算：； (2) 解方程：． 题型六 换元法解一元二次方程 【例6】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【变式】（25-26九年级上·山东日照·期中）若实数满足，则的值为 ． 题型七 解分式方程（化为一元二次方程) 【例7】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 题型八 根据判别式判断一元次方程根的情况 【例8】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 【变式】（25-26九年级上·青海西宁·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 题型九 根据一元二次方程根的情况求参数 【例9】（25-26九年级上·福建福州·期中）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 题型十 —元二次方程的根与系数的关系 【例10】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【变式】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 题型十一 传播问题（一元二次方程的应用） 【例11】（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【变式】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 题型十二 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例12】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【变式】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 题型十三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例13】（25-26九年级上·山西临汾·期中）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【变式】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当t =_______时，四边形ABQP是矩形； (2)当t =_______时，四边形AQCP是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 题型十四 数字问题（一元二次方程的应用） 【例14】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【变式】（24-25九年级上·重庆·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型十五 营销问题（一元二次方程的应用） 【例15】（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【变式】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 题型十六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例16】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【变式】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型十七 工程问题（一元二次方程的应用） 【例17】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【变式】25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型十八 行程问题（一元二次方程的应用） 【例18】（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【变式】（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 题型十九 图表信息题（一元二次方程的应用） 【例19】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【变式】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 题型二十 其他问题（一元二次方程的应用） 【例20】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【变式】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 题型二十一 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例21】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【变式】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南怒江·期中）一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 3．（25-26九年级上·云南怒江·期中）今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程，则 ． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）方程的根是 ． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程 ． 7．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2) 8．（25-26九年级上·广东珠海·期中）（1）解方程：； （2）如图，已知，把绕着点顺时针旋转至，使得点与的延长线上的点重合．求的度数． 9．（25-26九年级上·江苏常州·期中）为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 5．（25-26九年级上·山西临汾·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知关于的方程，小明认为，“这个方程总有两个不相等的实数根．”你同意他的观点吗？请说明理由． 9．（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 2．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图是贵州旅游的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，已知海报含边框面积为，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为 ． 5．（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为 ． 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程 (1) (2)． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当的面积为25时，求t的值； (3)在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 10．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $