精品解析：江苏省连云港市赣榆实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级学业素养评价（二）数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是的内心，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，为的中点，以为圆心，为半径作半圆与边相交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 把一元二次方程化为一般形式是______． 10. 已知圆锥的底面直径为，母线长为，它的侧面积为__________． 11. 解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 12. 某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，6，8，10，则样本的方差是______． 13. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 14. 如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__． 16. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ? 19. 如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． （1）用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； （2）求该铜镜所在圆的半径． 20. 迎国庆，我校举行了“心系国防，爱我中华”国防教育知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下： 成绩得分用x表示，共分成四组： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 b c 34.6 八年级 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝_____，b＝______，c＝______． （2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由． （3）我校八年级共800人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？ 21. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当x12﹣x22=0时，求m的值． 22. （1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，的半径为r，则r的取值范围是______． 23. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 24. 如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． （1）求的度数； （2）探究与的位置关系，并证明 （3）若，，求的长． 25. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】（1）由勾股定理得，，，．在中，，所以．化简得：．同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N． （3）已知点、，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】（4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，求以点M、N的横坐标为根的一元二次方程． 26. 【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业素养评价（二）数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，排除； B. 右边为分式，不是整式方程，排除； C. 整理为 ，是只含未知数的整式方程，且最高次数为2，符合定义； D. 化简后为 ，是一元一次方程，排除； 故选：C． 2. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系可直接进行排除选项． 【详解】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 3. 已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位线的定义，求平均数，熟练掌握定义是解题的关键．将一组数据从小到大进行排序，中位数是指排在中间位置的数；众数是指出现次数最多的数，先根据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等得出，进而根据平均数的定义，即可求解． 【详解】解：∵3，5，9，10，12各有一个数， ∴当x为这些数中任意一个时，这组数据的众数就是那个数， 又3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等， ， 这组数据的平均数是； 故选：B． 4. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用3月份的收入=1月份的收入×1+月收入的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，四边形内接于．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键；因此此题可根据圆周角的性质直接进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 6. 如图，点是的内心，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7. 如图，矩形中，，为的中点，以为圆心，为半径作半圆与边相交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，扇形面积，解直角三角形，得出阴影部分面积等于是解题的关键．连接，，根据题意得出，是等边三角形，得出，根据阴影部分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 依题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积， 故选：D． 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 把一元二次方程化为一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，再把常数3移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面直径为，母线长为，它的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为， ∴圆锥的底面半径为，， 解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 11. 解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，6，8，10，则样本的方差是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，先求样本数据的平均数，再求各数据与平均数差的平方的平均值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，平均数， 方差 ， 故答案为：2． 13. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 14. 如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】连接，，在优弧上取一点Q，连接，，先根据正五边形的内角和公式求得，再利用切线的性质和四边形内角和定理求得，然后利用圆周角定理得到，最后利用圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的边，与分别相切于点M，N， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：144． 【点睛】本题考查了切线的性质，正五边形的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握切线性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE=OF； 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10， ∴由勾股定理，得BC=8； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD=S△ACD， 又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD， ∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6， 解得OE=， ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 16. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解： ， 【小问4详解】 ，. 18. 如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ? 【答案】宽为1m,高为1.5m. 【解析】 【分析】设窗户的宽为x，则高为，根据等量关系，列出方程，即可. 【详解】设窗户的宽为x，则高为， 由题意得：， 解得：， ∴=， 答：窗框的宽为1m，高为1.5m. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用——几何问题，找出等量关系，列出方程，是解题的关键. 19. 如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． （1）用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； （2）求该铜镜所在圆的半径． 【答案】（1） 如图所示 （2）该铜镜所在圆的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，几何作图能力，及勾股定理的应用，灵活利用圆的基本性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆的圆心在任意弦的垂直平分线上，这一性质，通过作两条不同弦的垂直平分线，其交点即为圆心． （2）利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”，结合已知条件列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设的垂直平分线与圆弧交点为D，则点D是到弦距离最大的点，连接，，交于点； 设圆的半径为，由垂径定理得，，∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 即该铜镜所在圆的半径为． 20. 迎国庆，我校举行了“心系国防，爱我中华”国防教育知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下： 成绩得分用x表示，共分成四组： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 b c 34.6 八年级 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝_____，b＝______，c＝______． （2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由． （3）我校八年级共800人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1）40，93，96 （2）七年级的成绩更稳定，理由如下： ∵七八年级的平均数相等，七年级成绩的方差为34.6，八年级成绩的方差为50.4， ∴， （3）参加此次活动成绩优秀的学生人数约为560人 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据扇形统计图得A，B组的学生人数占的百分率，结合C组人数，求出D组的学生人数占的百分率，从而可得a的值，再根据七年级学生成绩，由中位数定义，可得b的值，由七年级学生成绩中96分有3个，出现的次数最多，可得c的值； （2）因为两个年级的平均数相同，计算七年级的方差分析可得结论； （3）分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于90分的人数的百分率，利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：，即， ∵七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82． 从小到大排列：82，86，86，89，90，96，96，96，99，100， ∴第5个，第6个数据为：90，96， ∴中位数， ∵七年级学生成绩中96分有3个，出现的次数最多，所以众数， 故答案为：40，93，96； 【小问2详解】 解：略． 七年级成绩的方差比八年级小，所以七年级的成绩更稳定． 【小问3详解】 解：由题意得：八年级成绩大于或等于90分占的百分比为， ∴（人）， 答：参加此次活动成绩优秀的学生人数约为560人． 21. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当x12﹣x22=0时，求m的值． 【答案】（1）m≤；（2）m＝． 【解析】 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值． 【详解】解：（1）由题意有∆=（2m-1）2-4m2≥0， 解得m≤， 即实数m的取值范围是m≤； （2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2， 由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0， 若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝， ∵＞， ∴m＝不合题意，舍去， 若x1-x2=0，即x1=x2， ∴∆=0，由（1）知m＝， 故当x12-x22=0时，m＝． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式正确计算是本题的解题关键． 22. （1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，的半径为r，则r的取值范围是______． 【答案】 （1）小红发现的结论：．如图，连接， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 由圆周角定理得： 在和中， ∴ ∴ 小明发现的结论: 点到，的距离相等. 过点作于，于， 连接 ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 即点到，的距离相等． （2） 【解析】 【分析】（1）证明小红发现的结论：连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；证明小明发现的结论：过点作于，于， 连接，先根据垂径定理可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （2）作的内切圆，与边分别切于点，，，连接，利用圆的切线的性质和勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1） 略 （2）如图，作的内切圆，与边分别切于点，，，连接 ∴ ∵ ∴ 解得 设 又 ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 即， 解得， 即， ∴，，， ∵与各边都相交且所形成的弦的长度均相等，且的半径为r， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个临界位置是解题关键． 23. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 【答案】（1）5元 （2）4元或6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件”，列式计算即可； （2）设每件衬衫的售价提高了元，根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件，这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元”，列方程计算即可． 【小问1详解】 解：元， 答：每件衬衫的售价提高了5元； 【小问2详解】 设每件衬衫的售价提高了元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每件衬衫的售价提高了4元或6元． 24. 如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． （1）求的度数； （2）探究与的位置关系，并证明 （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 与相切； 证明：， ， ，， ， ， ， 是的直径， 与相切； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论； （3）设与交于，根据垂径定理得到垂直平分，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 连接， ， 是的直径， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设与交于， ， ， 是的直径， 垂直平分， ，， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】（1）由勾股定理得，，，．在中，，所以．化简得：．同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N． （3）已知点、，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】（4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，求以点M、N的横坐标为根的一元二次方程． 【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接， 分别以A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P， 以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点． 如图所示： （3）由题意得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）以点M、N的横坐标为根的一元二次方程为 【解析】 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所画的点； （3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1）如图1，连接，， 在直角三角形中，，，， 在中，， ∴，化简得：， 所以n为方程的一个实数根； 故答案为：； （2） 略 （3） 略 （4）以点M、N的横坐标为根的一元二次方程为；理由如下： 如图，由勾股定理得，，， 在中，， ∴， 化简得：， 同理可得：． ∴m、n为方程的两个实数根． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 26. 【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 【答案】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或或或； （3）解：的长度为或或． 图⑤理由： 当与相切，平分一组对角时，如图，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 过点C作，连接，则， ∴经过， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形， ∴圆心O在上，，设，则， ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形，， ∴圆心O在上，，设，则 ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴，分别过点、作，，垂足分别为点、，如图所示， ∴，，即过圆心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由题意易得，，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）当点E在优弧上时，由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可；当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质求解即可； （3）由题意可分当与相切，平分一组对角时；当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；然后分类求解即可． 【详解】（1）略 （2）若是等腰三角形，且点E在优弧上时， 则，如图， ∴当时；则的度数为 当时；则的度数为 当时；则的度数为； 当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： 由题意得， ∴， ∴ ∴则的度数为； 故答案为：或或或； （3）略 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $