精品解析：甘肃兰州市第二十二中学2026-2027学年度九年级第一学期期中考试数学试卷

兰州市第二十二中学 2026—2027学年度第一学期期中考试试卷 九年级 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共有11道小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请将你认为正确的选项的序号填入后面括号内．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有4道小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：__________． 13. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则__________（结果保留根号）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 15. 如图，正方形的边长是3，，，分别是，，上的点，已知，求周长的最小值__________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，计算步骤，推理过程，保留作图痕迹等．） 16. 计算： 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“尾翼角”的度数． 20. 如图，已知，，，． （1）求的长． （2）求证： 21. 已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． （1）把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）直接写出的面积． 22. 如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树．某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，． （1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影； （2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度． 23. 若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 24. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 25. 综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． （1）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图，求的度数； （2）拓展延伸：如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，求证：四边形是菱形； （3）解决问题：如图，矩形纸片中，，，点是边上的一动点，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕过点，交边于点，把纸片展平．请你求出线段长度的取值范围． 26. 对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”． （1）已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． （2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第二十二中学 2026—2027学年度第一学期期中考试试卷 九年级 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共有11道小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请将你认为正确的选项的序号填入后面括号内．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线平移“左加右减”的规律求解． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为． 3. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：B． 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】分二次项系数为0和不为0两类讨论，分别求解后合并范围． 【详解】解：当，即时，方程为，是一元一次方程，有实数根，符合条件． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围是． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定的取值范围及正负性，结合有理数运算法则判断各选项． 【详解】解：由数轴可知：，， ，故选项A、B错误； ，， ，故选项C错误； ，， ，故选项D正确． 7. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 8. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 10. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 11. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： 当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共有4道小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ 多项式的两项分别为、， ∴ 两项的公共因式为， ∵ 用公因式分别除两项，可得剩余部分为、， ∴ 提取公因式后，原式可分解为． 13. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，且由图可知，， ∴， ∵， ∴， 解得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长是3，，，分别是，，上的点，已知，求周长的最小值__________． 【答案】 【解析】 【分析】作点E关于的对称点N，连接，，根据两点之间线段最短可知最小时点G在上，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图， 作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，， 由题意可知，为定值， 则当最小时，周长有最小值， 根据两点之间线段最短可知， 即最小时点G在上， 过点F作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 即的最小值为， 在中，， 所以周长的最小值是． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，计算步骤，推理过程，保留作图痕迹等．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．采用公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ，，． ， ， ，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“尾翼角”的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，，再根据定理即可得证； （2）先得出，，再根据等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 20. 如图，已知，，，． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）得出，则可得，进而可得的长，由此即可得； （2）得出，，则可得，进而可得，由此即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略． 21. 已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． （1）把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； 【小问3详解】 的面积为． 22. 如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树．某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，． （1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影； （2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）8m 【解析】 【分析】（1）连结，即为太阳光线，过A点作的平行线与交于点C，即可得到的影子； （2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，即， 得． 答：松树的高度为8米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，理解题意并熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 23. 若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1），函数的表达式是 （2）二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． 【小问2详解】 解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 24. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25. 综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． （1）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图，求的度数； （2）拓展延伸：如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，求证：四边形是菱形； （3）解决问题：如图，矩形纸片中，，，点是边上的一动点，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕过点，交边于点，把纸片展平．请你求出线段长度的取值范围． 【答案】（1）60° （2） 证明：折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， 垂直平分， ，， ， ，， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形三线合一可得，即是等边三角形，由等边三角形的性质可求解； （2）由折叠知垂直平分，再利用证明≌得，则四边形是平行四边形，进而证明结论； （3）当点与点重合时，的长最大，为；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理列方程求出此时的长，即可得出长的取值范围． 【小问1详解】 解：由折叠得：，，，， ， 是等边三角形， 又， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， 长的最大值为； 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则， 由折叠得，， ，，， ， ， ， ， ， ； 解得， 长的最小值为， 长的取值范围是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理及动点问题的探究等知识，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题，此题综合性较强，难度大，属于考试压轴题． 26. 对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”． （1）已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． （2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①A，C；②或；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【小问1详解】 ①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； 【小问2详解】 ∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $