湖南省常德市临澧县第一中学2026届高三上学期数学周测试题（二）

临澧一中2026届高三数学周测试题（二) 时量：120分钟 总分：150分 2025.09.12 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知袋合A=∈R.B=cR3<,则4nB=() A.(3,+0) B.(-1,0) C.(-n,0) D.(-0,-1)八J(0,+0) 9=6 2.已知cos 则cos0=( 26 B吉 c D 3.若a>b>0,则下列不等式不成立的是( A.1< B.a>b C.a+b>2√ab b D. 孕>孕分 4.将函数f(x)=cosx-sinx的图象向左平移m(0<p<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若 g(x)为奇函数，则实数p的值为() A号 B. C. 4 D 5.已知向量a,b满足|a=1,b=2,|a-b=√7，则a+b在b方向上的投影向量是() A.16 B.36 C.-16 4 4 4 D.-3b 6.已知定义在R上的函数f)=xe,a=fog,V5,b=-fog,,c=f3), 则a,b,c的大小关系为() A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 7.己知m,n是正实数，若函数f)=e“的图象与g)=x+m的图象相切，则上+2的最小值 是() A.2W2 B.3+2W2 C.1+√2 D.3 8.若f=1og,a-1a< 1-(x-2)2+2(x≥1) ,则关于x的方程fc+2)=a的实根个数不可能为( A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知三角形ABC三个内角分别为A,B,C,且满足in4+irB+inS=cosB,则下 2 2 列说法正确的是(）（参考公式：x=x+y+x-卫， 2 2,=y当 22 A.cos4-C=2c0s4+C B.sinA+sin C=3sin B 2 2 C. D.B≥元 10.若函数f(x)具有下列性质：①定义域为(-1,1)；②对于任意的x,y∈(-1,1)，都有 f)+f)=f+当：③当-1<x<0时，f)>0,则称函数f)为6的函数.若函数f) 1+xV 为6的函数，则以下结论正确的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为单调递减函数 D.f(x)为单调递增函数 11.己知f)=2lm+2-5,g(x)=2x27im(参考数据：e3≈20.086，m2≈0.693,5≈1.609)， 下列说法正确的是() A.当k=-1时，(x)的最小值为6 B.若f(x)≤0恒成立，则k的取值范围为(-m,-e6] C.若m=a有两个零点：，x,则x+>2 0 D.若f(x)≤g(x)恒成立，则k的最大整数值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数y=f6)在x=x,处的导数f,)=-1,则imf,+2)-f) △X [1,x∈0 13.十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f(x)= 0,x∈CQ 被称为狄利 克雷函数.狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，如果A(0,(O), B(V3,f(√3)，在其图象上，那么f(√3)=，A,B两点间的距离为 14.已知△ABC重心为G,过点G作直线l分别交AB,AC于点M,N, 则SA@的最小值为】 S.NOC 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知数列{a}的前n项和为Sn,4,=8,2Sn=n(a1-1) (1)证明： a+1 是常数列； n (2)设b,=38, 1 求数列{b}的前n项和. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，√3(sin Bsin A-cos Bcos.)=sinC. (1)求角C的大小： (2)若△ABC的面积=10√3，内切圆的半径为r=√5，求c: (3)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=2,求△ABC的面积S的最小值. 17.（本小题满分15分) 如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC/IAD,AB⊥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)若PA=AB=√2，AD=√3+1，BC=2,P,B,C,D在同一个球面上，设该球面 的球心为O (i)证明：O在平面ABCD上： (ⅱ)求直线AC与直线PO所成角的余弦值. B 18.(本小题满分17分) 如图，已知椭圆C:+y=1的左、右顶点为4,4，上、下顶点 4 为B,B,记四边形ABA,B,的内切圆为C2· (1)求圆C,的标准方程： (2)己知圆C,的一条不与坐标轴平行的切线1交椭圆C,于P,M两点. （i)求证：OPLOM;(i)试探究1+1 Op:+o是否为定值. 19.(本小题满分17分)已知f(x)=sinx-alx+1),x∈[0，刂，其中a∈R,曲线y=f(x) 在点(0，f(O)处的切线方程为y=0. (1)求a的值： (2)求f(x)的最小值： (3)设b∈Z,若emx-x+x2-bx-1>0对Vx∈(0,1]恒成立，求b的最大值. 临澧一中2026届高三数学周测试题（二) 参考答案 题号 10 11 12 13 14 答案 B A D B B AC AC BCD -2 0:2 1+ 2 1.对于A,当k=-1时，f=2m--5,>0,则f)=是-2x=22, 令f(x)>0,得0<x<1,令f(x)<0,得x>1, 则函数f()在(0，)上单调递增，在1，+)上单调递减， 所以f)m=f(1)=-6,无最小值，故A错误： 对于B,由fx)0,x>0,则2hx+x2-5<0,即k<5-2匹=5-x2 x x 令t=x2,t>0,即k≤5=m,设h0=5=ht,t>0,则h0==6+L, 令h①>0，得t>e,令ht)<0,得0<t<e, 所以函数h)在(0，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递增， 则hmn=h(e)=-e6,即k长-e-6,故B正确： 对于C,由g(w)=2x2lx=xlx2,x>0,令t=x2,t>0,则g(x)=xhx2=)=tt,t>0, 则gx)=a有两个不同实数根x,x,等价于)=a有两个不同实数根t,2, 且1=x,=,而0=ht+1,令>0，得t>是，令⑩<0，得0<t<是， 所以函数4心在0，上单调递减，在（飞，+0）上单调递增， 因为0<t<1时，0<0，t>1时，u0>0,则0<1<】<t2<1,)=,), 设0)=0-2-)=-合-0径-0.0<1<合 则H'@=2+hm+b2-0=2+M-t-+], 当0<1<名时，--+<六，则r0<0, 所以H在(0，)上单调递减，则H)>H〔=0， 由0<4<2，则)=)-2-)>0， 则=)>经-)，又>6名>名 且0在（台+四）上单调递增，所以5>名-4。+i,=片+兮>己，故C正确： e 对于D,由fx)g(),则2x+a2-5≤2x2l,x>0,则a2≤x2hx2-hx2+5, 则k≤-+5，令1=r,t>0,则ks《-+5, x2 t i设F0=-1+5t>0, t 则0=1±g-6,因为F④-12<0，r4)=5-l5_45-e2」 16 4.52 4352 由于e2≈20.086，则e2≈V20.086≈2W5≈447，所以F4)=h4.5-he2>0, 4.52 且函数y=t+lt-6在(0，+∞)上单调递增， 所以5∈44，使得FG)=+-6=0,即i,=6-t,则t∈(0t)时，F0<0, F在(0，。)上单调递减，t∈。，+0)时，F(臼>0，F)在。，+w)上单调递增， 则0a65:☏兰-乌-6-5- 6-Into 则k的最大整数值为2，故D正确. 故选：BCD. 15.(1)己知数列{a}的前n项和为S,4=8,2S=n(a1-1) 当n=2时，2(a+a2)=2×(8-1),4+a=7. 当n=1时，24=a42-1,q4=242=5. 当n≥2时，2Sn1=(n-1)(a.-1): 2a.=2S.-2S1=n(a4+1-1)-(n-1)(a。-1): 即*a=a1会-房-， n n+1 当n=1时也符合上式，“数列+1是常数列【7分】 n (2)由1)知a+1=3,“a=31-1,·s= n(3n+1) 6-w,2--可到6动 么+4+…+6-引}号+号8++中z合2)广2 (13分】 l6.(1)由√3(sin Bsin A-cos Bcos.)=sinC,得-√3cos(A+B)=sinC, 在△ABC中，sin(A+B)=-cosC,所以V3cosC=sinC,即tanC=√3， 而0<C<π，所以C=:5分》 (2)由等面积法得：S=dsnC-古a+b+0,即10W5-a+b+0)-9b, 因此a+b+c=20且ab=40, 在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2 ab cos C, 即c2=a2+b2-ab=(a+b2-3ab=(20-c)2-120, 所以c=7;（10分} (3)因为∠ACB的平分线交AB于D,且CD=2, 可得Skc=}0smC=号a+)-CD.sin号，即ab5-2a+-3 所以V5ab=b>2x2a历，当且仅当a=b时取等号，所以b号， 所以s:=bsnC×9x9=,所以△BC的最小值为45.(15分】 3 2 3 2 17.(1)证明：PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,.PA⊥AB, AB⊥AD,ADPA=A,AD,PAC平面PAD, ∴AB⊥平面PAD,ABC平面PAB,.平面PAB⊥平面PAD.《5分》 (2)（i)证明：由题意，AB,AD,AP两两垂直，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系A-xz,则B(N2,0,0), C(W2,2,0),D0,V3+1,0,P0,0,V2), 设球心Ox,y,）,半径R, (OP=R Vx+y+(-12):=R x=0 则OB=R OC=R’ 即V-2+y产+子=R Vx-V2)2+y-2)2+2=R 解得少1 z=0 OD=R Vx2+0y-3-1)2+2=R ↑zR=V3 P .O0,1,0),∴.O∈平面ABCD.《10分) (i)由(i)得AC=(2,20),P0=(0,1,-√2)， A D y B 设直线AC与直线PO所成角为0， cos-cOs<AC.POAC.PO] 2 ACI POI 6xV5= 3 ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为.《15分) 18.(1)因为A,B分别为椭圆C:千+少2=1的右顶点和上顶点， 则A,,B坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A,B的方程为：x+2y=2, 则除点O到百线4的苑离为d行后，则国C的y位，日后· 故圆C,的标准方程为x+y严=号，《5分】 (2)(i)可设切线1：y=+bk≠0)，Pk,),Mx2,2), 将直线PM方程代入椭圆C可得（号+k)x+2bx+b-1=0, x+x,=+k2 -2kb 由韦达定理得： 4 则y=(+b),+b)=kxx+b(+)+b2= -+子B2 1+k2 4 又1与圆C,相切，可知原点0到1的距离d=b1 +F万 ，整理得=子-1， 则y=b,所以OP.OM=x+5=0,故OP1OM.(1分) 子+积 (ii)由OPLOM知Sw=1OPOM, ①当直线oP的斜率不存在时，显然OPL,OM2,此时P+O=子： ②当直线OP的斜率存在时，设OP:y=kx代入椭圆方程可得千+x=1,则 1+按放or=r+产=+e-0+2,同理O +(门 40+D 1+4k2 1+4房 k2+4 则亦+动瓷+。 综上可知：oP+o7子为定值.(17分) 19.(1)由f)=simx-ac+),得f'()=cosx-a +1 由题意f'(0)=1-a=0,得a=1;(3分】 (2)由f6)=sinx-a6+1(0<x<D,得f6)=cosx- x+1 设8)=cosx-10≤x≤)，则g=1 x+1 (x+1)2 -sinx, 则g'(田在[0，刂单调递减，g0)=1>0,g'(1)=-sin1<0, 所以存在唯一零点x。∈(0,1)，使得g(x)=0, 得f'(x)在(0，x)单调递增，在(x。，1)单调递减， 义f0=方+cow1方+co管=0.f0=0 所以"'(x)>0在(0,1)上恒成立，所以f(x)在[0，]上单调递增， 所以fx)mn=fO)=0,即f(x)的最小值为0.(10分】 (3)因为emx-lx+x2-bx-1>0(b∈Z对x∈(0,1恒成立， 令x=l,则em1>b,由（2)知sinl>h2,所以2=em2<eim1<e<3. 因为b∈Z,所以b<2. 下面证明当b=2时，h()=emx-lr+x2-2x-1>0对x∈(0,1]恒成立. 由(2)知sinx>1n(x+1),则emx>x+11, 于是h(x)>x+1+x2-2x-1-lx=x2-x-l, 设G(=x-x-hx,x∈0,1，则GW)=2x-1-1_2x+1-D≤0， 所以Gx)在(0,1上单调递减，所以G(x)≥G(1)=0, 所以(x)>0在(0，]上恒成立，b=2满足题意. 综上所述，整数b的最大值为2.(17分》