13.1.3 反证法 教学设计2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦反证法核心内容，通过王戎识李的历史情境导入，以勾股定理逆定理的补充证明为载体，承接直接证明方法，构建间接证明的逻辑框架，为后续几何与代数推理奠定基础。 资料以“问题情境—探究—总结—应用”为主线，贴合初中生认知规律，通过勾股定理逆定理反面证明抽象反证法步骤，体现推理意识与抽象能力。例题覆盖几何（两直线相交交点）、代数（偶数命题），练习分层设计，助学生提升逻辑推理与逆向思维，为教师提供规范教学路径，强化证明严谨性。

第十三章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.3 反证法   一、教材分析 反证法是华师大版八年级数学上册“勾股定理及其逆定理”单元的第3课时，是间接证明的核心方法，承接直接证明（如综合法、分析法），为后续几何证明、代数推理提供新的逻辑工具.本节课以勾股定理逆定理的补充证明为载体，渗透“正难则反”的思维策略，既是对勾股定理相关知识的巩固，也是对初中数学推理体系的完善，对培养学生逻辑思维的严谨性和灵活性具有重要意义. 教材以“问题情境—思考探究—归纳总结—应用巩固”为线索，通过勾股定理逆定理的辅助证明，逐步抽象出反证法的步骤.编排注重“从具体到抽象”，贴合初中生的认知规律，同时强调反证法与直接证明的对比，突出其“正难则反”的优势.   二、教学目标 1.掌握反证法的基本定义、核心步骤，理解“否定结论→推出矛盾→肯定原结论”的逻辑框架； 2.能运用反证法证明与勾股定理相关的简单命题(如直角三角形判定补充)； 3.提升逻辑推理和逆向思维能力，学会从反面分析问题； 4.体会反证法的数学价值，培养严谨的推理习惯和科学素养.   三、教学重难点 重点：反证法的内容和证明步骤． 难点：利用反证法进行证明.   四、教学过程 · 情景导入 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 设计意图：以历史情境激发好奇心，引出本节课要学习的证明方法，提高学生的学习兴趣，为后面反证法的应用作铺垫. · 探究新知 活动：反证法 如图，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系a²+b²=c²时，这个三角形一定是直角三角形吗？ 预设答案：由a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a²+b²≠c²，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 做一做：作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a=1.0，b=2.4，c=2.6；(2)a=2，b=3，c=4；(3) a=2，b=2.5，c=3. 我们可以发现，第一组恰好满足a²+b²=c²，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 思考：由此，可以得到什么样的猜想呢？ 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a²+b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 分析：想从已知条件a²+b²≠c²(a≤b≤c)出发，直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a²+b²=c²，与已知条件a²+b²≠c²矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 设计意图：以学生熟悉的勾股定理及其逆定理知识为载体，降低间接证明的认知门槛，避免因陌生情境加剧畏难情绪.紧扣本单元“勾股定理及其逆定理”的主题，实现知识的前后呼应，让学生感知反证法在单元知识中的具体应用. 总结：反证法：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做“反证法”. 步骤：(1)假设结论的反面是正确的，(2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；(3)说明假设不成立，进而得出原结论正确. 读一读：反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.在数与代数中关于“不是有理数”的证明所采用的正是反证法.今后还会多次用到这个有效的方法. 思考：现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a²+b²=c²”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那a²+b²≠c²是真命题吗？ 分析：先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程. 假设a²+b²=c²，推理矛盾：∠C≠90°是否成立？ 解：假设a²+b²=c²，则有∠C=90°， 这与条件∠C≠90°矛盾，所以假设不成立， 可知结论a²+b²≠c²成立. · 应用新知 教材例题 例1：求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线与. 求证：与只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线与”出发，经过推理，得出结论“与只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线与不止一个交点，不妨假设与有两个交点A和B，这样过点A和点B就有两条直线和. 这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 例2：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 经典例题 例3：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． 证明：假设∠DAB是钝角或直角. ∵AB=AC，AD是底边BC上的高，∴∠BAC=2∠DAB. ∵∠DAB是钝角或直角， ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理. ∴假设不成立. ∴∠DAB是一个锐角. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：例题覆盖代数、几何两类场景，拓宽学生对反证法适用范围的认知，避免局限于三角形相关问题. 通过教师示范，规范解题格式，明确“推谬需紧扣已知条件、公理或定理”，强化逻辑思维的严谨性.针对不同例题的矛盾类型（如与有理数定义矛盾、与平行公理矛盾）进行标注，帮助学生总结找矛盾的常用切入点. 方法总结：准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式. · 课堂练习 【教材练习】 1. 求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等. 已知：在△ABC中，AB≠AC. 求证：∠C≠∠B. 证明：假设∠C=∠B，由“等角对等边”可知AB=AC，这与已知“AB≠AC”矛盾，所以假设不成立，即∠C≠∠B. 2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2. 求证：AB不平行于CD. 证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD. 3.求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数. 已知：整数m的平方是一个偶数. 求证：m为偶数. 证明：假设整数m是奇数，那么m可写成2n+1(n为整数)， 则m²=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1， 无论n取何值，2(2n²+2n)+1都是奇数. 这与已知“m的平方是偶数”矛盾. 所以假设不成立，所以m为偶数. 【自选练习】 4. 用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零，即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数，所以a+b≤0. 这与已知条件a+b＞0矛盾，所以假设不成立， 所以a、b中至少有一个大于零. 5.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：假设__________________. 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴________=180°−∠ACB. ∵∠ACD+______=180°，∴∠ACD=180°−______. ∴∠ACD=_______.∴与假设相矛盾.∴假设不成立. ∴原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B. 答案：∠ACD≠∠A+∠B ∠A+∠B ∠ACB ∠ACB ∠A+∠B 6. 求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°. 证明：假设原命题不成立，则∠A＞45°，∠B＞45°. ∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C＞180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾， ∴假设不成立. ∴∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握反证法的内容和证明步骤，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.反证法的内容是什么？ 3.反证法的步骤是什么？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力.同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $