精品解析：陕西省商洛市镇安县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

镇安县2024~2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 能使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到的直线解析式为（　　） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛，在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩的方差是，乙的成绩的方差是．根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5. 如图，生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得到多媒体屏幕的长是12拃，宽是3.5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（ ）（1拃） A. B. C. D. 6. 已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 如图1的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为3，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知一次函数，如下表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） … -1.5 0 1 2 … … 6 3 1 0 -1 … A. 随的增大而增大 B. 与轴的交点是 C. 关于的方程的解是 D. 图象与轴的交点是 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 计算的结果是_______________． 10. 若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 11. 数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是______． 12. 已知点，在直线（m为常数）上，当时，有，则m的值可以是________．（写出一个即可） 13. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 在中，，，，求的度数． 16. 王刚同学本学期的数学测试成绩如表： 测试类别 平时 期中 期末 得分（分） 85 90 95 如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1：2：2计算得出总成绩，总成绩大于90分为优秀，则本学期王刚的数学总成绩是否为优秀？ 17. 已知正比例函数． （1）若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； （2）若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 18. 如图，已知，请使用尺规作图法在边上找一点D，在边下方找一点E，连接，，，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 20. 海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 21. 研学实践：某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学，该示范点全力打造休闲农业和乡村旅游业务．如图，在点处原有游客饮水点一个，近期计划在点处新建一个游客饮水点．需在原有供水管道的基础上新建供水管道，点在上，因障碍物阻挡，之间的距离不能直接测得，现将测量长的任务交于参观游学的学生完成． 数据采集：小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据．在直线上选取一点，且． 数据应用：请根据以上数据，求的长． 22. 中国茶文化博大精深，镇安象园茶以其“色绿、香高、味醇、形美”之特点，受到省内外品茗专家的一致赞誉．泡茶时，水温很有讲究．为了冲泡出来的茶口感更佳，薇薇同学在煮茶时，发现水温T（单位：）是时间t（单位：）的一次函数，已知当煮茶的时间为时，水温为，当煮茶的时间为时，水温为． （1）求T与t之间的函数关系式； （2）当水温达到时，求煮茶的时间． 23. 国务院新闻办公室5月13日公开发布中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．某校为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，组织全体学生参加了相关知识竞赛，现随机抽取了20名学生的成绩x（单位：分），分成四组：A：；B：；C：；D：，并得到以下信息： 信息一：所抽取学生竞赛成绩频数分布表 组别 成绩x（分） 频数（名） 组内平均成绩（分） A 3 83 B 6 87 C 7 93 D 4 98 信息二：C组的竞赛成绩分别是91，92，92，94，94，94，94． 信息三：所抽取学生竞赛成绩的众数在C组． 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取学生竞赛成绩的中位数是________分，众数是________分； （2）求所抽取学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校共有800名学生参加此次知识竞赛，成绩在范围内被评为“良好”，请你估计该校参加此次知识竞赛被评为“良好”的学生总人数． 24. 如图，地块的周长为，四边形为种植花卉区域，于点E，点F、G分别在边、上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若E是的中点，，，求种植花卉区域四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线（k，b为常数，且）与x轴、y轴分别交于点C、点D，且，直线与直线交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点F为线段EC上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇安县2024~2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 能使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答． 【详解】解：∵要使成立， ∴， 解得， 故选：A． 2. 将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到的直线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据函数解析式“上加下减，左加右减”的原则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得平移后的解析式为， 故选：C． 3. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，根据平行四边形对角相等求解，即可解题． 【详解】解：平行四边形中，， 则， 故选：B． 4. 某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛，在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩的方差是，乙的成绩的方差是．根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差越大波动越大，越不稳定，方差越小波动越小，越稳定直接判断即可的得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴乙波动大甲波动小，甲更稳定， 故选A； 【点睛】本题考查根据方差做决策，方差越大波动越大，越不稳定，方差越小波动越小越稳定． 5. 如图，生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得到多媒体屏幕的长是12拃，宽是3.5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（ ）（1拃） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可． 【详解】解：∵1拃， ∴多媒体屏幕的对角线长度， 故选：A． 6. 已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的几何应用，根据矩形周长公式，结合二次根式的减法运算法则得到另一条边的长，再根据矩形面积公式，结合二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵矩形的周长为，其中一边的长为， ∴矩形另一边的长为：， 则该矩形面积为：． 故选：D． 7. 如图1的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为3，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质与判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ，， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为3， ， 即， 解得或（舍去）， 故选：C． 8. 已知一次函数，如下表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） … -1.5 0 1 2 … … 6 3 1 0 -1 … A. 随的增大而增大 B. 与轴的交点是 C. 关于的方程的解是 D. 图象与轴的交点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与一次方程的关系，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 先求出一次函数的解析式，再根据的符号得出增减，可判断A；再求出与轴的交点，可判断B；根据当时，，可判断C；求出与轴的交点,可判断D． 【详解】解：一次函数， 则，解得：， 所以一次函数解析式为， 因为， 所以随的增大而减小，故A错误； 由表格可知，当时，， 所以与轴的交点是，故B错误； 因为当时，， 所以关于的方程的解是，故C正确； 由表格可知，当时，， 所以图象与轴的交点是，故D错误， 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 计算的结果是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的除法运算，熟记运算法则是解题的关键． 10. 若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 11. 数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是______． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数：出现次数最多的数称为数据的众数；根据众数的意义判断即可． 【详解】解：在这组数据中，37出现的次数最多，故众数为37； 故答案为：37． 12. 已知点，在直线（m为常数）上，当时，有，则m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握的取值与一次函数性质的关系是解题的关键． 由于时，有，可判断一次函数的随的增大而减小，故，解出该不等式，取满足条件的数即可． 【详解】解：∵时，有， ∴一次函数的随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案可为：（答案不唯一）． 13. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 在中，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 通过计算可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此即可求． 【详解】解：，，， ∴， ， 为直角三角形，且． 16. 王刚同学本学期的数学测试成绩如表： 测试类别 平时 期中 期末 得分（分） 85 90 95 如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1：2：2计算得出总成绩，总成绩大于90分为优秀，则本学期王刚的数学总成绩是否为优秀？ 【答案】本学期王刚的数学总成绩是优秀． 【解析】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出本学期王刚的数学总成绩是否为优秀． 【详解】解：本学期王刚的数学总成绩为（分）， ∵， ∴本学期王刚的数学总成绩是优秀． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 17. 已知正比例函数． （1）若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； （2）若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解正比例函数图象的性质，熟练掌握正比例函数的图象性质是解题的关键； （1）把点的坐标代入即可计算． （2）根据正比例函数图象的性质，得，解不等式即可求得k的取值范围； 【小问1详解】 解： 点在的图象上， ， 解得， 正比例函数的表达式为． 【小问2详解】 （2）的图象经过第二、四象限， ， ． 18. 如图，已知，请使用尺规作图法在边上找一点D，在边下方找一点E，连接，，，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，四边形即为所求（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、线段垂直平分线的尺规作图、作线段，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先作的线段垂直平分线，交于点，交于点，再在射线上，截取，然后连接，，，由此即可得． 【详解】略 19. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO． ∵AO=CO， ∠AOB=∠COD， ∴△ABO≌△CDO． ∴AB=CD， 又∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】 【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证． 【详解】略 【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 20. 海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 21. 研学实践：某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学，该示范点全力打造休闲农业和乡村旅游业务．如图，在点处原有游客饮水点一个，近期计划在点处新建一个游客饮水点．需在原有供水管道的基础上新建供水管道，点在上，因障碍物阻挡，之间的距离不能直接测得，现将测量长的任务交于参观游学的学生完成． 数据采集：小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据．在直线上选取一点，且． 数据应用：请根据以上数据，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 故． 22. 中国茶文化博大精深，镇安象园茶以其“色绿、香高、味醇、形美”之特点，受到省内外品茗专家的一致赞誉．泡茶时，水温很有讲究．为了冲泡出来的茶口感更佳，薇薇同学在煮茶时，发现水温T（单位：）是时间t（单位：）的一次函数，已知当煮茶的时间为时，水温为，当煮茶的时间为时，水温为． （1）求T与t之间的函数关系式； （2）当水温达到时，求煮茶的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设水温T与时间t的函数关系式为，再把数值代入计算，即可作答． （2）理解题意，把代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设水温T与时间t的函数关系式为， 当时，，当时，， 解得 ∴T与t之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得T与t之间的函数关系式为． 依题意，把代入得：， 解得：， ∴当水温达到时，煮茶时间是． 23. 国务院新闻办公室5月13日公开发布中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．某校为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，组织全体学生参加了相关知识竞赛，现随机抽取了20名学生的成绩x（单位：分），分成四组：A：；B：；C：；D：，并得到以下信息： 信息一：所抽取学生竞赛成绩频数分布表 组别 成绩x（分） 频数（名） 组内平均成绩（分） A 3 83 B 6 87 C 7 93 D 4 98 信息二：C组的竞赛成绩分别是91，92，92，94，94，94，94． 信息三：所抽取学生竞赛成绩的众数在C组． 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取学生竞赛成绩的中位数是________分，众数是________分； （2）求所抽取学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校共有800名学生参加此次知识竞赛，成绩在范围内被评为“良好”，请你估计该校参加此次知识竞赛被评为“良好”的学生总人数． 【答案】（1）；94 （2）分 （3）520名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，众数、中位数、平均数，掌握频率=频数÷总数，中位数、众数、平均数的计算方法，理解样本估计总体是正确解答的关键． （1）根据中位数的定义即可求出中位数，根据所抽取学生竞赛成绩的众数在组可知C组的众数即为抽取学生竞赛成绩的众数； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）根据运用学校总学生数乘以样本中“良好”的学生所占比计算即可． 【小问1详解】 解：按从小到大顺序排列后第10和第11个数据即为C组的第1和第2个数据，也就是91和92； ∴所抽取学生竞赛成绩的中位数是：(分)， ∵所抽取学生竞赛成绩的众数在组，C组中数量最多的是94， ∴众数是94分， 故答案是：；； 【小问2详解】 (分)， ∴所抽取学生竞赛成绩的平均数为分． 【小问3详解】 (名)， ∴估计该校参加此次知识竞赛被评为“良好”的学生总人数为520名． 24. 如图，地块的周长为，四边形为种植花卉区域，于点E，点F、G分别在边、上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若E是的中点，，，求种植花卉区域四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴，， ，，， ， ∵， 四边形是平行四边形． ∵于点E， ， 四边形是矩形； （2）种植花卉区域四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质； （1）先证明，结合，可得四边形是平行四边形．再证明，从而可得结论； （2）先求解，再利用勾股定理求得，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：地块的周长为，， ， ． ，是的中点， ． 在中，， 由勾股定理，得， ， 种植花卉区域四边形的面积为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线（k，b为常数，且）与x轴、y轴分别交于点C、点D，且，直线与直线交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点F为线段EC上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积． 【答案】（1） （2），面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． （1）求出点B、C、E的坐标，然后运用待定系数法求出解析式即可， （2）设，则，，可得，然后再根据，得到，再列方程求得a，进而求得及其上的高，最后根据三角形的面积公式解答即可解答； 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点． 当时，，解得， ， ∵直线与轴和轴分别交于点、点， ∴令，则，令，则， ，， ， ， ， ∵点在轴的负半轴上， ， 把，代入中得： 解得 ∴直线的函数解析式． 【小问2详解】 解：如图 ∵点为线段上一个动点，过点作轴于点，交直线于点， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 边上的高为：， 面积． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）略 （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $