5.3一元一次方程的应用 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版七年级 数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的“盈余不足”问题应用，以《九章算术》古题导入，连接古代数学文化与现代方程解法，通过表格梳理数量关系搭建学习支架，帮助学生从方程概念过渡到实际问题解决。 其亮点在于融合数学文化与核心素养，古题导入培养数学眼光，表格分析与两种设元方法发展数学思维，对比《九章算术》算法与方程解法强化模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 七年级上册数学（北师版） 第2课时 “盈余不足”问题 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 教学目标 1. 借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。 2. 领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的方法。 重点：利用方程解决“盈余不足”问题。 难点：根据题意建立等量关系,列出方程。 导入新课 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 你知道我国古人是如何解决这个 问题的吗？ 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 探究新知 “盈不足”问题 1 “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 合作探究 （2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x - 3 x 7x 7x + 4 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 知识总结 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，人数为 ，物价为 。 7 7 53 8x - 3 = 7x + 4 知识总结 如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 解得 y = 53。 你比较喜欢用哪种方式列方程呢？ 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？ 典例精析 分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？ 有关量 每人出400 钱 每人出300 钱 人数 x 出钱总数 物价 400x 400x - 3400 x 300x 300x - 100 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程： 方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 400x - 3400 = 300x - 100。 解这个方程，得 x = 33。 300×33 - 100 = 9800。 因此，人数为 33，金价为 9800 钱。 思考交流 （1）对于例 1，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？ 解得 y = 9800。 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 （2）《九章算术》给出了一种算法： 人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数， 或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 解方程→顺向思考 算式方法→逆向思考 练一练 1. (盐城·期末)《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。问绳长、井深各几何? ”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为 ( ) A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1 C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x + 1) D 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 2.(广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？ 解：设学生有 x人． 根据题意，得 8x－3＝7x＋4. 解得 x＝7. 7×8－3＝53(元)． 答：学生有 7 人，该书单价是 53 元． 当堂小结 实际问题 盈亏不足问题 盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量 亏时 方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是（　　） A．9x + 11 = 6x - 16 B．9x - 11 = 6x + 16 C．6x - 11 = 9x + 16 D．6x + 11 = 9x - 16 课堂练习 B 2. 牛奶是家家户户早餐的选择，现某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每个送奶员配送 10 瓶，还剩 6 瓶；若每个送奶员配送 12 瓶，还差 6 瓶。设该奶站现有送奶员 x 人，根据题意列方程为（　　） A．10x + 6 = 12x - 6 B．10x - 6 = 12x + 6 C．10 + 6x = 12 - 6x D．10 - 6x = 12 + 6x　 A 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 3. 在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车。若每 3 人乘一辆车，则余 2 辆空车；若每 2 人乘一辆车。则余 9 人需步行，问共有多少辆车，多少人？ 某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程： （1）设共有 x 辆车； （2）由“若每 3 人乘一辆车，则余 2 辆空车”，可得人数为 （用含 x 的式子表示）； （3）由“若每 2 人乘一辆车，则余 9 人需步行”可得人数为 （用含 x 的式子表示）； （4）根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 。 3(x - 2) 2x + 9 3(x - 2) = 2x + 9 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 （5）写出解方程的过程。 3(x - 2) = 2x + 9。 去括号，得 3x - 6 = 2x + 9。 移项，得 3x - 2x = 9 + 6。 合并同类项，得 x = 15。 $