1.5 角平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“角平分线”主题，系统涵盖性质定理、判定定理及三角形内角平分线性质。通过“探究1”“探究2”引导学生从已有全等知识出发，先证明性质定理，再通过逆命题推导判定定理，结合已知求证、符号语言等支架构建逻辑脉络。 其亮点在于采用探究式教学，如折纸观察三角形角平分线交点培养几何直观，例题（如救助站选址）强化应用意识。通过推理证明发展学生推理能力，符号语言表达提升数学语言素养，助力学生形成逻辑思维，也为教师提供完整的教学活动设计与测评资源。

第一章 三角形的证明 5　角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 【探究1】　角平分线的性质定理的证明 探究与应用 我们曾经探索过角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:教师引导学生画出图形,写出已知、求证,并让学生小组合作交流证明的方法. 【探究1】 角平分线的性质定理的证明 探究与应用 【概括新知】 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言表示: ∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 说明:应用角平分线的性质定理必须具备的条件:两垂直,一平分. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 【尝试·思考】 你能写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?请你证明自己结论的正确性. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE, ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL), ∴∠1=∠2, ∴OP平分∠AOB. 已知:如图,在∠AOB的内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:让学生确定角平分线的性质定理的条件和结论,然后再说出它的逆命题,并猜想命题的真假. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 【概括新知】 角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 用符号语言表示: ∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴点P在∠AOB的平分线上. 说明:应用角平分线的判定定理必须具备的条件:两垂直,一相等. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 例　(教材例1)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长. 解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10, ∴DE=AD=×10=5. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:指导学生分析例题的解题思路,并尝试说一说自己的想法,然后指名板演过程,其他同学生独立完成后集体讲评,并进行必要的指导. 【拓展提升】 探究与应用 如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE与BD相交于点C. 求证:AC=BC.  解：∵∠1=∠2，CE⊥OB于E，CD⊥OA于D， ∴CD=CE．∠CDA=∠CEB=90°， 在△ACD和△BCE中， ∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCA=∠ECB（对顶角相等）， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AC=BC． 达标测评 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是 (　　) A.mn　　　B.mn　　　C.2mn　　　D.mn B 课堂小结与检测 达标测评 2.某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力,拟在两条景观道OM,ON之间(即∠MON内部)的开阔地修建一所红十字救助站P,使其到景观道OM,ON的距离相等,同时到A,B两个休息亭的距离也相等,试确定救助站P的位置. 课堂小结与检测 解：由题知，点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上． 达标测评 3.如图 ,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC. 课堂小结与检测 解：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°． 在△BDF和△CDE中，, ∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF=DE． ∴点D在∠BAC的平分线上． ∴AD平分∠BAC． 第一章 三角形的证明 5　角平分线 第2课时　角平分线的应用 思考： (1)角平分线的性质. (2)角平分线的性质定理的逆定理. (3)作三角形的三个内角的平分线,你发现了什么? 知识关联 解 ：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （2）在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. （3）三角形的三个内角的平分线交于一点。 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过对问题的思考,一方面锻炼学生动手操作的好习惯,另一方面让学生感悟结论的真实性,从而引出新课. 【探究1】　角的平分线应用 探究与应用 例1　(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. (1)解:∵AD是△ABC的角平线,DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°, ∴∠B=×90°=45°. ∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中,BD==4 cm(勾股定理). ∴AC=BC=CD+BD=(4+4) cm 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:引导学生分析题目中的已知条件,让学生思考本题中需要用到哪些新学的知识,说一说解题思路和方法,并与其他同学一起分享. 【探究1】　角的平分线应用 探究与应用 例1　(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 解(2)证明:由(1)的求解过程易知Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 【探究2】 三角形的内角平分线的性质 探究与应用 每人都准备一张三角形的纸片,如图,让学生分别折出三个角的平分线, 然后观察三条角平分线有什么特点. 结论： 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生先独立折叠三角形纸片,然后在小组内观察、交流、总结,教师让学生折叠锐角三角形纸片、直角三角形纸片、钝角三角形纸片,分别展示自己的成果,再集体观察、总结. 【探究2】 三角形的内角平分线的性质 探究与应用 例2　(教材例3)已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P。 求证:∠A的平分线经过点P. 证明:如图.过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线 ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理,PE=PF, ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上), 即∠A的平分线经过点P. 要证明∠A的平分线经过点P,需要什么条件? E D F 韵 (authorId_273335559) - 说明：引导学生发现,要证明∠A的平分线经过点P,只需要知道点P到∠A的两边的距离相等即可. 【探究2】 三角形的内角平分线的性质 探究与应用 【概括新知】 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 【探究2】 三角形的内角平分线的性质 探究与应用 【应用】 如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,问超市应建在何处(使用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹). 解:如图所示,超市应建在∠A和∠B的 角平分线的交点O处. 韵 (authorId_273335559) - 分析:根据尺规作一个角的平分线的方法,作出∠BAC、∠ABC的平分线,两条角平分线的交点即为超市的位置. 【拓展提升】 探究与应用 1.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 D 【拓展提升】 探究与应用 2.如图,在△ABC中,O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过点O作与BC平行的直线分别交AB,AC于点D,E.已知△ABC的周长为15,BC的长为6,求△ADE的周长. 解：连结CO， ∵点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点， ∴∠ABO=∠OBC，CO平分∠ACB。 ∵DE∥BC，∴∠OBC=∠BOD， ∴∠ABO=∠BOD，∴DB=DO，同理可得EO=CE， ∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC， ∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC=15，而BC的长为6， ∴AB+AC=9，∴△ADE的周长为9． 达标测评 1.到三角形三边距离相等的点是 (　　) A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.不能确定 2.如图1,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置: ①在∠B的平分线上; ②在∠DAC的平分线上; ③在∠ECA的平分线上; ④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点.上述结论中正确的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 课堂小结与检测 D 达标测评 3.如图,已知AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F, 且DB=DC,请你探究BE与CF存在怎样的关系,并写出你的探究过程. 课堂小结与检测 解：BE=CF，理由如下： ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中，， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF． $