1.3 直角三角形 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形，涵盖性质与判定、勾股定理及逆定理、互逆命题、HL全等判定等核心知识，通过“思考-探究-证明”环节导入，从锐角关系到定理推导，构建递进式知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过尺规作图（如作直角三角形）培养几何直观，逻辑证明（如勾股定理推导）发展推理能力，实例应用（梯子倾斜角问题）提升数学表达。学生能强化逻辑与应用能力，教师可依托清晰流程和丰富例题优化教学。

第一章 三角形的证明 3　直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理 探究与应用 思考： 问题1:直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么? 问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗? 你能证明这两个结论吗? 结论: 1.直角三角形的两个锐角互余; 2.如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生分小组讨论,各抒己见.教师及时引导并展示,进行有针对性的讲评,有问题时共同修正. 【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理 探究与应用 证明定理:直角三角形的两个锐角互余. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°, ∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°. 韵 (authorId_273335559) - 【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理 探究与应用 证明定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。 已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°, ∵∠A+∠B=90°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°, ∴△ABC是直角三角形. 【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理 探究与应用 【概括新知】 定理:直角三角形的两个锐角互余. 定理: 有两个角互余的三角形是直角三角形. 【探究2】勾股定理及其逆定理的证明 探究与应用 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 怎样证明这一结论呢？ 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证:a2+b2=c2. 证明:延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c, 连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED. ∴∠BDE=90°,ED=a.从而四边形ACDE是直角梯形. ∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)2. 由全等可得∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°, 且AB=BE,∴S△ABE=c2. ∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, ∴(a+b)2=c2+ab+ab,即a2+ab+b2=c2+ab, ∴a2+b2=c2. 韵 (authorId_273335559) - 说明：我们曾经利用数方格和割补的方法得到勾股定理.实际上,利用基本事实和已有定理,我们能够证明勾股定理. 【探究2】勾股定理及其逆定理的证明 探究与应用 【尝试·交流】 在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗?与同伴进行交流. 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:让学生写出已知、求证,在小组内充分的思考与讨论,教师进行适当的引导,然后学生完成后,教师指名回答,并进行讲评. 【探究2】勾股定理及其逆定理的证明 探究与应用 已知:如图:在△ABC中,AB2+AC2=BC2. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:作Rt△A'B'C'(如图),使∠A'=90°, A'B'=AB,A'C'=AC, 则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理). ∵AB2+AC2=BC2, ∴BC2=B'C'2, ∴BC=B'C', ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS), ∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等). 因此,△ABC是直角三角形. 韵 (authorId_273335559) - 分析:要证明△ABC是直角三角形,一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系,由此你能想到什么?借助边的关系,你能构造一个直角三角形,使它与△ABC全等吗? 【探究3】互逆命题和互逆定理 探究与应用 【观察交流】 (1)观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系? 第三个定理和第四个定理呢?与同伴进行交流. (2)观察下面三组命题:   如果两个角是对顶角,那么它们相等. 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果a=b,那么a2=b2. 如果a2=b2,那么a=b. 一个三角形中相等的边所对的角相等. 一个三角形中相等的角所对的边相等. 解：问题(1)中的两个定理,其中一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件; 问题(2)中的三个命题也有类似的关系. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 与同伴进行交流. 【探究3】互逆命题和互逆定理 探究与应用 【概括新知】 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个命题称为原命题.那么,另一个命题就称为它的逆命题. 【探究3】互逆命题和互逆定理 探究与应用 【尝试·思考】 你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?   答：如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等,这个命题是假命题. 如:52=25,(-5)2=25,5和-5的平方相等,但5和-5不相等. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生说出该命题的逆命题,并判断其真假,如果是假命题,让学生举反例进行说明. 【探究3】互逆命题和互逆定理 探究与应用 【概括新知】 原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理, 其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 【探究3】互逆命题和互逆定理 探究与应用 【应用】 说出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假: (1)如果a=0,那么ab=0; (2)周长相等的三角形的面积相等; (3)如果两个数都是正数,那么这两个数的差是正数. 解:(1)逆命题是“如果ab=0,,则a=0”, 原命题是真命题,逆命题为假命题; (2)逆命题是“面积相等的三角形周长相等”, 原命题和逆命题都是假命题; (3)逆命题是“两个数的差是正数,则这两个数都是正数”, 原命题和逆命题都是假命题. 韵 (authorId_273335559) - 说明：让学生先交换每个命题的条件和结论,写出逆命题,再判断原命题,逆命题的真假. 【拓展提升】 1.如图1,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC,BC为边向外作等 边三角形,面积分别记为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值等于　　　　 .  图1 图2 2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD 沿BD折叠,使点C落在AB边上的点C'处,那么△ADC'的面积是 . 探究与应用 8 6cm2 达标测评 1.下列命题中,其逆命题成立的是　　 　　.(只填写序号)  ①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 2.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 　.  ①④ 两锐角互余的三角形是直角三角形 课堂小结与检测 达标测评 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab=　　　　.  4.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm, 则CD=　 　.  课堂小结与检测 10 达标测评 5.如图,在△ABC中,已知AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm. 求证:AB=AC. 课堂小结与检测 证明：∵AD是中线， ∴BD=BC=5． ∵AB=13，AD=12，52+122=132，即BD2+AD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC， 又∵BD=CD， ∴AC=AB=13． 第一章 三角形的证明 3　直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 问题: 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗? 知识关联 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 如果其中一组等边的对角都是直角呢? 【探究】HL定理 探究与应用 【尝试·交流】 已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢? (1)假设满足条件的直角三角形已经作出,你能画出这个直角三角形的草图吗? (2)你是按照怎样的步骤画这个草图的?先画一画,再用尺规试一试,并与同伴进行交流. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:教师让学生动手操作,并在小组内进行交流,然后指名说一说作图的方法,并进行讲评. 【探究】HL定理 探究与应用 如图,已知线段a,c(a<c),用尺规作Rt△ABC,使∠C=90°,AB=c,BC=a. 由此你是否发现判定直角三角形全等的一种方法? 1.作射线CN. 2.过点C作射线CN的垂线CM. 3.在射线CM上截取CB=a. 4.以点B为圆心,以线段c的长为半径作弧,交射线CN于点A. 5.连接AB. △ABC就是所要作的直角三角形. 韵 (authorId_273335559) - 说明:教师给出步骤,引导学生按照步骤进行画图,小组完成后,让学生比较作出的三角形是否全等. 【探究】HL定理 探究与应用 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 你能写出已知、求证和证明过程吗？ 证明:在△ABC中,∵∠C=90°, ∴BC2=AB2-AC2(勾股定理). 同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2. ∵AB=A'B',AC=A'C', ∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AB=A'B'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：本环节通过对(HL)定理的证明,体会文字、图形、符号的转换方法以及把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言的重要性,发展了学生的推理能力和有条理的表达能力,在这一过程中进一步感受证明的重要性. 【探究】HL定理 探究与应用 【概括新知】 定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边” 或 “HL” 符号表示: 如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°, ∵AC=A'C',AB=A'B'(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 探究与应用 【应用】 例　如图,有两个长度相等的梯子,左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的 长度DF相等,两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系? 解:根据题意,可知 ∠BAC=∠EDF=90°, BC=EF,AC=DF, ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL). ∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等). ∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余). ∴∠CBA+∠EFD=90°. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生阅读例题,明确已知条件和解题思路后,指名板演过程,其他同学生独立完成,并在小组内进行交流,教师规范步骤. 【拓展提升】 如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD.求证:EB=ED. 探究与应用 证明：在Rt△ADC和Rt△ABC中， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴∠DCE=∠BCE，DC=BC， ∴在△DCE和△BCE中，, ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴EB=ED 达标测评 1.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (　　) A.HL　 　　B.AAS　 　　C.SSS　　　D.ASA 2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 (　　) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 3.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2; ②BE=CF;③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是　　　 　 . (将你认为正确的结论序号都填上)  A ①②③ 课堂小结与检测 D 达标测评 4.如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有 BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC. 课堂小结与检测 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠BDF=90°， ∵BF=AC，FD=CD， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）， ∴∠C=∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD=90°， ∴∠C+∠DBF=90°， ∵∠C+∠DBF+∠BEC=180° ∴∠BEC=90°，即BE⊥AC． $