1.2 等腰三角形 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形与等边三角形的性质、判定及反证法，含30°角直角三角形性质。通过折纸实验、生活实例导入，从性质证明到判定推导，再到特殊化应用，构建知识支架。 其亮点在于以实验探究培养数学眼光，如折纸得等腰三角形；多方法证明发展推理意识，如“等边对等角”的SSS、SAS证法；生活应用强化数学语言，如交通安全标志实例。助力学生提升探究与逻辑思维，教师可高效实施教学。

第一章 三角形的证明 2　等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质的证明 问题: 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特征?等腰三角形都有哪些性质? 知识关联 等腰三角形有下面的性质 性质1 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”); 性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过简单的等腰三角形问题,回顾旧知的同时,为新知识的学习做好铺垫,使学生感受到知识的连续性和延展性. 【探究1】等腰三角形的性质的证明 探究与应用 已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 分析:有哪些结论可以证明两个角相等? 还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗? 这对你有什么启发? 方法1:如图,取BC的中点D,连接AD,构造三角形全等(SSS) 证明:取BC的中点D,连接AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 韵 (authorId_273335559) - 说明：引导学生回顾折纸的方法,并利用等腰三角形纸片帮助学生回忆,并在小组内讨论交流,然后分享证明的思路和方法. 【探究1】等腰三角形的性质的证明 探究与应用 已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 方法2:如图,作∠BAC的平分线,交BC边于点D,构造三角形全等(SAS). 证明:作∠BAC的平分线,交BC边于点D. ∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 【探究1】等腰三角形的性质的证明 探究与应用 【思考·交流】 由“等边对等角”定理的证明过程,你发现线段AD还有哪些特征?为什么?与同伴进行交流. 解：由△ABD≌△ACD可知线段AD既是∠BAC的平分线,也是底边BC的中线和高线. 【探究1】等腰三角形的性质的证明 探究与应用 【概括新知】 定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 等腰三角形的“三线合一”(如图): AB=AC, BD=CD ∠1=∠2, AD⊥CB AB=AC, ∠1=∠2 BD=DC, AD⊥CB AB=AC, ∠1=∠2 AD⊥CB, BD=DC 【探究1】等腰三角形的性质的证明 探究与应用 【应用】 例1　已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,求∠A和∠C的度数. 解:设∠A=x. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵AD=BD=BC,∴∠A=∠ABD=x、∠BDC=∠C. 又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠C=∠ABC=∠BDC=2x. 在△ABC中,∵∠A+∠ABC+∠C=180°. ∴5x=180°,∴x=36°. ∴∠A=x=36°,∠C=2x=72°. 韵 (authorId_273335559) - 点拨：可采用设未知数列方程的办法来解决问题. 【探究2】等边三角形的性质的证明 探究与应用 【尝试·交流】 等边三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些特殊的性质呢?请尝试证明你发现的结论,并与同伴进行交流. 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 【探究2】等边三角形的性质的证明 探究与应用 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角). ∵AC=BC,∴∠A=∠B(等边对等角). ∴∠A=∠B=∠C(等量代换). 在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理), ∴∠A=∠B=∠C=60°. 已知:如图,△ABC中,AB=BC=AC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°. 【概况新知】 定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°. 【探究2】等边三角形的性质的证明 探究与应用 【应用】 例2　如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,求∠BOC的度数. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=60°, ∵∠OCB=∠ABO, ∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°, ∴在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°. 【拓展提升】 已知:如图,分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边,在Rt△ABC外作两个等边三角形ACE和BCF,连接BE,AF. 求证:BE=AF. 探究与应用 证明：∵△ACE和△BCF是等边三角形， ∴∠ACE=∠FCB=60°，CE=AC，CF=CB， ∴∠ACF=∠ECB=60°+∠ACB． 在△CEB与△CAF中，， ∴△CEB≌△CAF（SAS）， ∴BE=AF． 达标测评 1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD= (　　) A.60° B.45° C.40° D.30° 2.如图2,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD上,∠ECD=20°,则∠ABE等于 (　　) A.10° B.20° C.30° D.40° 3.如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= .  B D 课堂小结与检测 图1 图2 图3 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：练习注意问题的梯度,由浅入深,一步步引导学生从不同的条件中逐步获取信息,发展学生思维,发展他们的数学应用能力. 达标测评 4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.试说明:∠CBE=∠BAC. 课堂小结与检测 解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC， ∴∠CAD+∠C=90°， ∵BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=90°， ∴∠CBE=∠CAD， ∴∠CBE=∠BAC（等量代换）． 第一章 三角形的证明 2　等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 问题: 前面我们已经证明了等腰三角形的两个底角相等,反过来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 课堂引入 【探究1】等腰三角形的判定 探究与应用 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形.如何证明这一结论呢? 你还有其他的证明方法吗？ 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 证明: 如图,作顶角的平分线AD,则∠1=∠2. 在△ABD和△ACD中, ∵∠B=∠C(已知), ∠1=∠2(已知), AD=AD(公共边), ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:教师引导学生分析:要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.教师组织学生进行讨论后,让小组代表在黑板上板演. 【探究1】等腰三角形的判定 探究与应用 已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明二: 如图,作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中, ∵∠ADB=∠ADC, ∠B=∠C(已知), AD=AD(公共边), ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 【探究1】等腰三角形的判定 探究与应用 【应用】 例1　已知:如图,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证:△AED是等腰三角形. 证明:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DAC(SSS). ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∴AE=DE(等角对等边). ∴△AED是等腰三角形. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:指导学生分析题目中的已知条件,明确可利用SSS定理证明△ABD≌△DAC,得出AE=DE,从而说明△AED是等腰三角形 【探究2】反证法 探究与应用 【尝试·思考】 小明认为,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗? 小明是这样想的: 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B,这与已知条件是∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗? 【探究2】反证法 探究与应用 【概括新知】 在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法. “反证法”的一般步骤: (1)假设:假设结论的反面正确; (2)归谬:从假设出发,通过推理得出矛盾; (3)结论:说明假设不成立,从而得到原命题的结论正确. 【探究2】反证法 探究与应用 【应用】 例2　用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角. 证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角, 即∠A=90°,∠B=90° 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以,一个三角形中不能有两个角是直角. 已知:△ABC. 求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生结合反证法的步骤,在小组内讨论交流解题思路,然后独立完成,最后教师进行有针对性的讲评. 【拓展提升】 1.已知:如图,△ABC中,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于点M,MD=ME.求证:△ABC是等腰三角形. 探究与应用 证明：过点D作DF∥AC交BC于F． ∴∠DFB=∠ACB，∠FDM=∠E． 在△DMF和△EMC中，， ∴△DMF≌△EMC（ASA），∴DF=CE． ∵BD=CE，∴DF=BD，∴∠B=∠DFB， ∵∠DFB=∠ACB， ∴∠B=∠ACB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． F 【拓展提升】 2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角. 探究与应用 解：假设∠DAB是钝角或直角， ∵AB=AC，AD是底边BC上的高， ∴∠BAC=2∠DAB， ∵∠DAB是钝角或直角， ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴∠DAB是一个锐角． 达标测评 1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 2.用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°,应先假设这个三角形中 (　　) A.有一个内角小于60° B.每个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.每个内角都大于60° D B 课堂小结与检测 达标测评 3.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N.求证:MN=BM+CN. 课堂小结与检测 解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN， ∴BM=MO，ON=CN， ∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN． 第一章 三角形的证明 2　等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 欣赏几组图片: 同学们,这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志. (1)图中的三角形有什么特点? (2)等边三角形与等腰三角形有什么关系? (3)等边三角形有哪些特点? 知识关联 图中的三角形都是等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 各边相等，各内角都等于 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过生活中的图片引入等边三角形,在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣. 【探究1】等边三角形的判定方法 探究与应用 思考: 一个三角形满足什么条件时就是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 你能证明这两个结论吗? 结论: 1.三个角相等的三角形是等边三角形; 2.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 【探究1】等边三角形的判定方法 探究与应用 证明:三个角相等的三角形是等边三角形. 已知:如图,△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明: ∵∠B=∠C, ∴AC=AB. ∵∠A=∠C, ∴BC=AB, ∴AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生对前面的两个结论进行证明,并指名板书过程,然后教师有针对性的进行指导,规范步骤. 【探究1】等边三角形的判定方法 探究与应用 证明:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=60°. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠A=60°, ∴∠B=∠C==60°, ∴∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形. 【探究1】等边三角形的判定方法 探究与应用 【概括新知】 等边三角形的判定定理: 定理1:三个角相等的三角形是等边三角形. 定理2:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 名称 性质 判定 等边三角形    等边三角形三条边都相等 等边三角形三个角都是60° 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 韵 (authorId_273335559) - 说明：等边三角形的判定定理是本节课的重点.通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件,使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识.条件加在不同的位置也要分情况讨论,这样在探究过程中充分体现了分类的作用,这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用. 【探究1】等边三角形的判定方法 探究与应用 【应用】 例　如图,∠A=∠B,CE∥DA,∠ECB=60°,求证:△BCE是等边三角形. 证明:∵CE∥DA, ∴∠A=∠BEC, 又∵∠A=∠B, ∴∠B=∠BEC, ∵∠ECB=60°, ∴∠B=∠BEC=60°, ∴△BCE是等边三角形. 【探究2】含30°角的直角三角形的性质 探究与应用 【尝试·思考】 (1)用两个完全相同的含30°角的三角尺,你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? (2)在上述拼接过程中,你发现了什么结论?请证明你的结论. 解：（1）如图,两个完全相同的含30°角的三角尺可以拼成一个等边三角形. （2）由此可以发现:30°角的对边等于三角尺斜边的一半. 怎样证明这一结论呢？ 韵 (authorId_273335559) - 处理方式：引导学生说出在所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系, 【探究2】含30°角的直角三角形的性质 探究与应用 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°. 求证:BC=AB. 证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴∠B=60°. ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. 又∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等), ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). ∴BC=BD=AB. 【探究2】含30°角的直角三角形的性质 探究与应用 【概括新知】 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【探究2】含30°角的直角三角形的性质 探究与应用 【应用】 例　(教材例3)求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 证明:在△ABC中,∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角), ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高,∴∠ADC=90°. ∴CD=AC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半), ∴CD=AB. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高. 求证:CD=AC=AB. 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：在例题求解中巩固新知.老师纠正学生出现的问题,强调步骤的规范性 【拓展提升】 如图,△ABC是等边三角形,D,E,F分别是三边上的点,且AD=BE=CF,△DEF是等边三角形吗?说明理由. 探究与应用 解：结论：△DEF是等边三角形． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC， ∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF， 在△ADF和△BED中，， ∴△ADF≌△BED（SAS）， ∴DF=DE， 同理DE=EF，∴DE=DF=EF， ∴△DEF是等边三角形． 达标测评 1.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形; ③三个外角都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的有 (　　) A.①②③　　　B.①②④　　　C.①③　　　D.①②③④ 2.如图,某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少要　　　 　元.  3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的 高为　　 　 　.  D 150a 课堂小结与检测 达标测评 4.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BE⊥AC于点E,延长BC至点F,使CF=CE,连接FE. (1)求∠ABC的度数; (2)求证:BE=FE. 课堂小结与检测 解（1）解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°； （2）证明：∵CF=CE，∴∠F=∠CEF， ∵∠ACB=60°=∠F+∠CEF，∴∠F=30°， ∵BE⊥AC于点E，且△ABC是等边三角形， ∴∠EBC=30°， ∴∠F=∠EBC, ∴BE=EF． $