二次函数代数推理综合题专项训练2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学中考专题复习

二次函数代数推理综合题 专项训练

图象性质

1．在平面直角坐标系中，已知抛物线．

(1)求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；

(2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．

 

 

 

2．在二次函数中，

(1)当时，的最小值为，求出的值；

(2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围．

 

 

交点问题

3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）．

(1)若抛物线经过点．

①求的值；

②当时，函数的最大值与最小值的差是，求的取值范围．

(2)  已知，，若二次函数的图像与线段有且只有一个交点，求的取值范围．

 

 

4．已知二次函数（a为常数，且），

(1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ．

(2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值．

(3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围．

5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点

(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；

(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；

(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．

 

 

 

代数推理

6．已知抛物线（为常数）．

(1)若该抛物线与轴交于点．

①求该抛物线的解析式；

②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；

(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长．

 

 

 

 

7．设二次函数（是实数）．

(1)甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗说明理由．

(2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

(3)已知二次函数的图象经过和两点（是实数），当时，求证：．

 

8．已知抛物线经过点

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围；

(3)点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值．

 

 

 

 

9．已知函数，，直线与抛物线的对称轴的交点在x轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若时，的取值范围：，且，求a的值；

(3)若，分别是函数，上的点，其中，求证：．

10．已知抛物线（）．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的解析式；

(3)  若（2）中抛物线的顶点到轴的距离为4，求的值．

 

 

新定义问题

11．定义：在平面直角坐标系中一点，点P的横坐标m与纵坐标n的差称为点P的“坐标差”．例如：点的“坐标差”为：．

(1)当或时，二次函数图象上的点的“坐标差”为－10．

①求b，c的值．

②求该二次函数图象上的顶点的“坐标差”．

(2)若二次函数图象上的点的“坐标差”最小值为2，求d的值．