专题03 全等三角形（ 7个知识点+ 9个核心题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材华东师大版

专题03 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：全等三角形的概念与表示】 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 2.表示方法：用“≌”表示，读作“全等于”，对应顶点字母需写在对应位置，如△ABC≌△DEF。 3.全等变换：平移、翻折、旋转前后的三角形全等，形状和大小不变。 【知识点2：全等三角形的性质】 1.核心性质：对应边相等，对应角相等。 2.衍生性质：周长相等、面积相等；对应边上的中线、高、对应角的平分线相等。 【知识点3：全等三角形的判定定理】 1.SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 4.SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 5.HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。 【知识点4：等腰三角形的性质与判定】 1.性质：①两底角相等（等边对等角）；②顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。 2.判定：①定义法（两边相等）；②等角对等边（两角相等的三角形是等腰三角形）。 【知识点5：等边三角形的性质与判定】 1.性质：三个内角均为60°，是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2.判定：①三边相等；②三个角都相等；③有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点6：线段垂直平分线与角平分线】 1.线段垂直平分线：①性质：线上点到线段两端距离相等；②逆定理：到线段两端距离相等的点在线上。 2.角平分线：①性质：线上点到角两边距离相等；②逆定理：角内部到角两边距离相等的点在线上。 【知识点7：互逆命题与互逆定理】 1.互逆命题：题设和结论互换的两个命题，原命题为真，逆命题不一定为真。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题为真，则两者为互逆定理。 【题型1：添加条件使三角形全等】 方法技巧：①明确已知条件（边/角），结合判定定理补全条件； ②优先找对应边、对应角，避免SSA陷阱； ③直角三角形可优先考虑HL。 【例题1】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先说明，再根据求解即可． 【详解】解：∵与相交于点O， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：B． 【变式1-1】.（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【变式1-2】.（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为 ． 【答案】（或或（答案不唯一）） 【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：，， 当添加，； 当添加或时，； 当添加时，； 故答案为：（或或（答案不唯一）） 【变式1-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在与中，已知，添加一个条件，使，下列各选项中，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，结合图中的信息，以及运用全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，，，∴不能证明，故该选项符合题意； C、∵，，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 【题型2：利用全等求角度或线段长度】 方法技巧：①先证三角形全等，锁定对应边、对应角相等； ②结合三角形内角和、外角性质计算； ③利用全等衍生性质（如中线、高相等）转化条件。 【例题2】.（25-26八年级上·云南保山·月考）如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据全等三角形的性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 【变式2-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，C，D，A，F四点在同一条直线上，，，，．求EF的长． 【答案】 【分析】先通过线段的和差关系得到，再结合平行线的性质得到角相等，进而证明和全等，利用全等三角形的对应边相等得出的长度． 【详解】解：∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． 在和中， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，解题关键是利用线段和差得到相等的线段，结合平行线性质得到相等的角，进而通过全等三角形推导对应边相等． 【变式2-2】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）由角的和差得到，再根据全等的性质得到； （2）根据三角形的内角和求得，根据全等的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3：利用全等证明线段/角相等】 方法技巧：①确定待证结论对应的全等三角形； ②搭建“已知条件→全等→结论”的逻辑链； ③必要时添加辅助线（如作高、延长线）构造全等。 【例题3】.（海内蒙古自治区乌海市勃湾区2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试题）证明题：如图，已知B为线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用证明，则由全等三角形的性质可证明． 【详解】证明：∵B为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3-1】.（20-21七年级下·山东济南·期中）已知：如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法和性质是关键． 根据题意证明，即可求解． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ， ． 【变式3-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的定义，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）由，得到，再利用三角形的外角性质可证明，据此可得到结论成立． 【详解】（1）证明：∵四边形，均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】.（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 【题型4：全等与等腰三角形综合计算】 方法技巧：①用全等转化边/角关系，结合“等边对等角”“三线合一”； ②遇等腰优先考虑分类讨论（腰底不明、顶角底角不明）； ③利用60°角判定等边三角形。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在四边形中，，，，点为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质． 连接，根据平行线的性质和等边对等角的性质可得，再证明即可得到解答． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】.（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为的中点，点分别在上，且，． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直定义等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明是等腰直角三角形得到，再根据垂直定义和中点定义得到，，然后证明可得结论； （2）是等腰直角三角形．先证明得到，结合可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰直角三角形， 则， 又∵，，点为的中点， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下， 由题意可知是等腰直角三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 又由（1）可知， ∴是等腰直角三角形． 【变式4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意易证得和都是直角三角形，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得； （2）在上截取，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，，进而证得，由于三角形外角定理证得和，从而求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，，分别是边，上的高， ， 和都是直角三角形 ， 在和中 ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 平分 在和中， ， 是的外角， 在中， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【题型5：网格中的全等/等腰三角形问题】 方法技巧：①借助网格边长、直角特性找相等边和角； ②用“数格子”“勾股定理”计算边长； ③等腰三角形可按“腰为AB、腰为AC、腰为BC”分类找格点。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）图①、②、③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，只用直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，不需保留作图痕迹． (1)在图①中画出中边上的中线． (2)在图②中，以为底边作等腰． (3)在图③中，作的边上的高，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了画三角形的中线，画三角形的高，网格中画等腰三角形，求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，连接，则线段即为所求； （2）取格点A，连接，则即为所求； （3）取格点E，连接，则即为所求，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求，则． 【变式5-1】.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 【变式5-2】.（25-26八年级上·天津·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）由于点和点竖直方向距离固定4格，连接与正中间水平网格线交点即为中点，此时得到； （2）根据点向右移动1格再向上移动2格又回到线段上，把点向左移动2格再向上移动1格到达格点，连接，则，得到，证明，即，延长交于点，线段即为所求； （3）根据点向右移动2格再向上移动4格到达点，把点向右移动4格再向下移动2格到达格点，则得到，，得到，即是等腰直角三角形，连接交于点，，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【变式5-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务（每个画图任务的画线不得超过三条）． (1)如图1，先画的中线，再画射线，交于点，使； (2)如图2，是上的格点，先画射线，交于点，使，再在上画点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，轴对称图形的性质，解决本题的关键是读懂题意，注意画线条数． （1）先根据勾股定理求解边的长度，再由中点即可确定点D的位置，连接即可得中线，取格点F，使且，构造等腰直角三角形，则，则中线，射线即为所求； （2）构造全等，则可得，找到点A关于的对称点，连接，交于点N，连接，则可得． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， 在上确定点D，且， 连接，则中线即为所求， 取格点F，连接，，记与的交点为点E， 由勾股定理可得， 且， 满足，即为等腰直角三角形， ∴则， ∴， 则中线，射线即为所求，如图， （2）解：取格点，如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 则可得， 找点A关于的对称点，连接， 交于点N，连接， 由对称的性质可得， 又， ∴， 则点F与点N即为所求，如图， 【题型6：折叠问题与全等综合】 方法技巧：①折叠前后的图形全等，对应边、角相等； ②利用“折叠”得到的垂直关系、中点关系，结合HL或SAS证全等； ③设未知数，通过全等建立方程求解。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等边三角形，折叠的性质，等边对等角的知识，掌握等边三角形的判定和性质是关键． 如图所示，连接，可得为等边三角形，根据折叠可得，结合角的和差计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴为等边三角形，，， ∵，即， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图设交于点， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形； (2)是等边三角形，理由见解析； (3)的长为3． 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； （2）是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 对于（1），①，根据三角形内角和定理得，可得，再根据三角形内角和定理得出答案； ②根据三角形内角和定理得，，再结合，，可得答案； 对于（2），根据“角角边”可得出答案； 对于（3），解：设，再表示出，， ，，再分两种情况：当，当，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ， ， 在中，． 故答案为：100°． ②在中，； 在中，， 且，， ． 故答案为：． （2）证明：，， ， ， ， 在和中， ； （3）解：设， 则，， ， ， 情况1：， ， 解得． ，， ． 情况2：， ， 解得． ，， ． 的度数为或． 【题型7：全等三角形中的动点问题】 方法技巧：①用含时间t的代数式表示线段长度； ②分情况讨论动点位置（在线段上、延长线上）； ③根据全等条件列方程（如对应边相等），注意t的取值范围。 【例题7】.（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，证得，根据等腰直角三角形的性质证得、和，进而证得和，根据全等三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 、 和都是直角三角形 、、 在和中 ， ， 在和中 故答案为：． 【变式7-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点；同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)用含的代数式表示的长； (3)当点到点时，求的长； (4)连接，当点在线段上时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， (3) (4)或 【分析】本题是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据题意分两种情况表示即可； （3）根据题意可得，即可； （4）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：点P从点A运动到点B所用时间为秒， 当时，； 当时，； （3）解：根据题意得：点Q从点D运动到点E所用时间为秒， 此时， ∴； （4）解：如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据题意得：， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（不符合题意）； 当点Q到达终点E，点P返回到点A时，此时过点C， 此时； 综上所述，t的值为或． 【变式7-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①15；②不变，100度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明点A在线段的垂直平分线上； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求出四边形的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出的度数，判断其是否随点P的运动而变化． 【详解】（1）证明：∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴． ∴点A在线段的垂直平分线上； （2）解：①∵线段的垂直平分线分别与，交于点E，M， ∴． ∵线段的垂直平分线分别与，交于点F，N， ∴． ∴四边形的周长为． ∵，， ∴四边形的周长为； ②的度数不变．理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数不变，为． 【变式7-3】.（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 【题型8：角平分线与线段垂直平分线综合应用】 方法技巧：①利用角平分线性质作垂线段，转化距离关系； ②借助垂直平分线性质得到等腰三角形； ③通过全等连接角平分线与垂直平分线的结论。 【例题8】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质到，再根据全等三角形的判定可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到，再根据全等三角形的性质得到，，证明，推导出，进而利用等角对等边得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，平分， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． （2）解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-2】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分，垂直于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线，三角形的内角和定理 ，等腰三角形的定义及性质； （1）根据题意得到，，，再结合计算求解即可． （2）根据题意得到 ，求出点A和D都在线段的垂直平分线上，即可证明结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵平分，垂直， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴ ， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线． 【变式8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【题型9：新定义与全等综合题】 方法技巧：①理解新定义（如“倍长三角形”“格线三角形”）； ②转化新定义为全等条件； ③结合判定定理验证结论，分类讨论避免遗漏。 【例题9】.（25-26八年级上·广东中山·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 【答案】（1）4；（2）图见详解；（3）4 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系是解题的关键； （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可； （2）根据“偏等积三角形”的定义可作图； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）当点P为的中点时，则有，所以与为偏等积三角形， 故答案为； （2）所作三角形如图2所示： （3）∵与为偏等积三角形，且它们的高相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得：， 即， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴． 【变式9-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 任务图    任务图中共有的条件 在中，点D在边上（不与B、C重合），． 探究任务 任务1 如图1，若，，则和______等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，若，和是否为等角三角形？并证明你的结论． 任务3 若，和是等角三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：和是等角三角形，证明见解析；任务3： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握利用三角形内角和定理计算角度是解题的关键． 任务1：根据三角形内角和定理计算各角的角度，即可解答； 任务2：根据三角形内角和定理和角度之间的转换可得和是等角三角形； 任务3：根据和是等角三角形可得是底角为的等腰三角形，即可解答． 【详解】解：任务1：若，， 则, ， ， ， 和是等角三角形， 故答案为：是； 任务2：和是等角三角形，理由如下： ∵ 又∵，． ∴，． ∴和是等角三角形； 任务3：∵，和是等角三角形． ∴是底角为的等腰三角形 ∵ ∴ ∴； 【变式9-2】.（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”． 【变式9-3】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫作积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）①；②2；（3）是积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：2； （2）①解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ②为正整数， ； 故答案为：2； （3）是积等三角形， 证明：如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与为积等三角形． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； B．添加，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； C．添加，结合条件，，不可以证明，故C符合题意； D．添加平分，得，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意． 故选：C． 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答． 【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边， 因此符合． 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．和面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：和关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称，且直线和直线不平行， 直线和直线的交点一定在上，A选项错误，符合题意； 和关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形，B、D选项正确，不符合题意； 和关于直线对称， ， 和面积相等，C选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，利用“”可证即可判定①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，即可判定②；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，进而可得，即得，又由全等三角形的性质得，即得到，由三角形的边角关系可得，即得到，即可判定③④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵，， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； ④由③知，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 9．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握好垂直平分线定理是解题关键． （1）由垂直平分线定理可得，，，因此的周长等于的长； （2）根据可得，；同理，．由三角形内角和定理可以得到，，因此，从中减去和，从而计算出． 【详解】（1）解：由垂直平分线定理可得，，， ∴的周长为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作的平行线，交于点G，由 是等边三角形和，可得也是等边三角形，则有．结合已知条件，容易证出，从而得到； （2）由（1）可知，，则有．因为是等边三角形，同时，可得，因此． 【详解】（1）证明：如图，过点D作的平行线，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，，，推导出，可根据“”证明，得，因为点D在线段的延长线上，所以，则． 【详解】解：， 理由：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D在线段的延长线上， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． (1)如图①，若，写一个未知角的度数：___________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 15．（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【答案】(1)当，，当，； (2)或或或 (3)4或或16． 【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. （1）根据题意分在上和在上求解即可； （2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可； （3）分、、、四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， 当在上时，即，，则； 当在上时，即，； 所以当，，当，； （2）解：当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ； （3）解：当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； 当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； 当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； 当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16， 故答案为：4或或16． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：全等三角形的概念与表示】 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 2.表示方法：用“≌”表示，读作“全等于”，对应顶点字母需写在对应位置，如△ABC≌△DEF。 3.全等变换：平移、翻折、旋转前后的三角形全等，形状和大小不变。 【知识点2：全等三角形的性质】 1.核心性质：对应边相等，对应角相等。 2.衍生性质：周长相等、面积相等；对应边上的中线、高、对应角的平分线相等。 【知识点3：全等三角形的判定定理】 1.SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 4.SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 5.HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。 【知识点4：等腰三角形的性质与判定】 1.性质：①两底角相等（等边对等角）；②顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。 2.判定：①定义法（两边相等）；②等角对等边（两角相等的三角形是等腰三角形）。 【知识点5：等边三角形的性质与判定】 1.性质：三个内角均为60°，是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2.判定：①三边相等；②三个角都相等；③有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点6：线段垂直平分线与角平分线】 1.线段垂直平分线：①性质：线上点到线段两端距离相等；②逆定理：到线段两端距离相等的点在线上。 2.角平分线：①性质：线上点到角两边距离相等；②逆定理：角内部到角两边距离相等的点在线上。 【知识点7：互逆命题与互逆定理】 1.互逆命题：题设和结论互换的两个命题，原命题为真，逆命题不一定为真。 2.互逆定理：若一个定理的逆命题为真，则两者为互逆定理。 【题型1：添加条件使三角形全等】 方法技巧：①明确已知条件（边/角），结合判定定理补全条件； ②优先找对应边、对应角，避免SSA陷阱； ③直角三角形可优先考虑HL。 【例题1】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 【变式1-2】.（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为 ． 【变式1-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在与中，已知，添加一个条件，使，下列各选项中，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2：利用全等求角度或线段长度】 方法技巧：①先证三角形全等，锁定对应边、对应角相等； ②结合三角形内角和、外角性质计算； ③利用全等衍生性质（如中线、高相等）转化条件。 【例题2】.（25-26八年级上·云南保山·月考）如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，C，D，A，F四点在同一条直线上，，，，．求EF的长． 【变式2-2】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，，若，则 ． 【变式2-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． ∴． 【题型3：利用全等证明线段/角相等】 方法技巧：①确定待证结论对应的全等三角形； ②搭建“已知条件→全等→结论”的逻辑链； ③必要时添加辅助线（如作高、延长线）构造全等。 【例题3】.（海内蒙古自治区乌海市勃湾区2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试题）证明题：如图，已知B为线段的中点，，．求证：． 【变式3-1】.（20-21七年级下·山东济南·期中）已知：如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【变式3-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． (1)求证：； (2)求证：； 【变式3-3】.（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【题型4：全等与等腰三角形综合计算】 方法技巧：①用全等转化边/角关系，结合“等边对等角”“三线合一”； ②遇等腰优先考虑分类讨论（腰底不明、顶角底角不明）； ③利用60°角判定等边三角形。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在四边形中，，，，点为上一点，且．求证：． 【变式4-1】.（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【变式4-2】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为的中点，点分别在上，且，． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； 【变式4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 【题型5：网格中的全等/等腰三角形问题】 方法技巧：①借助网格边长、直角特性找相等边和角； ②用“数格子”“勾股定理”计算边长； ③等腰三角形可按“腰为AB、腰为AC、腰为BC”分类找格点。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）图①、②、③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，只用直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，不需保留作图痕迹． (1)在图①中画出中边上的中线． (2)在图②中，以为底边作等腰． (3)在图③中，作的边上的高，则的面积为 ． 【变式5-1】.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【变式5-2】.（25-26八年级上·天津·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 【变式5-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务（每个画图任务的画线不得超过三条）． (1)如图1，先画的中线，再画射线，交于点，使； (2)如图2，是上的格点，先画射线，交于点，使，再在上画点，连接，使． 【题型6：折叠问题与全等综合】 方法技巧：①折叠前后的图形全等，对应边、角相等； ②利用“折叠”得到的垂直关系、中点关系，结合HL或SAS证全等； ③设未知数，通过全等建立方程求解。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ． 【变式6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【题型7：全等三角形中的动点问题】 方法技巧：①用含时间t的代数式表示线段长度； ②分情况讨论动点位置（在线段上、延长线上）； ③根据全等条件列方程（如对应边相等），注意t的取值范围。 【例题7】.（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为 ． 【变式7-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点；同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)用含的代数式表示的长； (3)当点到点时，求的长； (4)连接，当点在线段上时，直接写出的值． 【变式7-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【变式7-3】.（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【题型8：角平分线与线段垂直平分线综合应用】 方法技巧：①利用角平分线性质作垂线段，转化距离关系； ②借助垂直平分线性质得到等腰三角形； ③通过全等连接角平分线与垂直平分线的结论。 【例题8】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式8-1】.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【变式8-2】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分，垂直于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【变式8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【题型9：新定义与全等综合题】 方法技巧：①理解新定义（如“倍长三角形”“格线三角形”）； ②转化新定义为全等条件； ③结合判定定理验证结论，分类讨论避免遗漏。 【例题9】.（25-26八年级上·广东中山·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 【变式9-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 任务图    任务图中共有的条件 在中，点D在边上（不与B、C重合），． 探究任务 任务1 如图1，若，，则和______等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，若，和是否为等角三角形？并证明你的结论． 任务3 若，和是等角三角形，请求出的度数． 【变式9-2】.（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【变式9-3】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫作积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A． B． C． D．平分 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．和面积相等 D．垂直平分 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为 度． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 9．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 14．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． (1)如图①，若，写一个未知角的度数：___________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 15．（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $