专题05 总复习（ 5个知识点+ 10个核心题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材华东师大版

专题05 总复习 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：数的开方】 1.平方根：若（），则叫的平方根，记为；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正平方根叫算术平方根，记为()，具有非负性(，)。 3.立方根：若，则叫的立方根，记为；任意实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的为负，0的为0。 4.实数：有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应；无理数是无限不循环小数。 【知识点2：整式的乘除】 1.幂的运算：①同底数幂相乘：(、为整数)； ②同底数幂相除：(，、为整数)； ③幂的乘方：(、为整数)； ④积的乘方：(为整数)； ⑤零指数幂：()； ⑥负整数指数幂：(，为正整数)。 2.整式乘法：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母保留； ②单项式×多项式：； ③多项式×多项式：。 3.乘法公式：①平方差公式：； ②完全平方公式：。 4.整式除法：①单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母保留； ②多项式÷单项式：()。 【知识点3：全等三角形】 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，对应边相等、对应角相等。 2.判定定理：①SSS(三边对应相等)； ②SAS(两边及其夹角对应相等)； ③ASA(两角及其夹边对应相等)； ④AAS(两角及其中一角的对边对应相等)； ⑤HL(直角三角形：斜边和一条直角边对应相等)。 3.性质推论：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等。 【知识点4：勾股定理】 1.基本内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即(为斜边)。 2.逆定理：若三角形三边、、满足，则该三角形为直角三角形(用于判定直角三角形)。 3.应用：求直角三角形边长、解决航海、建筑等实际距离问题。 【知识点5：数据的收集与表示】 1.数据收集：方式有普查(全面调查)和抽样调查；抽样调查需保证样本具有代表性和广泛性。 2.数据表示：①统计图：条形统计图(直观展示数量多少)、折线统计图(反映变化趋势)、扇形统计图(体现各部分占比，总占比为100%)； ②扇形统计图中，圆心角该部分占比。 3.总体、个体、样本、样本容量：总体是研究对象的全体，个体是单个研究对象，样本是总体的一部分，样本容量是样本中个体的数量(无单位)。 【题型1求平方根、算术平方根与立方根】 方法技巧：先判断被开方数符号(求平方根需被开方数非负)；算术平方根取非负值；立方根符号与被开方数一致，记住特殊值(如，)。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【变式1-1】.（24-25八年级上·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【变式1-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【变式1-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与的立方根是 (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【题型2实数的大小比较与运算】 方法技巧：无理数估算优先找相邻整数平方/立方(如在2和3之间)；运算时先化简无理数，再遵循实数运算法则，注意运算顺序。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）计算：； （2）比较大小：和． 【变式2-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 【变式2-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【题型3幂的运算性质辨析与计算】 方法技巧：紧扣幂的6个核心运算法则，区分同底数幂相乘(加指数)与幂的乘方(乘指数)；零指数、负整数指数幂需注意底数不为0，即()，(，为正整数)。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式3-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【变式3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【题型4整式的乘法运算(含单项式、多项式相乘)】 方法技巧：单项式相乘先算系数再算同底数幂(如)；多项式相乘按“分配律”展开，避免漏乘；结果合并同类项至最简。 【例题4】.（25-26八年级上·天津南开·月考）计算： (1)； (2) 【变式4-1】.（25-26八年级上·甘肃·期末）计算： (1) (2) 【变式4-2】.（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 【变式4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【题型5乘法公式(平方差、完全平方)的应用】 方法技巧：先观察式子结构，匹配对应公式；平方差公式需满足“两数和×两数差”，即；完全平方公式注意中间项是“”，符号随原式而定，即；可用于简便计算和式子化简。 【例题5】.（25-26八年级上·天津南开·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式5-1】.（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）阅读材料：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： (1)已知，则______，______； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【变式5-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【题型6全等三角形的判定】 方法技巧：先找已知边/角，再匹配判定定理：已知三边用SSS，已知两边及夹角用SAS，已知两角及夹边用ASA，已知两角及对边用AAS；直角三角形优先用HL(斜边+直角边)；注意排除“SSA”(不能判定全等)。 【例题6】.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为 ． 【变式6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【变式6-2】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东日照·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求度数． 【题型7全等三角形的证明与计算综合】 方法技巧：证明步骤：先找已知条件→推导隐含条件(公共边、对顶角等)→选判定定理证明全等→用性质求边/角；计算时结合平角、三角形内角和()辅助求解。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·月考）如图，在中，点是上一点，且，，，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【变式7-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【变式7-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，点在边上，连接，是边上的高，延长交于点，且，设． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段的垂直平分线上，请直接写出β的度数） 【变式7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：．                 【题型8勾股定理的应用】 方法技巧：明确直角边和斜边，代入公式(为斜边)；若求直角边，变形为，注意边长为正数；需先判定三角形为直角三角形再用公式。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（    ） A． B．3 C． D． 【变式8-1】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，顶点叫作格点．图中已给出了两个格点A，B． (1)在图1的格点中取一点C，画出一个等腰三角形； (2)在图2格点上取一点D，作线段． 【变式8-2】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【变式8-3】.（25-26八年级上·陕西汉中·月考）综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【题型9统计图的识别与信息提取】 方法技巧：条形图看“数量多少”，折线图看“变化趋势”，扇形图看“占比”；提取数据时注意统计图的标题、坐标轴标注、图例；扇形图需结合圆心角占比计算相关数据。 【例题9】.（24-25七年级上·山东济南·期末）每年4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值； (2)请将条形统计图补充完整； (3)若该校共有2400名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数； (4)请你根据调查结果，给学校图书馆提个合理的建议． 【变式9-1】.（24-25七年级下·全国·周测）某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形图： 组别 成绩x/分 频数 A a B 16 C 16 D 10 (1)频数分布表中____________，并补全频数分布直方图． (2)扇形图中____________，D所对应的扇形的圆心角度数是____________． (3)若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【变式9-2】.（25-26七年级上·山东济南·月考）某商场今年1～5月每个月的销售总额如图甲，商场服装部每个月销售额占商场当月销售总额的百分比如图乙． (1)来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图甲中的统计图补充完整； (2)商场服装部5月份的销售额是多少万元？ (3)小刚观察图乙后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由． 【变式9-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）某校学生会向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为 ； (2)图1中m的值是 ，并补全条形统计图； (3)本次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ； (4)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ (5)求这组数的四分位数，． 【题型10全等三角形与勾股定理综合题】 方法技巧：先通过全等三角形证明对应边/角相等，将非直角三角形转化为直角三角形；再利用勾股定理计算未知边长，关键是搭建“全等”与“勾股”的桥梁。 【例题10】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，． (1)如图，点是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，是内部一点，，连接，若，，求点到的距离． 【变式10-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图， 在中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证： ； (2)若，，求线段的长； 【变式10-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【变式10-3】.（25-26九年级上·河南漯河·月考）【问题背景】如图，在中，，，点D，E在直线上，，试探究，，之间的数量关系． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①__________； ②线段，，之间的数量关系为__________； 【深入探究】（2）如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 7．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）因式分解： ． 9．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图描述的是一家服装店的一款外套的S码，M码，L码，码和码在本月的销售情况．若该店这款外套本月的销售总量为150件，则售出的码的数量比码的数量多 件． 10．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）计算： (1) (2) (3) 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． (1)求证； (2)若，求． 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在等边中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边，连接． (1)如图①，当点在点右侧时，求的度数； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由． 15．（25-26八年级上·山东日照·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 总复习 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：数的开方】 1.平方根：若（），则叫的平方根，记为；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正平方根叫算术平方根，记为()，具有非负性(，)。 3.立方根：若，则叫的立方根，记为；任意实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的为负，0的为0。 4.实数：有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应；无理数是无限不循环小数。 【知识点2：整式的乘除】 1.幂的运算：①同底数幂相乘：(、为整数)； ②同底数幂相除：(，、为整数)； ③幂的乘方：(、为整数)； ④积的乘方：(为整数)； ⑤零指数幂：()； ⑥负整数指数幂：(，为正整数)。 2.整式乘法：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母保留； ②单项式×多项式：； ③多项式×多项式：。 3.乘法公式：①平方差公式：； ②完全平方公式：。 4.整式除法：①单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母保留； ②多项式÷单项式：()。 【知识点3：全等三角形】 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，对应边相等、对应角相等。 2.判定定理：①SSS(三边对应相等)； ②SAS(两边及其夹角对应相等)； ③ASA(两角及其夹边对应相等)； ④AAS(两角及其中一角的对边对应相等)； ⑤HL(直角三角形：斜边和一条直角边对应相等)。 3.性质推论：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等。 【知识点4：勾股定理】 1.基本内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即(为斜边)。 2.逆定理：若三角形三边、、满足，则该三角形为直角三角形(用于判定直角三角形)。 3.应用：求直角三角形边长、解决航海、建筑等实际距离问题。 【知识点5：数据的收集与表示】 1.数据收集：方式有普查(全面调查)和抽样调查；抽样调查需保证样本具有代表性和广泛性。 2.数据表示：①统计图：条形统计图(直观展示数量多少)、折线统计图(反映变化趋势)、扇形统计图(体现各部分占比，总占比为100%)； ②扇形统计图中，圆心角该部分占比。 3.总体、个体、样本、样本容量：总体是研究对象的全体，个体是单个研究对象，样本是总体的一部分，样本容量是样本中个体的数量(无单位)。 【题型1求平方根、算术平方根与立方根】 方法技巧：先判断被开方数符号(求平方根需被开方数非负)；算术平方根取非负值；立方根符号与被开方数一致，记住特殊值(如，)。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】.（24-25八年级上·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解． 【详解】解：由题意，得， 解得， 则这个正数为． 故答案为：25． 【变式1-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程组的解，算术平方根，将解 代入方程组，先求得，再求得，最后计算的算术平方根即可． 【详解】解：将代入方程，得，即， 解得，， 故， 将，代入方程，得，即， 解得， 则， 16的算术平方根为 4， 即的算术平方根是4． 故答案为：4． 【变式1-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与的立方根是 (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将a，b代入进行求值，再求解平方根． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是， 的平方根是 【题型2实数的大小比较与运算】 方法技巧：无理数估算优先找相邻整数平方/立方(如在2和3之间)；运算时先化简无理数，再遵循实数运算法则，注意运算顺序。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键． 先估算，则，再由作差法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式2-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）计算：； （2）比较大小：和． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算，实数的大小比较． （1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可． （2）先计算和的平方，再进一步比较大小即可． 【详解】解：（1） ． （2），， ， ． 【变式2-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 【详解】解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 【变式2-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 即估算的结果在8和9之间． 故选：D． 【题型3幂的运算性质辨析与计算】 方法技巧：紧扣幂的6个核心运算法则，区分同底数幂相乘(加指数)与幂的乘方(乘指数)；零指数、负整数指数幂需注意底数不为0，即()，(，为正整数)。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查指数的计算，掌握相关法则是解题的关键． 根据指数法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，需注意最终结果的正负． 【详解】解：原式 故答案为． 【变式3-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【详解】解：∵，， ∴， 于是． 故选：A． 【变式3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 【题型4整式的乘法运算(含单项式、多项式相乘)】 方法技巧：单项式相乘先算系数再算同底数幂(如)；多项式相乘按“分配律”展开，避免漏乘；结果合并同类项至最简。 【例题4】.（25-26八年级上·天津南开·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算； 对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-1】.（25-26八年级上·甘肃·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【详解】（1） ． （2） ． 【变式4-2】.（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 【答案】10 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 【变式4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)20130元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式即可求解； （2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， ， （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元． 【题型5乘法公式(平方差、完全平方)的应用】 方法技巧：先观察式子结构，匹配对应公式；平方差公式需满足“两数和×两数差”，即；完全平方公式注意中间项是“”，符号随原式而定，即；可用于简便计算和式子化简。 【例题5】.（25-26八年级上·天津南开·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)998001 【分析】本题考查乘法公式进行简便运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）将改写成，97改写成，再利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】.（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．设正方形，正方形的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：， 由乙得：， ，． 由丙得知：． 故选：A． 【变式5-2】.（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）阅读材料：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： (1)已知，则______，______； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】（1）按题设的方法进行恒等变形，利用完全平方式的非负性即可求解； （2）按题设的方法进行恒等变形，求出a、b的值，再根据三角形的三边关系求出c即可． 本题考查完全平方公式的应用、三角形三边关系的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，解得：，， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴，即， ∵a、b、c都是正整数， ∴， ∴的周长为． 【变式5-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 【题型6全等三角形的判定】 方法技巧：先找已知边/角，再匹配判定定理：已知三边用SSS，已知两边及夹角用SAS，已知两角及夹边用ASA，已知两角及对边用AAS；直角三角形优先用HL(斜边+直角边)；注意排除“SSA”(不能判定全等)。 【例题6】.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 【变式6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在和中， ， ． 【变式6-2】.（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东日照·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识． （1）利用平行线的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出，即可得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． （2）由全等三角形的性质得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， （2）解∶∵， ∴， ∴． 【题型7全等三角形的证明与计算综合】 方法技巧：证明步骤：先找已知条件→推导隐含条件(公共边、对顶角等)→选判定定理证明全等→用性质求边/角；计算时结合平角、三角形内角和()辅助求解。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·月考）如图，在中，点是上一点，且，，，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据平行线的性质可得，再根据角的转换可得，进而即可求解； （2）先根据角平分线的定义、角的和差、等腰三角形的性质可得、，运用即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）得：， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式7-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 【变式7-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，点在边上，连接，是边上的高，延长交于点，且，设． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段的垂直平分线上，请直接写出β的度数） 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2) (3)，见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，理解并熟练运用这些性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，从而可判断为等腰三角形； （2）先利用互余得到，所以； （3）先由得到，再根据三角形内角和定理得到；当点在线段的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到，所以，利用三角形内角和定理得到，则可得到，然后利用与得关系可计算出此时的度数． 【详解】（1）解：为等腰三角形． 理由如下：， ， 为等腰三角形； （2）解：是边上的高， ， ， ， ； （3）解：． 理由如下：， ， ， ， 即； 当点在线段的垂直平分线上，则， ， 在中，， ， ， ， ， 即点在线段的垂直平分线上，此时的度数为． 【变式7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④（3）见解析 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又 ， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又 ， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH．                 E是AC的中点， ． 又 ，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又 ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 【题型8勾股定理的应用】 方法技巧：明确直角边和斜边，代入公式(为斜边)；若求直角边，变形为，注意边长为正数；需先判定三角形为直角三角形再用公式。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，由等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，易得可证是等边三角形得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式8-1】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，顶点叫作格点．图中已给出了两个格点A，B． (1)在图1的格点中取一点C，画出一个等腰三角形； (2)在图2格点上取一点D，作线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）利用勾股定理数形结合的性质作出点D即可． 【详解】（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，点D即为所求（答案不唯一） 【变式8-2】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式8-3】.（25-26八年级上·陕西汉中·月考）综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点C作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；， ∴； ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点C作，且，连接，    ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型9统计图的识别与信息提取】 方法技巧：条形图看“数量多少”，折线图看“变化趋势”，扇形图看“占比”；提取数据时注意统计图的标题、坐标轴标注、图例；扇形图需结合圆心角占比计算相关数据。 【例题9】.（24-25七年级上·山东济南·期末）每年4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值； (2)请将条形统计图补充完整； (3)若该校共有2400名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数； (4)请你根据调查结果，给学校图书馆提个合理的建议． 【答案】(1)被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40 (2)见解析 (3)720人 (4)见解析 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数，然后化成百分数即可求出m的值； （2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可； （3）将2400乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数； （4）根据样本中最喜欢“科技类”的人数最多，可提建议为增加“科技类”的图书． 【详解】（1）解：被抽查的学生人数是（人）， ∵， ∴扇形统计图中m的值是40， 答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40； （2）解：（人）， 补全的条形统计图如图所示： （3）解：（人）， ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有720人． （4）∵样本中最喜欢“科技类”的人数最多， ∴建议图书馆增加“科技类”的图书． 【变式9-1】.（24-25七年级下·全国·周测）某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形图： 组别 成绩x/分 频数 A a B 16 C 16 D 10 (1)频数分布表中____________，并补全频数分布直方图． (2)扇形图中____________，D所对应的扇形的圆心角度数是____________． (3)若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【答案】(1)8  见解析 (2)20   (3)120（人） 【分析】（1）根据所给的数据即可得的值，即可补全频数分布直方图； （2）利用组的人数除以总人数即可得的值，用乘以组的人数所占的百分比即可求出所对应的扇形的圆心角度数； （3）用总人数乘以样本中成绩不低于分是人数所占的百分比即可． 【详解】（1）   补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：． （2）解：， 故答案为：，． （3）解：（人）． 答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120． 【点睛】本题考查频数分布直方图，频数分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是能够读懂统计图． 【变式9-2】.（25-26七年级上·山东济南·月考）某商场今年1～5月每个月的销售总额如图甲，商场服装部每个月销售额占商场当月销售总额的百分比如图乙． (1)来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图甲中的统计图补充完整； (2)商场服装部5月份的销售额是多少万元？ (3)小刚观察图乙后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)万元 (3)不同意，理由见解析 【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）求出4月份销售总额，补全条形统计图即可； （2）根据折线统计图和条形统计图信息，求出5月份的销售额即可； （3）根据两个月的商场服装部的销售额进行比较即可． 【详解】（1）解：补全条形统计图如下： （万元）； （2）解：（万元） 答：商场服装部5月份的销售额是万元； （3）解：不同意，理由如下： 商场服装部4月份的销售额是（万元）， ∵， ∴5月份商场服装部的销售额比4月份增加了， ∴不同意他的看法． 【变式9-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）某校学生会向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为 ； (2)图1中m的值是 ，并补全条形统计图； (3)本次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ； (4)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ (5)求这组数的四分位数，． 【答案】(1)50 (2)32，补全条形图见解析 (3) 10 15 (4)4800 (5)元，元 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，涉及从统计图中提取数据、计算百分比、众数、中位数、四分位数等统计量，以及用样本估计总体的方法；解题的关键是正确解读两个统计图之间的关联，准确计算各统计量. （1）确定总人数：利用条形统计图中已知的“5元捐款4人”和扇形统计图中对应的“5元占”建立等式，求出总人数； （2）求并补全条形图：根据扇形图各部分百分比之和为100%计算；用总人数乘以各百分比得到对应人数，补全条形图中缺失的“10元”部分； （3）求众数和中位数：列出所有样本数据（捐款金额），众数是出现次数最多的金额；将所有数据从小到大排序，由于数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均值； （4）估计全校捐款总额：先计算样本数据的平均数（总捐款额 总人数），再用样本平均数乘以全校总人数300进行估算； （5）求四分位数：将样本数据排序，计算第25百分位数（下四分位数​）和第75百分位数（上四分位数​）． 【详解】（1）解：由条形图知，捐款5元的有4人；由扇形图知，捐款5元的占， 设总人数为，则， 解得（人）， 故答案为：50． （2）解：由扇形统计图可得：， ∴， 故答案为：32． 捐款10元的人有：人， 补全条形统计图如图： （3）解：众数：出现次数最多的金额是10元（共16次），故众数为 10元； 中位数：数据总个数，为偶数；将数据从小到大排列后，第25个和第26个数据均为15元（因为5元和10元累计人，第个数据均为15元）； 故中位数为元； 故答案为10，15． （4）解：样本总捐款额为： 元， 样本平均捐款额为：元， 估计全校300名学生捐款总额为：元， 答：估计该校本次活动一共捐款4800元． （5）解：中位数将数据分成两部分， 前半部分数据为：； 后半部分数据为：； 前半部分数据的中位数，即下四分位数为 ； 后半部分数据的中位数，即上四分位数 为​． 【题型10全等三角形与勾股定理综合题】 方法技巧：先通过全等三角形证明对应边/角相等，将非直角三角形转化为直角三角形；再利用勾股定理计算未知边长，关键是搭建“全等”与“勾股”的桥梁。 【例题10】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，． (1)如图，点是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，是内部一点，，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①证明，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 【详解】（1）①证明：， ， ． 又，， ， ； ②解：， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由（1）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ． ． ， 设点到的距离为， . ， ． 即点O到的距离为 【变式10-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图， 在中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证： ； (2)若，，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质、全等三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）在中，，则，由旋转的性质可知，则有，，则，则，利用，即可求解． （2）由可得，，则，根据勾股定理可算出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式10-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及勾股定理的逆定理， （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理判定，即可得出结果． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， 又， ． 【变式10-3】.（25-26九年级上·河南漯河·月考）【问题背景】如图，在中，，，点D，E在直线上，，试探究，，之间的数量关系． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①__________； ②线段，，之间的数量关系为__________； 【深入探究】（2）如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，从而即可得出的度数；②证明，得出，求出，再由勾股定理可得即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理可得即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，求出，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理可得，求出 ，从而可得，进而得出，求解即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， 如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ②由①可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； （2），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴， 如图：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； （3）∵在中，，，， ∴，， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的三等分点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 由全等三角形的判定，逐一判断可求解． 【详解】解：A、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； B、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； C、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； D、当时，且，，不能判断，故该选项符合题意； 故选D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与面积，观察两个图，得左图面积平行四边形的面积，右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，再结合阴影面积不变，故，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则 左图面积平行四边形的面积底乘高，即左图面积； 右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，即右图面积； 根据阴影面积不变，得， 故选：C． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确； B、，原计算错误； C、不是同类项，无法合并，原计算错误； D、，原计算错误． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 平分 故选：A 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：22． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图描述的是一家服装店的一款外套的S码，M码，L码，码和码在本月的销售情况．若该店这款外套本月的销售总量为150件，则售出的码的数量比码的数量多 件． 【答案】15 【分析】本题考查了扇形统计图，善于从统计图中获取信息是关键． 先算出售出的码的占比比售出码的占比多多少，然后乘以总数即可． 【详解】解：售出的码的占比比售出码的占比多， ∴售出的码的数量比码的数量多（件）， 故答案为：15． 10．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算，整式的混合运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先用完全平方公式，平方差公式计算，再去括号，合并同类项； （2）利用平方差公式简化运算． 【详解】（1）解： （2） ． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （3）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． (1)求证； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在等边中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边，连接． (1)如图①，当点在点右侧时，求的度数； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可求解； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得证． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 15．（25-26八年级上·山东日照·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 【答案】(1)， (2)， (3)4054 (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）， 又，， ． ， 又， ． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $