13.1 勾股定理及其逆定理 寒假巩固2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 寒假巩固 【题型1】勾股定理的证明 【典型例题】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A.数形结合思想 B.分类思想 C.统计思想 D.化归思想 【举一反三1】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三2】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：      ； 【举一反三4】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典型例题】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A.17 B.16 C.15 D.13 【举一反三2】如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是     ． 【举一反三3】如图，在Rt中，，的平分线交于点D，，，点D到的距离为                        .    【举一反三4】如图，在中，．    (1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）． (2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长 【举一反三5】已知，是的两条边长，满足． (1)若为等腰三角形，求的周长． (2)若为直角三角形，求第三条边的边长． 【题型3】勾股定理与数轴 【典型例题】如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（     ） A. B. C. D.1 【举一反三1】如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，数轴上点C所表示的数是（    ） A.2 B.3.7 C.3.8 D. 【举一反三3】如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是          ． 【举一反三4】如图，数轴上点A对应的数是        ． 【举一反三5】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点． 【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 【典型例题】如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A.10 B.52 C.68 D.92 【举一反三1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A.4 B.6 C.8 D.12 【举一反三2】如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为         ． 【举一反三3】在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则      ． 【举一反三4】如图在四边形中，为对角线，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【举一反三5】如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【题型5】勾股定理与折叠问题 【典型例题】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A.1 B. C. D.1.6 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A.6 B.8 C.12 D.14 【举一反三2】如图，一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与A点重合，折痕为，则的长为（    ）    A. B. C. D.5cm 【举一反三3】如图，在中，点D为的中点，连接，将沿对折后得到，连接，则           ．    【举一反三4】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，交于点F，重合部分是，点P是对角线上一点，于点于点N． (1)求证：是等腰三角形； (2)若．求的面积． 【举一反三5】如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典型例题】如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（    ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在四边形中，，与相交于，且.①；②≌；③；④.其中结论正确的是       （填序号）. 【举一反三4】概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【举一反三5】如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且. (1)证明：； (2)证明：. 【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 【典型例题】有两个角          的三角形是直角三角形． 【举一反三1】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是          三角形． 【举一反三2】如图，已知是线段的延长线上一点，，，求证：是直角三角形． 【举一反三3】如图，已知，与的平分线相交于点，是直角三角形吗？请说明理由． 【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形 【典型例题】三边长为7，24，25的三角形ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为（   ） A.2 B. C.4 D.5 【举一反三1】在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（    ） A.1, B.9，40，41 C.2，3， D. 【举一反三2】在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是      ． 【举一反三3】如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是      ． 【举一反三4】已知在中，．试问是直角三角形吗？若是，请说明理由． 【题型9】勾股数 【典型例题】若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ） A.，， B. C.，， D. 【举一反三1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（    ） A.162 B.200 C.242 D.288 【举一反三2】成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A.14 B.16 C.35 D.37 【举一反三3】周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是      ． 【举一反三4】满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有        组这样的“完美勾股数”． 【举一反三5】定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【举一反三6】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数． (1)当n是大于1的整数时，，，是否是勾股数，说明理由； (2)当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，，，求x(用含n的式子表示)． 【题型10】勾股定理与逆定理的综合 【典型例题】如图，在中，是边上一点，连接，，，，，则的长为（    ） A.3 B.5 C.7 D.9 【举一反三1】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为      ． 【举一反三4】如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点． (1)求证：． (2)求的大小． (3)求正方形的边长． 【举一反三5】如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，． (1)证明：； (2)求的长． 【题型11】反证法证明中的假设 【典型例题】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设这个三角形中（    ） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是钝角，一个角是直角 【举一反三1】用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（　 　） A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2 【举一反三2】用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应为（        ） A.假设中至多有一个锐角 B.假设中有一个直角 C.假设中有两个直角 D.假设中有两个锐角 【举一反三3】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一” ．那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（     ） A.两直线不平行 B.同旁内角不互补 C.同旁内角相等 D.同旁内角不相等 【举一反三5】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设            ； 【举一反三6】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设      ． 【举一反三7】等腰三角形的底角必为锐角．用反证法证明，第一步是假设     ． 【举一反三8】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设            ； 【题型12】用反证法证明命题 【典型例题】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 【举一反三1】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立．∴ ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 【举一反三2】数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为        ． 【举一反三3】求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是           ． 【举一反三4】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：中不能有两个角是直角． 【举一反三5】用反证法证明在中至多有两个角大于． 华师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 寒假巩固（参考答案） 【题型1】勾股定理的证明 【典型例题】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A.数形结合思想 B.分类思想 C.统计思想 D.化归思想 【答案】A 【解析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：A． 【举一反三1】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 【举一反三2】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ， ， 故选：C． 【举一反三3】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：      ； 【答案】 【解析】大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 【举一反三4】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【答案】解　∵4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形， ∴， ∴， ∴． 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典型例题】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据勾股定理直接计算即可． ， ， 故选：D． 【举一反三1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A.17 B.16 C.15 D.13 【答案】D 【解析】根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D. 【举一反三2】如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是     ． 【答案】 【解析】如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示， ∵，是的平分线， ∴垂直平分，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵ ， ∴，即的最小值是， 故答案为：． 【举一反三3】如图，在Rt中，，的平分线交于点D，，，点D到的距离为                        .    【答案】5 【解析】过点D作于点E，如图所示：    ∵，的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为5； 故答案为：5． 【举一反三4】如图，在中，．    (1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）． (2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长 【答案】解　(1)如图所示，即为所求，    (2)，，， ， 在中，． 是边上的高， ， ， 【举一反三5】已知，是的两条边长，满足． (1)若为等腰三角形，求的周长． (2)若为直角三角形，求第三条边的边长． 【答案】解　(1)∵，∴，， ∵为等腰三角形，， ∴等腰的腰，只能是6， ∴的周长， 故答案为：， (2)设第三边的边长为， 为直角三角形时分两种情况： ①当斜边长为时，则， ②当直角边长为时，则， 故答案为：第三条边的边长为或． 【题型3】勾股定理与数轴 【典型例题】如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（     ） A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为， 故选A． 【举一反三1】如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知，直角三角形的两边长分别为2和1，有勾股定理可得，斜边长为： ， ∴为圆的半径， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，数轴上点C所表示的数是（    ） A.2 B.3.7 C.3.8 D. 【答案】D 【解析】∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°， ∴OB=， ∴OC=OB= 故选：D． 【举一反三3】如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是          ． 【答案】 【解析】如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【举一反三4】如图，数轴上点A对应的数是        ． 【答案】 【解析】根据勾股定理得出：， ∵， ∴， ∴点A表示的数为：， 故答案为：． 【举一反三5】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点． 【答案】解　如图：以1为边长作等腰直角三角形得到线段OA=，以O为圆心OA为半径交x轴负半轴于B，以点B为直角顶点作△OBC，使BC=1，得到线段OC=，以O为圆心OC为半径作弧交x轴负半轴于点D，则点D表示的数即是-； 以1和2为直角边作三角形得到斜边OE=，以原点为圆心，OE为半径画弧交x轴正半轴于点P，点P表示的数即是.    【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 【典型例题】如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A.10 B.52 C.68 D.92 【答案】B 【解析】∵在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：B． 【举一反三1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】C 【解析】由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三2】如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为         ． 【答案】 【解析】由题意知，三个阴影部分是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积为， ， ， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【举一反三3】在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则      ． 【答案】 【解析】如图所示，根据题意可得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中，， ， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 【举一反三4】如图在四边形中，为对角线，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】解　(1)，，，， 在中 根据勾股定理得： ， 在中 ， 四边形的周长为． (2)， 和为直角三角形， ， ， ∴． 【举一反三5】如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】解　如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 【题型5】勾股定理与折叠问题 【典型例题】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A.1 B. C. D.1.6 【答案】C 【解析】设，则BE=4-x， 由题意得， 由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为, 故答案为：C. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A.6 B.8 C.12 D.14 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中， ∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB10， 由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE， ∴BE=4， ∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12． 故选：C． 【举一反三2】如图，一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与A点重合，折痕为，则的长为（    ）    A. B. C. D.5cm 【答案】C 【解析】由折叠可知，设，则有CD=(8-x)cm， ∴在中，由勾股定理得：，即为， 解得：， 故选C． 【举一反三3】如图，在中，点D为的中点，连接，将沿对折后得到，连接，则           ．    【答案】 【解析】∵点D为的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【举一反三4】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，交于点F，重合部分是，点P是对角线上一点，于点于点N． (1)求证：是等腰三角形； (2)若．求的面积． 【答案】(1)证明　把长方形纸片沿对角线折叠， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2)解　设，则，， 在 中，由勾股定理可知：， ， ，即， ． 【举一反三5】如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】解　在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典型例题】如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（    ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图1，连接，    ，，为中点， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，，，故①正确； ， 如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证， ，故②错误， 由 ， ， ，故③正确； 如图2，连接，    同理可证：，， ， ．故④正确， 故选：C． 【举一反三1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三2】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【举一反三3】如图，在四边形中，，与相交于，且.①；②≌；③；④.其中结论正确的是       （填序号）. 【答案】③④ 【解析】①题目给的条件中不足，不能证明，∴①错误； ②与中，，，但它们的夹角不一定相等，所以它们不一定全等，∴②错误； ③∵，∴， ∴，，，， 设，，，， ∴ ， ∴③正确； ④∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确. 【举一反三4】概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【答案】新意应用： 解　四边形是垂直四边形， 理由：连接，      ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂直四边形； 性质探究： 解　，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴． 【举一反三5】如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且. (1)证明：； (2)证明：. 【答案】证明　(1)连接， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴. (2)∵， ∴， ∵        ∴ ∴， ∴， 即 【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 【典型例题】有两个角          的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【解析】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【举一反三1】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是          三角形． 【答案】直角 【解析】如图所示： 垂直平分，， 又，，， 又，，即是直角三角形. 【举一反三2】如图，已知是线段的延长线上一点，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：，，． ，，B. ，，∴△AOE是直角三角形. 【举一反三3】如图，已知，与的平分线相交于点，是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】解：是直角三角形． 理由：，两直线平行，同旁内角互补， 、分别是和的平分线，，， ，是直角三角形． 【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形 【典型例题】三边长为7，24，25的三角形ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为（   ） A.2 B. C.4 D.5 【答案】B 【解析】， 是直角三角形， 根据题意画图，如图所示：连接，，． 设， ， ， 则， ． 故选：B. 【举一反三1】在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（    ） A.1, B.9，40，41 C.2，3， D. 【答案】D 【解析】A．，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； B．，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； C．，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； D．，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意． 故选：D． 【举一反三2】在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是      ． 【答案】直角三角形 【解析】∵， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为直角三角形. 【举一反三3】如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是      ． 【答案】直角三角形 【解析】把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【举一反三4】已知在中，．试问是直角三角形吗？若是，请说明理由． 【答案】解　是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【题型9】勾股数 【典型例题】若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ） A.，， B. C.，， D. 【答案】C 【解析】正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：， A．，，， ∵， ∴，，不一定是勾股数，故A错误； B．，，， ∵， ∴不一定是勾股数，故B错误； C．，，， ∵， ∴，，一定是勾股数，故C正确； D．，，， ∵， ∴不一定是一组勾股数 ，故D错误． 故选：C． 【举一反三1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（    ） A.162 B.200 C.242 D.288 【答案】D 【解析】根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴， 故选：D． 【举一反三2】成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A.14 B.16 C.35 D.37 【答案】C 【解析】依题意，设斜边为x，则股为， ∴， 解得：， ∴股为， 故选：C． 【举一反三3】周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是      ． 【答案】 【解析】根据题意可得，勾为 为偶数且，则另一条直角边，弦． 则弦为．， 故答案为：． 【举一反三4】满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有        组这样的“完美勾股数”． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴为奇数，且为完全平方数， ∵， ∴， ∴为以内的数，有：，共7个； ∴共有组这样的“完美勾股数”； 故答案为：． 【举一反三5】定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)解　， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； (2)证明　 ， ， 是“完美勾股数”． 【举一反三6】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数． (1)当n是大于1的整数时，，，是否是勾股数，说明理由； (2)当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，，，求x(用含n的式子表示)． 【答案】解　(1)是理由如下： 当n是大于1的整数时，，，都是正整数， ∵， ∴，，是勾股数． (2)由题意，得 ， ∵x是正整数， ∴． 【题型10】勾股定理与逆定理的综合 【典型例题】如图，在中，是边上一点，连接，，，，，则的长为（    ） A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】C 【解析】在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ， 在中，，， ， ． 故选：． 【举一反三1】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴，，， ∵， ∴，故①正确； 若，则，而不一定成立，故②不正确； ，故③正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④正确． 故选：C． 【举一反三2】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ 故选：． 【举一反三3】如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为      ． 【答案】 【解析】由题意得： ，两点关于射线对称， ， 为定值，要使周长最小， 即最小， 如图，当点为与射线的交点时，周长最小， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 【举一反三4】如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点． (1)求证：． (2)求的大小． (3)求正方形的边长． 【答案】(1)证明　∵是等腰直角三角形， ∴， 四边形是正方形， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴； (2)解　由题意，得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ； (3)解　作交于点E， ，， ，， ， ， ， 正方形的边长为． 【举一反三5】如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)证明　在中，，，， 是直角三角形，且，即． (2)解　设，则 由(1)可知，所以． 在中，， ，解得 【题型11】反证法证明中的假设 【典型例题】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设这个三角形中（    ） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是钝角，一个角是直角 【答案】B 【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”， 应先假设这个三角形中有两个角是钝角． 故选：B． 【举一反三1】用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（　 　） A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2 【答案】A 【解析】根据题意得：应先假设a2＋b2=c2． 故选：A． 【举一反三2】用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应为（        ） A.假设中至多有一个锐角 B.假设中有一个直角 C.假设中有两个直角 D.假设中有两个锐角 【答案】A 【解析】用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应假设中最多有一个锐角， 故选：A． 【举一反三3】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一” ．那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】反证法证明：“若，则”， 首先应该假设， 故选：． 【举一反三4】用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（     ） A.两直线不平行 B.同旁内角不互补 C.同旁内角相等 D.同旁内角不相等 【答案】A 【解析】由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行， 故选：A． 【举一反三5】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设            ； 【答案】两直线平行，内错角不相等 【解析】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设两直线平行，内错角不相等， 故答案为；两直线平行，内错角不相等． 【举一反三6】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设      ． 【答案】 【解析】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设， 故答案为：． 【举一反三7】等腰三角形的底角必为锐角．用反证法证明，第一步是假设     ． 【答案】等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角） 【解析】等腰三角形的底角必为锐角． 用反证法证明，第一步是假设等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角） 故答案为：等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角） 【举一反三8】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设            ； 【答案】两直线平行，内错角不相等 【解析】用反证法证明“两直线平行，内错角相等”时应先假设两直线平行，内错角不相等， 故答案为；两直线平行，内错角不相等． 【题型12】用反证法证明命题 【典型例题】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 【答案】D 【解析】根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 【举一反三1】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立．∴ ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 【答案】D 【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤， (1)假设在中，； (2)由，得，即； (3)，这与三角形内角和为矛盾； (4)因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②． 故选：D． 【举一反三2】数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为        ． 【答案】三角形的外角和等于 【解析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论． 假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“三角形的外角和等于”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 故答案为：三角形的外角和等于 【举一反三3】求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是           ． 【答案】③①②⑤④ 【解析】③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立； ④∴， 故答案为：③①②⑤④. 【举一反三4】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：中不能有两个角是直角． 【答案】证明　假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设， 则，这与三角形内角和为相矛盾， 不成立； ∴一个三角形中不能有两个直角． 【举一反三5】用反证法证明在中至多有两个角大于． 【答案】证明　假设中有三个内角大于， 则大于，大于，大于， 、、三个角之和大于， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故在中至多有两个角大于． 学科网（北京）股份有限公司 $