专题02 整式的乘除（ 5个知识点+ 9个核心题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材华东师大版

专题02 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：幂的运算】 1.同底数幂的乘法：（，为正整数），底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：（m，为正整数），底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：（为正整数），积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘。 4.同底数幂的除法：（，，为正整数，且），底数不变，指数相减。 【知识点2：整式的乘法】 1.单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2.单项式×多项式：用单项式乘多项式每一项，再把所得积相加（）。 3.多项式×多项式：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把所得积相加（）。 【知识点3：乘法公式】 1.平方差公式：，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：，，两数和（差）的平方等于平方和加（减）积的2倍。 3.公式逆用：，。 【知识点4：整式的除法】 1.单项式÷单项式：系数、同底数幂分别相除，单独字母连同指数作为商的因式。 2.多项式÷单项式：把多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加。 【知识点5：因式分解】 1.定义：把多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法：先确定各项公因式（系数最大公因数+相同字母最低次幂），再提取公因式。 3.公式法：直接运用平方差公式或完全平方公式分解，分解到每一个因式不能再分解为止。 4.注意事项：首项为负先提负号，分解结果要写成最简整式积的形式。 【题型1：幂的基本运算】 方法技巧：牢记幂的运算法则，底数不变是核心，区分“指数相加（乘法）、相乘（乘方）、相减（除法）”，符号运算单独处理。 【例题1】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）计算： ． 【变式1-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【变式1-2】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【题型2：整式乘除的计算与化简】 方法技巧：单项式运算先算系数再算字母；多项式乘除遵循“分配律”，同类项务必合并，结果按字母降幂排列。 【例题2】.（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)． 【变式2-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式2-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）计算或化简 (1)； (2)； (3) (4)（简便计算）． 【变式2-3】.（25-26八年级上·四川德阳·月考）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 【题型3：乘法公式变形求值】 方法技巧：灵活运用公式变形，如、，整体代入已知条件简化计算。 【例题3】.（海内蒙古自治区乌海市勃湾区2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试题）已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【变式3-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 ． 【变式3-2】.（25-26八年级上·山东日照·月考）已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【变式3-3】.（25-26八年级上·天津河北·月考）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，直接写出的值． 【题型4：整式乘法中不含某项问题】 方法技巧：先展开整式并合并同类项，令不含项的系数为0，建立方程求解参数，注意符号对系数的影响。 【例题4】.（25-26八年级上·山东德州·月考）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】.（24-25七年级下·河北唐山·月考）现有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别为，．    (1)请用含的式子分别表示，，并比较与的大小； (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，其面积记为． ①该正方形的边长为________（用含的式子表示）； ②嘉嘉说：“无论为何值，与的差总是一个定值．”请对嘉嘉的说法进行说理． 【变式4-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【题型5：利用幂的运算比较大小】 方法技巧：转化为“同底数或同指数”幂，同底数看指数（底数>1时指数大的幂大），同指数看底数（指数>0时底数大的幂大）。 【例题5】.（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）比较大小：（用“”连接） 【变式5-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【变式5-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【变式5-3】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【题型6：乘法公式的几何背景】 方法技巧：通过图形面积的两种表示方法建立等式，紧扣“面积相等”核心，将几何图形与代数公式相互转化。 【例题6】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【变式6-1】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）综合应用 在学习乘法公式时，某兴趣小组发现：已知，可以在不求的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． (1)若，则____________； (2)若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下： 解：设，则， 所以． 请参照上述方法解决问题：若，求的值； (3)如图，某校园艺社团在一面靠墙（其中墙足够长）的空地上，用长11米的篱笆围成一个长方形的花圃，面积为15平方米，随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积． 【变式6-2】.（25-26八年级上·广东江门·月考）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【变式6-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【题型7：整式乘除与规律探究】 方法技巧：观察已知式子的系数、指数变化规律，归纳通用表达式，用幂的运算法则或乘法公式验证规律，再应用规律解题。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·期末）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【变式7-1】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【变式7-2】.（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【变式7-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【题型8：因式分解与三角形综合】 方法技巧：利用因式分解将边长关系式转化为乘积形式，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边），确定边长取值，求解周长或形状。 【例题8】.（25-26八年级上·山东日照·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【变式8-1】.（25-26八年级上·全国·月考）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【变式8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）（）将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为______； （）运用你所得到的乘法公式，计算：； （）计算：． 【变式8-3】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【题型9：整式乘除创新题型】 方法技巧：理解新定义运算规则，将其转化为熟悉的幂运算或整式乘除，抓住定义本质，结合运算法则分步求解，注意特殊值验证。 【例题9】.（25-26七年级上·福建厦门·月考）对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【变式9-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【变式9-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式 （为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【变式9-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东日照·月考）若关于x的多项式含有因式，则另一个因数为（    ）． A． B． C． D． 5．（2025年福建省厦门市高中自主招生考试数学试卷）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 8．（24-25九年级上·福建莆田·月考）已知非零实数满足，，则 ． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，则的运算结果为 三、解答题 11．（22-23八年级上·四川广安·期末）（1）解方程：； （2）因式分解： 12．（25-26八年级上·福建泉州·月考）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； 13．（24-25八年级上·北京·期中）质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． (1)设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； (2)利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； (3)已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 14．（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：幂的运算】 1.同底数幂的乘法：（，为正整数），底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：（m，为正整数），底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：（为正整数），积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘。 4.同底数幂的除法：（，，为正整数，且），底数不变，指数相减。 【知识点2：整式的乘法】 1.单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2.单项式×多项式：用单项式乘多项式每一项，再把所得积相加（）。 3.多项式×多项式：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把所得积相加（）。 【知识点3：乘法公式】 1.平方差公式：，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：，，两数和（差）的平方等于平方和加（减）积的2倍。 3.公式逆用：，。 【知识点4：整式的除法】 1.单项式÷单项式：系数、同底数幂分别相除，单独字母连同指数作为商的因式。 2.多项式÷单项式：把多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加。 【知识点5：因式分解】 1.定义：把多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法：先确定各项公因式（系数最大公因数+相同字母最低次幂），再提取公因式。 3.公式法：直接运用平方差公式或完全平方公式分解，分解到每一个因式不能再分解为止。 4.注意事项：首项为负先提负号，分解结果要写成最简整式积的形式。 【题型1：幂的基本运算】 方法技巧：牢记幂的运算法则，底数不变是核心，区分“指数相加（乘法）、相乘（乘方）、相减（除法）”，符号运算单独处理。 【例题1】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则，准确地计算是解决本题的关键． 利用同底数幂相乘的法则，指数相加，计算左边已知部分的指数和，再根据等式求解未知指数的值即可． 【详解】解：∵， 设横线上应填， 则 ， ∴， ∴， 故横线上应填． 故选D． 【变式1-2】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【题型2：整式乘除的计算与化简】 方法技巧：单项式运算先算系数再算字母；多项式乘除遵循“分配律”，同类项务必合并，结果按字母降幂排列。 【例题2】.（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，即可求解； （2）先运算单项式乘以多项式，然后合并，最后运算除法计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 【变式2-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）计算或化简 (1)； (2)； (3) (4)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式与完全平方公式： （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项； （2）先计算完全平方式，多项式乘多项式，再去括号，合并同类项； （3）先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式公式计算括号内的，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式； （4）逆用完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2-3】.（25-26八年级上·四川德阳·月考）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 【答案】（1），1 （2）50 【分析】本题考查了代数式的化简，求值，正确计算是解题的关键． （1）先化简，再代入求值即可； （2）展开并变形表达式，代入已知条件即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 把代入上式，得 原式； （2）解：， ， ， ， 将代入上式，得 原式， ， ， ， 【题型3：乘法公式变形求值】 方法技巧：灵活运用公式变形，如、，整体代入已知条件简化计算。 【例题3】.（海内蒙古自治区乌海市勃湾区2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试题）已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形，直接代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A 【变式3-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式，恒等变形得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 【变式3-2】.（25-26八年级上·山东日照·月考）已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，，，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式3-3】.（25-26八年级上·天津河北·月考）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，直接写出的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． （1）由题意大正方形的边长为，大正方形由4个长为，宽为的长方形，中间边长为的正方形组成，根据正方形的面积计算方法进行计算即可； ②由（1）中结论代入计算即可； （3）根据题意可得，则由完全平方和公式恒等变形得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：依据题意，由图②可得： 故答案为：； （2）解：由（1）中结论可得， ； （3）解：∵ 【题型4：整式乘法中不含某项问题】 方法技巧：先展开整式并合并同类项，令不含项的系数为0，建立方程求解参数，注意符号对系数的影响。 【例题4】.（25-26八年级上·山东德州·月考）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 【变式4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与无关，求出、的值，再逆用积的乘方法则求出代数式的值，解题的关键是理解代数式的值与无关的含义. 【详解】解：原式， ， ， ∵代数式的值与x的取值无关， ， ， ， 故选：C． 【变式4-2】.（24-25七年级下·河北唐山·月考）现有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别为，．    (1)请用含的式子分别表示，，并比较与的大小； (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，其面积记为． ①该正方形的边长为________（用含的式子表示）； ②嘉嘉说：“无论为何值，与的差总是一个定值．”请对嘉嘉的说法进行说理． 【答案】(1)，， (2)①；②见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积、完全平方公式与图形面积等知识，熟练掌握多项式乘以多项式和完全平方公式的应用是解题关键． （1）根据长方形的面积公式列出，计算多项式乘以多项式与图形面积可得，，再计算，根据即可得出答案； （2）①先求出甲长方形的周长，再根据正方形的周长公式即可得； ②先利用完全平方公式求出，再计算即可得． 【详解】（1）解：由图可知，， ， 则 ， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：①由图可知，甲长方形的周长为， ∵一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等， ∴该正方形的边长为， 故答案为：． ②由题意得：，， ∴ ， 即无论为何值，与的差总是一个定值． 【变式4-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）1，3，4；（3），理由见详解 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘法几何背景，理解数形结合数学思想是解题关键﹒ （1）从整体和局部两方面分别表示面积即可求解； （2）根据题意列出多项式乘以多项式算式，并计算，即可求解； （3）由图形4可知，，得到，根据阴影部分的面积与的差与的长度无关，得到，即可得到﹒ 【详解】解：（1）从整体上看长方形面积为，拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为，由此可得等式﹒ 故答案为：，，； （2）∵， ∴她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒ 故答案为：1，3，4； （3）解：，理由如下： 由图形4可知，，， ∴， ∵阴影部分的面积与的差与的长度无关， ∴， ∴﹒ 【题型5：利用幂的运算比较大小】 方法技巧：转化为“同底数或同指数”幂，同底数看指数（底数>1时指数大的幂大），同指数看底数（指数>0时底数大的幂大）。 【例题5】.（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）比较大小：（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和有理数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．通过幂的乘方将指数化为相同形式，然后比较底数的大小． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 【变式5-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂乘法和除法的逆用，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则． 【变式5-3】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 【题型6：乘法公式的几何背景】 方法技巧：通过图形面积的两种表示方法建立等式，紧扣“面积相等”核心，将几何图形与代数公式相互转化。 【例题6】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，采用数形结合的思想是解题的关键； （1）利用整体观察和分割观察的方法分别求大长方形的面积，即可求解； （2）利用整体观察和分割观察的方法分别求大正方形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据利用不同方法求大长方形的面积可得， ， 故答案为：； （2）解：∵由整体观察大正方形的面积为：； 由分割观察大正方形的面积为：； ∴得到的等式为， 故答案为：． 【变式6-1】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）综合应用 在学习乘法公式时，某兴趣小组发现：已知，可以在不求的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． (1)若，则____________； (2)若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下： 解：设，则， 所以． 请参照上述方法解决问题：若，求的值； (3)如图，某校园艺社团在一面靠墙（其中墙足够长）的空地上，用长11米的篱笆围成一个长方形的花圃，面积为15平方米，随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握题中恒等变形求代数式方法是解决问题的关键． （1）由题中做法直接求解即可得到答案； （2）由题中做法直接求解即可得到答案； （3）根据题意，由图形可设，则，，由题中做法求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 由题中做法可知， ； （2）解：， 设， 则， ； （3）解：如图所示： 设， 则，， 扩建的正方形花圃总面积为 ， 答：花圃扩建后增加的面积为平方米． 【变式6-2】.（25-26八年级上·广东江门·月考）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 【变式6-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 【题型7：整式乘除与规律探究】 方法技巧：观察已知式子的系数、指数变化规律，归纳通用表达式，用幂的运算法则或乘法公式验证规律，再应用规律解题。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·期末）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 【变式7-1】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的系数特征并结合二项式的形式计算指定项的系数是解题的关键． 先根据杨辉三角确定的展开式系数，再结合的形式，找到含项的系数计算方法． 【详解】解：如图， 由杨辉三角可知，的展开式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴， 对于，令，，其展开式中含的项对应含项， 该项为： ∴的展开式中含项的系数是 ， 故答案为： 【变式7-2】.（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【变式7-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】（1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 【题型8：因式分解与三角形综合】 方法技巧：利用因式分解将边长关系式转化为乘积形式，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边），确定边长取值，求解周长或形状。 【例题8】.（25-26八年级上·山东日照·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到c的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得，， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 【变式8-1】.（25-26八年级上·全国·月考）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 【变式8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）（）将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为______； （）运用你所得到的乘法公式，计算：； （）计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）分别表示出涂色部分的面积，进而即可求解； （）将算式转化为，再利用平方差公式计算即可； （）利用平方差公式对每个括号内的算式因式分解，再计算即可； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）图①中涂色部分的面积为，图②中涂色部分的面积为， ∴可以得到的整式乘法公式为， 故答案为：； （）； （）原式 ． 【变式8-3】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，多项式乘以多项式与几何图形面积，正确理解题意，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于两个边长为的正方形面积加上一个边长为的正方形面积，再加上三个长为，宽为的长方形面积建立一个乘法算式； （2）计算，即可得出的值，再代入求解即可； （3）根据阴影部分的面积等于两张型纸片和两张型纸片的面积之和减去大正方形的面积，求解即可； （4）由题意得：，，则，（舍负），即可求解，而，得到（舍负），再联立①②求出，即可代入求解． 【详解】（1）解：由图形可得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴需要A型纸片张，B型纸片2张，C型纸片7张， 即：， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ； （4）解：由题意得：，， ∴，（舍负） ∴， ∴， ∴（舍负）， 联立①②得，， 解得 ∴； 【题型9：整式乘除创新题型】 方法技巧：理解新定义运算规则，将其转化为熟悉的幂运算或整式乘除，抓住定义本质，结合运算法则分步求解，注意特殊值验证。 【例题9】.（25-26七年级上·福建厦门·月考）对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是“和谐有理数对”，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐有理数对”的定义逐一判断即可； （2）根据“和谐有理数对”的定义列出算式，再等量代换，即可得出答案； （3）根据“和谐有理数对”的定义列出代数式，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“和谐有理数对”， ∵，， ∴不是“和谐有理数对”， 故答案为：； （2）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是“和谐有理数对”． 【变式9-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【变式9-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式 （为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③； (2)； (3)最小值为7． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． 【详解】（1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 【变式9-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． 【详解】（1）解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）解：设 ， ； （3）解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：A、右边含分式，不是整式； B、左边是单项式，不是多项式； C、满足定义； D、是整式乘法； 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方运算法则，幂的乘方法则以及0指数幂的定义，逐一化简即可得出正确选项． 【详解】解： 选项A: ，不符合题意； 选项B: 当时，无意义，不符合题意； 选项C: ，符合题意； 选项D: ，而 ，两者不相等，不符合题意； 故选C． 4．（25-26八年级上·山东日照·月考）若关于x的多项式含有因式，则另一个因数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法与因式分解，掌握好待定系数法是解题关键． 由于多项式含有因式，可设另一个因式为二次多项式，通过待定系数法比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为， ， 由题意可知，， 对比等式两边可得， ， 解得，， ∴另一个因式为． 故选：B． 5．（2025年福建省厦门市高中自主招生考试数学试卷）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解： ， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，原式根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建莆田·月考）已知非零实数满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．由已知条件和，利用对称多项式的性质，推导出满足，但根据实数非负性，确定，再通过递推关系求出，其中，最终计算． 【详解】解：∵由，两边平方得， ∴， ∵， 利用公式， 代入得， ∴， 由立方和公式得， ∴， 设，即， 又∵， 由于， ∴，得， ∴， 设， 则， ， ，其中， 对于，有递推关系， ∴当时，， ∴． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，则的运算结果为 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·四川广安·期末）（1）解方程：； （2）因式分解： 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查分式方程的解法与因式分解的方法，解题关键是解分式方程需先去分母化为整式方程再检验，因式分解先提公因式再用公式法． （1）解方程：去分母转化为整式方程，求解后验根； （2）因式分解：先提公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】（1） 解：方程两边都乘得， 整理得， 解得， 检验，当时，， 是增根，原分式方程无解． （2） ， ． 12．（25-26八年级上·福建泉州·月考）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； 【答案】(1)36 (2)24 【分析】本题主要考查系平方差数的定义，根据系平方差数的定义写出正确的整式是解题的关键． （1）首先根据k系平方差数的定义，直接代入计算即可； （2）首先化简M的整式，再根据k系平方差数的定义列出方程求出k，进而即可求出M的值． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴10系平方差数为36； （2）解：依题意可知，， ∴，解得：， ∴． 13．（24-25八年级上·北京·期中）质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． (1)设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； (2)利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； (3)已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，，4，5 (3)，，， 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用添项法对原式添加，再分组因式分解，即可求解证明； （2）利用十字相乘法对进行因式分解，根据质数的定义可知分解所得的因式一个为1，一个为质数，分别对因式讨论即可求解； （3）根据题意可对因式分解，进而得到，得出a，b，c的值后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 证明：∵为大于1的正整数， ∴、为大于1的正整数， ∴除了1与它本身以外，还有因数和， ∴一定不是一个质数； （2）解：∵为质数， ∴，一个为1，一个为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， ∴整数的值为，，4，5； （3）解：∵， ∴， 即，而7，，都是质数． 因为为非零数字，所以为的倍数，可得或， 当时，，无整数解， 当时，，因为为数字，所以，故，，解得， 所以，， ∴． 14．（25-26八年级上·福建厦门·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)；； (2)22 (3)1744 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $