专题05 因式分解的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题05 因式分解的八类综合题型 目录 典例题详解 类型一、利用因式分解的定义求参数 类型二、提公因式法因式分解 类型三、综合运用公式法因式分解 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 类型五、利用整体法提公因式因式分解 类型六、十字相乘法因式分解 类型七、分组分解法因式分解 类型八、因式分解的应用 压轴专练 类型一、利用因式分解的定义求参数 知识点总结 1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，其结果必须是整式乘积，且每个因式都是最简整式（不能再分解），这是判断是否为因式分解的核心标准。 2.多项式相等的条件：若两个多项式相等，则对应项的系数和常数项分别相等，即“同类项系数相同”，这是通过等式对比求参数的依据。 解题技巧 1.逆向构造因式分解形式：根据题意设出分解后的整式乘积形式（如二次多项式可设为两个一次式的积），展开后与原多项式对比，利用系数相等列方程求参数。 2.验证分解的有效性：求出参数后，代入原多项式进行因式分解，检查结果是否符合定义（整式乘积、无公因式可提），排除使分解不成立的参数值。 例1．若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式1-1】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-2】已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 【变式1-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 类型二、提公因式法因式分解 知识点总结 1.公因式的概念：多项式各项都含有的公共整式，包括系数（取各项系数的最大公约数）、相同字母（取最低次幂），是提公因式的前提。 2.提公因式法法则：把多项式的各项都除以公因式，将多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，即ma + mb + mc = m(a + b + c)，遵循“一提二剩”原则。 解题技巧 1.全面找公因式：先确定系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，注意隐藏公因式（如互为相反数的因式可通过符号转化提取，如b - a = -(a - b)）。 2.提净后检查：提取公因式后，剩余多项式的各项不应再含公因式，若有漏提需补提；多项式第一项为负时，通常先提负号，使括号内第一项为正。 例2．因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解．利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：． 【变式2-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键． （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 类型三、综合运用公式法因式分解 知识点总结 1. 常用乘法公式的逆用：包括平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)、完全平方公式a2 2ab + b2 = (a b)2，以及立方和（差）公式等，是公式法因式分解的核心依据。 2. 多项式的结构特征：需识别多项式是否符合公式形式，如平方差公式要求两项异号且均为平方形式，完全平方公式需三项式且有两项为平方项、一项为两平方项底数乘积的2倍。 解题技巧 1. 先提公因式再用公式：若多项式各项有公因式，先提取公因式，使剩余部分满足公式结构（如2x2 - 8 = 2(x2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)）。 2. 多次运用公式分解：对分解后仍可继续分解的因式，重复使用公式（如x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)），确保分解彻底。 例3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-1】因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式3-2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3-3】因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 知识点总结 1.公因式提取与公式结构识别：需掌握公因式的确定方法（系数最大公约数、相同字母最低次幂），以及平方差公式、完全平方公式等的结构特征（如两项异号平方项、三项式中平方项与乘积项的关系）。 2.因式分解的步骤原则：遵循“一提二套三查”，即先提取公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底，确保结果为最简整式乘积。 解题技巧 1.优先提取公因式简化多项式：无论多项式是否符合公式形式，先检查是否有公因式，提取后使剩余部分更易匹配公式（如3a3-12a = 3a(a2 -4) = 3a(a+2)(a-2)）。 2.组合运用确保分解彻底：提取公因式后，若剩余部分仍可继续分解（如符合平方差或完全平方形式），需再次套用公式，避免仅提取公因式就停止分解的不彻底情况。 例4．因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式4-1】因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 类型五、利用整体法提公因式因式分解 知识点总结 1.整体思想与公因式概念延伸：将多项式中的某个多项式（如a+b、x-y）视为一个整体“字母”，其公因式可表现为相同的整体整式，需理解整体作为因式的等价性（如b-a=-(a-b)）。 2.提公因式法的拓展应用：在整体视角下，提公因式法仍遵循“提取公共整式”原则，即把整体公因式提取后，剩余部分为原多项式除以整体公因式的结果，保持整式乘积形式。 解题技巧 1.识别整体公因式结构：观察多项式各项，找出重复出现的多项式整体（如(x+y)在多项中出现），或通过符号转化统一整体形式（如将(y-x)2转化为(x-y)2）。 2.分步提取简化运算：先将整体视为单字母提取公因式，再对剩余部分检查是否可继续分解，如(a+b)(x-y)+(a+b)(x+y)=(a+b)[(x-y)+(x+y)]=(a+b)*2x。 例5．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式5-2】因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-3】分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 类型六、十字相乘法因式分解 知识点总结 1. 十字相乘法的原理：针对二次三项式ax2 + bx + c（a≠0），通过寻找两个数m、n（或整式），使m *n = a *c且m + n = b，将多项式分解为(px + q)(rx + s)的形式，本质是逆用多项式乘法法则。 2. 适用多项式特征：主要用于二次项系数为1（x2 + bx + c）或可分解的二次三项式，需满足常数项能拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数。 解题技巧 1. 拆分常数项（或交叉项）：对x2 + bx + c，将c拆为p* q，使p + q = b，直接分解为(x + p)(x + q)；对ax2 + bx + c，先拆分a为m *n、c为p*q，使mq + np = b，交叉相乘后组合。 2. 验证结果正确性：分解后通过多项式乘法展开，检查是否与原多项式一致，避免因拆分错误导致结果偏差，尤其注意符号（如常数项为负时，拆分的两数异号）。 例6．分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式6-1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式6-2】小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【变式6-3】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 类型七、分组分解法因式分解 知识点总结 1. 分组的目的与依据：分组分解法是将多项式各项适当分组，使每组能提取公因式或运用公式法分解，核心是分组后整体能继续分解，依据多项式的项数（通常四项或六项）和结构特征（如含相同因式的项分组）。 2. 与其他分解方法的结合：分组后需结合提公因式法、公式法等，如分组后各组有公因式可提取，或分组后形成平方差、完全平方等公式结构，体现“分组—分解—再分解”的逻辑。 解题技巧 1. 按公因式分组：将含相同公因式的项分为一组，提取公因式后使两组间出现新的公因式，如ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)。 2. 按公式结构分组：对四项式，可分组为“二二型”形成平方差（如a2 - b2 + a - b = (a2 - b2) + (a - b) = (a - b)(a + b + 1)），或“三一型”形成完全平方后再用平方差，确保分组后可继续分解。 例7．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 【变式7-2】分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 【变式7-3】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键． （1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 类型八、因式分解的应用 知识点总结 1. 因式分解的基本方法：包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法、分组分解法等，能将多项式转化为整式乘积形式，是解决应用问题的工具基础。 2. 代数式求值与等量关系转化：利用因式分解简化代数式，结合方程思想解决实际问题中的数量关系（如面积计算、整除问题、方程求解），需掌握“分解后整体代入”“转化为乘积形式分析整除性”等思路。 解题技巧 1. 从实际问题提炼多项式：将应用场景中的数量关系（如面积公式、路程关系）转化为多项式，通过因式分解简化表达式（如用分解法求不规则图形面积的和差）。 2. 利用乘积特性分析问题：对于整除、最值等问题，将多项式分解后，根据整式乘积的性质（如因数取值范围、符号特征）求解，例如通过分解判断某数是否为整数倍，或找到表达式的最值点。 例8．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式8-1】已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 【变式8-2】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 【变式8-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 一、单选题 1．下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，将各式因式分解后进行判断即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键， 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不能进行因式分解，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 2．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义可求解． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，提取的公因式是． 故选C． 3．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 4．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 5．若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．分解因式 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．第一个式子：先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得；第二个式子：先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ． ． 故答案为：，． 7．若，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用及整体代入思想的运用．由条件可得，把化为，再利用整体思想逐步代入即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 9．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 10．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的知识，掌握因式分解是解题的关键． （1）提取公因式，然后即可求解； （2）根据完全平方公式进行因式分解，即可求解； （3）先提取公因式，再根据十字相乘法即可因式分解； （4）先提取公因式3，再根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 12．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式分解因式即可求解； （4）利用平方差公式和提公因式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解—完全平方公式：， （1）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （2）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （3）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （4）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； 解题的关键是掌握完全平方公式的特点： （1）左边是三项式，首末两项是两个数（或两个式子）的平方，且符号都相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的倍，符号正负均可； （2）右边是两个数（或两个式子）的和（或差）的平方，和（或差）与积的倍的符号保持一致； （3）完全平方式中的、可以是一个数，一个式（一个单项式或是一个多项式）． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查乘法公式因式分解，掌握乘法公式的计算是关键． （1）根据材料提示，运用整体思想，平方差公式分解因式即可求解； （2）根据材料提示运用完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解：设， ∴原式， 将还原，原式； （2）解：设， ∴原式， ∵为正整数， ∴为整数，即是整数， ∴原式的值一定是某个整数的平方． 15．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 16．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 17．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最小值． (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，三角形的三边关系等知识，熟练掌握完全平方公式分解因式是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式得到，根据即可求出答案； （3）原式变形为，根据非负数的性质得到，再根据三角形的三边关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵二次三项式恰好是完全平方式， ∴， ∴m的值是 故答案为： （2） ∵ ∴当时， 代数式有最小值． （3） ∴ 则， ∵ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长， ∴ 即 18．定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，， ，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式A和B为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式（除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙． ①选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，写出一个多项式的因式分解； ②任意选取甲、乙，丙三种卡片，张数不限，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)为多项式的一个共因多项式，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法为解题关键． （1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）①根据图形得出；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是， 故答案为：； （2），， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）①如图可得：； ②如图， ， 与同因子是， 是的共因多项式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解的八类综合题型 目录 典例题详解 类型一、利用因式分解的定义求参数 类型二、提公因式法因式分解 类型三、综合运用公式法因式分解 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 类型五、利用整体法提公因式因式分解 类型六、十字相乘法因式分解 类型七、分组分解法因式分解 类型八、因式分解的应用 压轴专练 类型一、利用因式分解的定义求参数 知识点总结 1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，其结果必须是整式乘积，且每个因式都是最简整式（不能再分解），这是判断是否为因式分解的核心标准。 2.多项式相等的条件：若两个多项式相等，则对应项的系数和常数项分别相等，即“同类项系数相同”，这是通过等式对比求参数的依据。 解题技巧 1.逆向构造因式分解形式：根据题意设出分解后的整式乘积形式（如二次多项式可设为两个一次式的积），展开后与原多项式对比，利用系数相等列方程求参数。 2.验证分解的有效性：求出参数后，代入原多项式进行因式分解，检查结果是否符合定义（整式乘积、无公因式可提），排除使分解不成立的参数值。 例1．若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1-1】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【变式1-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 类型二、提公因式法因式分解 知识点总结 1.公因式的概念：多项式各项都含有的公共整式，包括系数（取各项系数的最大公约数）、相同字母（取最低次幂），是提公因式的前提。 2.提公因式法法则：把多项式的各项都除以公因式，将多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，即ma + mb + mc = m(a + b + c)，遵循“一提二剩”原则。 解题技巧 1.全面找公因式：先确定系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，注意隐藏公因式（如互为相反数的因式可通过符号转化提取，如b - a = -(a - b)）。 2.提净后检查：提取公因式后，剩余多项式的各项不应再含公因式，若有漏提需补提；多项式第一项为负时，通常先提负号，使括号内第一项为正。 例2．因式分解：． 【变式2-1】因式分解： ． 【变式2-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式2-3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 类型三、综合运用公式法因式分解 知识点总结 1. 常用乘法公式的逆用：包括平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)、完全平方公式a2 2ab + b2 = (a b)2，以及立方和（差）公式等，是公式法因式分解的核心依据。 2. 多项式的结构特征：需识别多项式是否符合公式形式，如平方差公式要求两项异号且均为平方形式，完全平方公式需三项式且有两项为平方项、一项为两平方项底数乘积的2倍。 解题技巧 1. 先提公因式再用公式：若多项式各项有公因式，先提取公因式，使剩余部分满足公式结构（如2x2 - 8 = 2(x2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)）。 2. 多次运用公式分解：对分解后仍可继续分解的因式，重复使用公式（如x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)），确保分解彻底。 例3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3-1】因式分解 (1) (2) (3) 【变式3-2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】因式分解： (1) (2) (3) (4) 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 知识点总结 1.公因式提取与公式结构识别：需掌握公因式的确定方法（系数最大公约数、相同字母最低次幂），以及平方差公式、完全平方公式等的结构特征（如两项异号平方项、三项式中平方项与乘积项的关系）。 2.因式分解的步骤原则：遵循“一提二套三查”，即先提取公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底，确保结果为最简整式乘积。 解题技巧 1.优先提取公因式简化多项式：无论多项式是否符合公式形式，先检查是否有公因式，提取后使剩余部分更易匹配公式（如3a3-12a = 3a(a2 -4) = 3a(a+2)(a-2)）。 2.组合运用确保分解彻底：提取公因式后，若剩余部分仍可继续分解（如符合平方差或完全平方形式），需再次套用公式，避免仅提取公因式就停止分解的不彻底情况。 例4．因式分解： (1) (2)． 【变式4-1】因式分解： (1)； (2)； 【变式4-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式4-3】把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型五、利用整体法提公因式因式分解 知识点总结 1.整体思想与公因式概念延伸：将多项式中的某个多项式（如a+b、x-y）视为一个整体“字母”，其公因式可表现为相同的整体整式，需理解整体作为因式的等价性（如b-a=-(a-b)）。 2.提公因式法的拓展应用：在整体视角下，提公因式法仍遵循“提取公共整式”原则，即把整体公因式提取后，剩余部分为原多项式除以整体公因式的结果，保持整式乘积形式。 解题技巧 1.识别整体公因式结构：观察多项式各项，找出重复出现的多项式整体（如(x+y)在多项中出现），或通过符号转化统一整体形式（如将(y-x)2转化为(x-y)2）。 2.分步提取简化运算：先将整体视为单字母提取公因式，再对剩余部分检查是否可继续分解，如(a+b)(x-y)+(a+b)(x+y)=(a+b)[(x-y)+(x+y)]=(a+b)*2x。 例5．因式分解： ． 【变式5-1】因式分解： ． 【变式5-2】因式分解： 【变式5-3】分解因式： ． 类型六、十字相乘法因式分解 知识点总结 1. 十字相乘法的原理：针对二次三项式ax2 + bx + c（a≠0），通过寻找两个数m、n（或整式），使m *n = a *c且m + n = b，将多项式分解为(px + q)(rx + s)的形式，本质是逆用多项式乘法法则。 2. 适用多项式特征：主要用于二次项系数为1（x2 + bx + c）或可分解的二次三项式，需满足常数项能拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数。 解题技巧 1. 拆分常数项（或交叉项）：对x2 + bx + c，将c拆为p* q，使p + q = b，直接分解为(x + p)(x + q)；对ax2 + bx + c，先拆分a为m *n、c为p*q，使mq + np = b，交叉相乘后组合。 2. 验证结果正确性：分解后通过多项式乘法展开，检查是否与原多项式一致，避免因拆分错误导致结果偏差，尤其注意符号（如常数项为负时，拆分的两数异号）。 例6．分解因式： 【变式6-1】分解因式： (1)； (2)． 【变式6-2】小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【变式6-3】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 类型七、分组分解法因式分解 知识点总结 1. 分组的目的与依据：分组分解法是将多项式各项适当分组，使每组能提取公因式或运用公式法分解，核心是分组后整体能继续分解，依据多项式的项数（通常四项或六项）和结构特征（如含相同因式的项分组）。 2. 与其他分解方法的结合：分组后需结合提公因式法、公式法等，如分组后各组有公因式可提取，或分组后形成平方差、完全平方等公式结构，体现“分组—分解—再分解”的逻辑。 解题技巧 1. 按公因式分组：将含相同公因式的项分为一组，提取公因式后使两组间出现新的公因式，如ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)。 2. 按公式结构分组：对四项式，可分组为“二二型”形成平方差（如a2 - b2 + a - b = (a2 - b2) + (a - b) = (a - b)(a + b + 1)），或“三一型”形成完全平方后再用平方差，确保分组后可继续分解。 例7．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【变式7-1】因式分解： ． 【变式7-2】分解因式： ． 【变式7-3】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 类型八、因式分解的应用 知识点总结 1. 因式分解的基本方法：包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法、分组分解法等，能将多项式转化为整式乘积形式，是解决应用问题的工具基础。 2. 代数式求值与等量关系转化：利用因式分解简化代数式，结合方程思想解决实际问题中的数量关系（如面积计算、整除问题、方程求解），需掌握“分解后整体代入”“转化为乘积形式分析整除性”等思路。 解题技巧 1. 从实际问题提炼多项式：将应用场景中的数量关系（如面积公式、路程关系）转化为多项式，通过因式分解简化表达式（如用分解法求不规则图形面积的和差）。 2. 利用乘积特性分析问题：对于整除、最值等问题，将多项式分解后，根据整式乘积的性质（如因数取值范围、符号特征）求解，例如通过分解判断某数是否为整数倍，或找到表达式的最值点。 例8．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式8-1】已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-2】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【变式8-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 一、单选题 1．下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 4．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 5．若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．分解因式 ， ． 7．若，则代数式的值等于 ． 8．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 9．已知，则代数式的值为 ． 10．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 12．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4) 13．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 14．阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 15．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 16．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 17．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 18．定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，， ，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式A和B为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式（除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙． ①选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，写出一个多项式的因式分解； ②任意选取甲、乙，丙三种卡片，张数不限，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$