专题01 数的开方（4个知识点+9个核心题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材华东师大版

专题01 数的开方 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 平方根与算术平方根】 1.定义：若（），则叫作的平方根；正数的正平方根叫作的算术平方根。 2.表示方法：正数的平方根表示为，算术平方根表示为（）。 3.性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根和算术平方根均为0；负数没有平方根和算术平方根。 【知识点2：立方根与开立方】 1.定义：若，则叫作的立方根；求一个数立方根的运算叫作开立方。 2.表示方法：数的立方根表示为（为任意实数）。 3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；立方根具有唯一性。 【知识点3：实数与数轴】 1.无理数定义：无限不循环小数叫作无理数，如、等。 2.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 3.实数与数轴关系：实数与数轴上的点一一对应，即每个实数都能在数轴上找到对应点，反之亦然。 【知识点4：开方相关运算及性质】 1.基本运算：开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；可借助平方/立方运算验证开方结果。 2.实数运算性质：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数运算。 3.工具辅助：可使用计算器求非完全平方数的平方根、非完全立方数的立方根，注意精度把控。 【题型1平方根与算术平方根的概念辨析及求解】 方法技巧：明确定义差异，算术平方根为非负数（表示为），平方根含正负（表示为）；先验证被开方数，完全平方数逆用平方运算求解，非完全平方数保留根号或按要求取近似值。 【例题1】.（25-26八年级上·江西九江·月考）4的平方根是（    ） A．4 B． C． D．2 【变式1-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）化简： ． 【变式1-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 【变式1-3】.（2025八年级上·北京·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【题型2立方根的概念辨析及求解】 方法技巧：明确立方根唯一性与符号规律（正负性与被开方数一致，任意实数均有立方根）；求解时逆用立方运算，负数的立方根仍为负数，非完全立方数保留根号或按要求取近似值。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）有理数8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】.（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【变式2-2】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【题型3利用平方根的性质求字母值】 方法技巧：利用“正数两个平方根互为相反数”，列方程（、为同一正数的两个平方根）；求解后需验证结果是否满足被开方数非负。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 【变式3-1】.（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【变式3-2】.（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【变式3-3】.（25-26八年级上·山西运城·期中）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【题型4利用非负性（算术平方根+平方/绝对值）求值】 方法技巧：根据“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，拆分等式得方程组（如，则且），求解后代入代数式计算。 【例题4】.（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 【变式4-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，则 ． 【变式4-2】.（25-26八年级上·广东江门·期中）现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 【变式4-3】.（25-26八年级上·北京·期中）已知，则的值为 ． 【题型5解含平方根与立方根的方程】 方法技巧：解型方程，分情况讨论：时，无实根；解型方程，直接开立方得，注意符号与被开方数一致。 【例题5】.（25-26八年级上·上海嘉定·月考）方程的解是 ． 【变式5-1】.（24-25八年级下·青海海西·期中）求下列方程中的 (1)； (2)． 【变式5-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（a为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：______； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③                ④ 解：．            解：或 或．        或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【变式5-3】.（20-21七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【题型6实数的大小比较与估算】 方法技巧：有理数直接比较；无理数优先取近似值法（如比较与2，取），或用“平方/立方法”转化为有理数比较（如比较与，平方后比较3与2）。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“” 【变式6-1】.（25-26八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 【变式6-2】.（25-26七年级上·浙江·月考）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）与最接近的整数是 ． 【题型7根式的整数部分与小数部分求解】 方法技巧：先估算根式大致范围（如在2~3之间），确定整数部分；小数部分=原根式-整数部分，注意结果非负。 【例题7】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ． 【变式7-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【变式7-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【变式7-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【题型8平方根与立方根的规律探究】 方法技巧：观察归纳已知数据的开方结果，提炼数字变化共性（如底数与结果的倍数关系），用具体例子验证规律，再推广应用。 【例题8】.（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【变式8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【变式8-2】.（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【变式8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） a 1 1000 1000000 1 10 100 【题型9数的开方的实践应用】 方法技巧：将实际问题（如面积、体积计算）建模转化为开方运算，根据题意确定结果正负性与取值范围，验证答案合理性。 【例题9】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为，因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2个单位长度到达点，点表示的数为，设点表示的数为． ①求的立方根． ②求的值． 【变式9-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【变式9-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 【变式9-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）实数3的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 二、填空题 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）计算： ． 7．（25-26八年级上·河南郑州·月考）无理数的整数部分是 ． 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如果，则 ． 10．（25-26七年级上·山东东营·月考）若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 13．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 平方根与算术平方根】 1.定义：若（），则叫作的平方根；正数的正平方根叫作的算术平方根。 2.表示方法：正数的平方根表示为，算术平方根表示为（）。 3.性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根和算术平方根均为0；负数没有平方根和算术平方根。 【知识点2：立方根与开立方】 1.定义：若，则叫作的立方根；求一个数立方根的运算叫作开立方。 2.表示方法：数的立方根表示为（为任意实数）。 3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；立方根具有唯一性。 【知识点3：实数与数轴】 1.无理数定义：无限不循环小数叫作无理数，如、等。 2.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 3.实数与数轴关系：实数与数轴上的点一一对应，即每个实数都能在数轴上找到对应点，反之亦然。 【知识点4：开方相关运算及性质】 1.基本运算：开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；可借助平方/立方运算验证开方结果。 2.实数运算性质：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数运算。 3.工具辅助：可使用计算器求非完全平方数的平方根、非完全立方数的立方根，注意精度把控。 【题型1平方根与算术平方根的概念辨析及求解】 方法技巧：明确定义差异，算术平方根为非负数（表示为），平方根含正负（表示为）；先验证被开方数，完全平方数逆用平方运算求解，非完全平方数保留根号或按要求取近似值。 【例题1】.（25-26八年级上·江西九江·月考）4的平方根是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ 且， ∴ 4的平方根是． 故选B． 【变式1-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【变式1-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的定义及计算，掌握平方根的计算是关键． 根据算术平方根的定义，算术平方根为，则这个数为 ；再求这个数的平方根，注意平方根有两个值． 【详解】解：设这个数为 ，则其算术平方根为，由题意得 ， 所以 ， 的平方根为， 故答案为：①，②． 【变式1-3】.（2025八年级上·北京·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，可得，求出a的值，即可求解． 【详解】因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以， 解得， 则， 所以这个正数是． 【题型2立方根的概念辨析及求解】 方法技巧：明确立方根唯一性与符号规律（正负性与被开方数一致，任意实数均有立方根）；求解时逆用立方运算，负数的立方根仍为负数，非完全立方数保留根号或按要求取近似值。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）有理数8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫作a的立方根． 求8的立方根，即求满足立方等于8的数． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 故选：C． 【变式2-1】.（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【答案】(1) (2) (3)0.5 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是，即； （2）解：因为，所以的立方根是，即； （3）解：因为，所以的立方根是，即． 【变式2-2】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解决此题的关键．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求算术平方根，求立方根， 对于（1），根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求出a，再根据算术平方根求出b； 对于（2），根据a，b的值求出代数式的值，再求出立方根即可． 【详解】（1）解：因为某数的平方根是与， 所以， 解得； 因为的算术平方根是3， 所以， 解得； （2）解：因为，， 所以， 所以8的立方根是2． 【题型3利用平方根的性质求字母值】 方法技巧：利用“正数两个平方根互为相反数”，列方程（、为同一正数的两个平方根）；求解后需验证结果是否满足被开方数非负。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，解题关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵a的平方根是， ∴. ∴a的值为36， 故选：B. 【变式3-1】.（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解，即可得这个正数的平方根，将其中一个平方根平方，即可得出． 【详解】解：由题意，得 ， 化简得 ， 解得 ， 则一个平方根为 ，另一个平方根为 ， 故这个正数为 ． 故答案为：． 【变式3-2】.（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 【变式3-3】.（25-26八年级上·山西运城·期中）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握正数的平方根是两个互为相反数，是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解，再求，最后计算． 【详解】由题意，正数的两个平方根互为相反数，因此． 化简，得， 解得． 代入平方根表达式：，． ∴． 则． 故答案为：． 【题型4利用非负性（算术平方根+平方/绝对值）求值】 方法技巧：根据“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，拆分等式得方程组（如，则且），求解后代入代数式计算。 【例题4】.（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，理解非负数的性质是解题的关键．因为算术平方根，平方数，且它们的和为0，所以且 【详解】解：由得，即；由得，即， 所以. 【变式4-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解． 因为绝对值和算术平方根均为非负数，所以由，可得且；进而求出、的值，再计算． 【详解】解：，，且， ，解得；，解得． ． 故答案为：． 【变式4-2】.（25-26八年级上·广东江门·期中）现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 【答案】(1)；；或2 (2)7 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算三角形的周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴或， 解得：或2． 综上所述，，，或2． （2）解：当时，边长为2、3、6， ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴的周长为． 【变式4-3】.（25-26八年级上·北京·期中）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查偶次方和算术平方根的非负性，代入求值；利用平方和算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 【题型5解含平方根与立方根的方程】 方法技巧：解型方程，分情况讨论：时，无实根；解型方程，直接开立方得，注意符号与被开方数一致。 【例题5】.（25-26八年级上·上海嘉定·月考）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 【变式5-1】.（24-25八年级下·青海海西·期中）求下列方程中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）根据等式的性质，可化简成乘方的形式，根据开方运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：或； （2）解：， 两边都除以，得， 开方，得， 解得：． 【变式5-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（a为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：______； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③                ④ 解：．            解：或 或．        或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知平方根的定义是解题的关键． （1）根据负数没有平方根可得答案； （2）仿照题意解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程②无实数解的依据是负数没有平方根； （2）解：⑤ 或； ⑥ 或， 或． 【变式5-3】.（20-21七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）根据平方根的性质即可得到答案； （2）仿照③、④，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根， 故答案为：负数没有平方根； （2）⑤解：． ． 或 ⑥解：． 或． 或． 【题型6实数的大小比较与估算】 方法技巧：有理数直接比较；无理数优先取近似值法（如比较与2，取），或用“平方/立方法”转化为有理数比较（如比较与，平方后比较3与2）。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解： ，，且， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】.（25-26八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过比较平方值来判断原数的大小． 因为和9都是正数，所以可通过计算它们的平方值，比较平方的大小来确定原数的大小． 【详解】解： 和都是正数， =，， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】.（25-26七年级上·浙江·月考）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式6-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）与最接近的整数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 【题型7根式的整数部分与小数部分求解】 方法技巧：先估算根式大致范围（如在2~3之间），确定整数部分；小数部分=原根式-整数部分，注意结果非负。 【例题7】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分， ，． ． 故答案为：． 【变式7-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 【变式7-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题． （1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可． （2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分． （3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算． 【详解】解：(1) ，， ， ，， ． 故答案为． (2) 由表格可知， ，， ， 整数部分是， 小数部分为． 故答案为． (3) ，， ， ， 即 ， ，为正整数，， ，， ． 【题型8平方根与立方根的规律探究】 方法技巧：观察归纳已知数据的开方结果，提炼数字变化共性（如底数与结果的倍数关系），用具体例子验证规律，再推广应用。 【例题8】.（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 【变式8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【变式8-2】.（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 【变式8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 【题型9数的开方的实践应用】 方法技巧：将实际问题（如面积、体积计算）建模转化为开方运算，根据题意确定结果正负性与取值范围，验证答案合理性。 【例题9】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为，因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2个单位长度到达点，点表示的数为，设点表示的数为． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，①把代入进行进行求解即可；②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 【变式9-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 【变式9-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 【答案】第二个纸盒的棱长为． 【分析】本题考查了立方根的应用，先求出第二个纸盒的体积为，然后根据立方根的定义即可求解，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵第一个正方体纸盒的棱长为， ∴其体积为， ∵第二个正方体纸盒的体积比第一个大， ∴第二个纸盒的体积为， ∴第二个纸盒的棱长为， 答：第二个纸盒的棱长为． 【变式9-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）实数3的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫作互为相反数，0的相反数是0．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：实数3的相反数是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数的分类，解题关键是掌握实数的分类． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴是有限小数，是有理数； 是无理数； 是无理数； 是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数． ∴无理数有，，，，共4个， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，由题意得到是解题的关键． 由题意可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴另一端点E将落在线段上． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的非负平方根是解题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为3． 7．（25-26八年级上·河南郑州·月考）无理数的整数部分是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较平方数确定 的取值范围，进而得到整数部分即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 因此 的整数部分是 4， 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，由于两个分数分母相同，只需比较分子的大小即可． 【详解】解：比较与的大小，只需比较分子与的大小． ∵，，且， ∴， 故． 故答案为：． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握乘方的计算是解题的关键． 根据立方根的定义，可直接得出结果． 【详解】解：∵， 由于， 即， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东东营·月考）若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 13．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $