专题01 数的开方（平方根与立方根及实数）（期末复习讲义，4知识点+18题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学期末复习讲义以“数的开方”为核心，通过表格系统梳理平方根、立方根、无理数与实数等核心考点，明确复习目标与考情规律，结合结构化知识点模块呈现知识脉络，突出概念辨析、运算性质等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，涵盖基础辨析、综合运算到新定义问题，通过“非负性求值”“实数比较大小”等题型培养运算能力与推理意识，配套易错点拨和解题模板，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题01 数的开方（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根和算术平方根的求解 1. 能精准区分平方根和算术平方根的定义，避免符号混淆；2. 熟练掌握二者的性质，能快速判断一个数是否有平方根；3. 会准确计算非负数的平方根和算术平方根，同时能根据的非负性解决简单求值问题 属于基础必考点，多以选择题、填空题形式出现，难度较低。常考查求具体数的平方根或算术平方根，也会考查的非负性相关题型 立方根的定义及其应用 1. 理解立方根与立方运算的互逆关系；2. 牢记立方根的特殊性质，能快速计算正数、负数和0的立方根；3. 能利用对含负数的立方根进行化简 常与平方根结合考查，出现在选择题、填空题中。题目多为求具体数的立方根，偶尔会考查立方根与平方根的性质对比类题目，难度中等偏易，很少出现复杂计算 无理数与实数综合 1. 能准确区分有理数和无理数，避免将无限循环小数误判为无理数；2. 掌握实数的分类方法，理解实数与数轴的一一对应关系；3. 会求实数的相反数、绝对值，能运用实数性质解决简单问题 高频考点，题型涵盖选择、填空和简单解答题。常考无理数的判断、实数的分类，也会结合数轴考查实数的大小比较，难度适中。在单元测试或期中期末考中，该考点常与后续函数知识初步关联，为后续学习铺垫 实数的混合运算 1. 熟练掌握开方运算，能准确计算算式中的平方根、立方根；2. 明确实数混合运算的顺序，能规范完成混合运算，减少计算失误；3. 能灵活运用运算律简化运算过程 属于必考计算题型，常出现在填空题的计算空或解答题的前几题。题目多是平方根、立方根与有理数的混合计算，难度中等。考查重点是计算的准确性，易错点集中在符号错误和开方结果出错，是拉开基础分差距的关键考点之一 知识点01 平方根和算术平方根 1. 平方根的定义与性质 定义：如果一个数的平方等于a(即x2=a)，那么这个数x叫做a的平方根，记作 性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根（因为任何实数的平方都非负） 2.算术平方根的定义与性质 定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作；规定0的算术平方根是0 性质：①算术平方根的结果非负；②被开方数非负（有意义的条件是）；③； 知识点02 立方根 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a（即x3=a）,那么这个数x叫做a的立方根，记作 2.立方根的性质 1.任何实数都有且只有一个立方根； 2.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； 3.重要公式：；； 知识点03 无理数的定义与本质 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成两个整数的比值（即不能写成分数的形式，p、q是整数且q≠0） 2.无理数的本质特征 无限性：小数部分的位数是无限的，没有尽头。 不循环性：小数部分没有固定的循环节，数字排列没有规律。 注意：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3.常见的无理数类型 ①开方开不尽的数 一个数的平方根、立方根等开方运算结果是无限不循环小数的数。例如等； ②含π的数 π（圆周率）本身是无限不循环小数，所有含π且化简后不能消去π的数都是无理数，例如：π-1,2π等 ③有规律但不循环的小数 小数部分有规律排列，但没有循环节的无限小数，例如： 0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多一个0） 0.2323323332⋯（相邻两个2之间依次多一个3）； 知识点04 实数的相关概念 1.实数的定义 实数：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 ①按定义分类 ②按正负性分类 3.实数与数轴的关系 实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 4.实数的相关运算 ①实数可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，正数和 0 还可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算。 ②有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、运算顺序，对实数同样适用。 5.实数大小的比较 ①正数 > 0 > 负数； ②两个正数比较：绝对值大的数大； ③两个负数比较：绝对值大的数反而小； ④含无理数的实数比较 平方法：如比较，因为，，，所以； 估值法：如比较和2，因为，所以 题型一 利用平方根和立方根的概念判断 易｜错｜点｜拨 一、 混淆平方根与算术平方根的概念 易错表现 误认为 “一个正数的平方根就是它的算术平方根”，例如判断 “9的平方根是3” 为正确； 混淆符号含义，认为，把算术平方根的符号等同于平方根的符号。 纠错依据 平方根定义：正数有两个平方根，互为相反数，记作,的结果一定是非负的。 结论修正：9的平方根是±3，算术平方根是3；。 二、混淆平方根与立方根的性质差异 易错表现 类比平方根的性质，认为 “负数没有立方根”； 判断“：2和-2”为正确 纠错依据 平方根性质：负数没有平方根，正数有两个平方根； 立方根性质：任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的算术平方根是3 C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意； C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 是的平方根． 故选：B． 题型二 利用平方根判断等式是否正确 易｜错｜点｜拨 步骤 1： 验证被开方数的取值范围 平方根和算术平方根的被开方数必须满足a≥0，若等式中出现被开方数为负数的情况，直接判定等式不成立。 示例：判断 被开方数-4＜0，无意义，等式不成立。 步骤2：分析等式两边的符号和含义 重点区分“”(算术平方根、非负)和“”（平方根、正负两个值）的区别，避免混淆符号导致误判 示例1：判断=5是否正确 左边表示算术平方根，结果为5，与右边相等，等式成立； 示例2：判断=±5是否正确 左边表示算术平方根，结果只能是5，不能为负数，等式不成立； 【典例2】（23-24八年级·云南迪庆·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数． 【详解】解：∵ 算术平方根是非负数，∴ ，A错误； ∵ 负数没有平方根，∴无意义，B错误； ∵，∴ ，C正确； ∵ ，∴∴ D错误； 故选C． 【变式1】（24-25八年级·北京门头沟·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，平方根和平方运算的基本性质，逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：， 根据平方与平方根的互逆关系，的平方即为，计算正确； 选项B：， 平方根的非负性要求，因此，而非，计算错误； 选项C：， 根号表示算术平方根，结果非负，故，而是方程的解，选项混淆了平方根与方程解的概念，计算错误； 选项D：， 平方运算结果非负，，而非，计算错误； 故选：A 【变式2】（24-25八年级·江苏南京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需注意算术平方根的非负性，根据平方根和算术平方根定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：，但结果写为，故A错误； 选项B：，等式成立，故B正确； 选项C：，但结果写为，故C错误； 选项D：，但结果写为，故D错误． 故选：B． 题型三 求一个数的平方根 【典例3】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、绝对值，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、绝对值的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，， ∴的算术平方根是3； ∵， ∴的绝对值是； 故答案为：；3；． 【变式1】（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根； 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）27的立方根是 ，9的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根与平方根的求解，正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：27的立方根是3，9的平方根是， 故答案为：3，． 题型四 利用算术平方根的非负性求代数式的值 解｜题｜技｜巧 题型1：非负数和为0，求字母值及代数式值(常见形式： 核心依据：算术平方根双重非负性：.非负数和为0,则每个非负数均为0 解题步骤：①识别非负数项：找出等式中的算术平方根、绝对值、平方项； ②列方程：令每个非负数项等于0； ③解方程组：求出字母的取值； ④代入计算：将字母值代入代数式求值 示例演示： 题型2:算术平方根有意义，求代数式最值() 核心依据： 解题步骤：①确定字母范围：由a≥0列不等式，求出字母的取值范围； ②分析最值条件：根据,判断代数式的最大/最小值； ③计算最值：当时，代入求代数式的最值。 题型3:含多个算术平方根，求字母取值及代数式值 核心依据：被开方数同时非负a≥0且-a≤0，联立得a=0 解题步骤：①联立不等式：根据每个算术平方根的被开方数非负，列不等式组； ②解不等式组：求出字母的唯一取值； ③代入求值：将字母值代入代数式计算 【典例4】（23-24八年级上·四川达州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性和解二元一次方程组等知识点，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．由绝对值和算术平方根的非负性列方程组求解后，代入x，y的值计算即可． 【详解】解：由题意， 解得， 则． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 题型五 已知一个数的算术平方根求这个数 【典例5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用；根据题意可得，得出，进而得出的值，即可求解． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则． 故答案为：81． 【变式1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）一个正数a的两个平方根是与，则 ． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可得与互为相反数，列式求解即可． 【详解】解：根据平方根的性质可得与互为相反数，即 解得，， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是掌握平方根的性质，正确求得的值． 【变式2】（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. (1)求和的值； (2)求的立方根. 【答案】(1)，. (2)4 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用； （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得，进而求得的值； （2）将的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解． 【详解】（1）解∶ 依题意， 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵，， ∴    ∴的立方根为4. 题型六 利用算术平方根估值 解｜题｜技｜巧 利用算术平方根估值的核心是找到被开方数相邻的两个完全平方数，通过“夹逼法”确定算术平方根的取值范围，再根据题目要求精确到指定位数，具体思路如下： 一、核心原理 若a、b、c均为正数，且，则 是估值的关键参照 二、分步骤解题流程 步骤1：确定被开方数相邻的两个完全平方数 找到两个连续整数n和n+1,使得,由此确定的整数部分为n。 步骤2：根据精度要求，细化小数部分估值(可选) 若题目要求精确到十分位、百分位，需在整数范围基础上，进一步缩小取值区间： 步骤3:验证估值合理性(可选) 将估值结果平方，与原被开方数对比，判断误差是否符合题目要求。 【典例6】（25-26八年级上·河南开封·期中）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 题型七 平方根和立方根中规律探索题型 【典例7】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与算术平方根有关的规律探索，观察可知，第n排第n个数为，而同一排相邻的两个数，右边的那个数的开方数比前面的数的开方数大1，据此求解即可． 【详解】解：第1排，第1个数为1， 第2排第2个数为2， 第3排第3个数为3， 第4排第4个数为4， ……， 以此类推可知，第n排第n个数为， ∴第1排到第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 题型八 平方根和立方根中解方程 易｜错｜点｜拨 ①解方程前必须先化为标准形式，禁止直接对非标准形式开方；②平方根方程要先判断a的正负，立方根方程无需判断；③开平方时右边一定要加±，开立方时不能加±。 【典例8】（24-25八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查的是平方根和立方根． （1）先把的系数化为1，再利用平方根的定义解答即可； （2）先移项，再利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故或； （2）解：， 移项得， 开方得， 即， 故． 题型九 算术平方根和立方根综合 【典例9】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知与互为相反数，求x的平方根和y的立方根． 【答案】x的平方根为，y的立方根为2． 【分析】根据题意，可得，再根据偶次方的非负性质，算术平方根的非负性质得出二元一次方程组为：，利用加减消元法解方程组得出x，y的值，再求出x的平方根和y的立方根即可． 本题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，平方根，算术平方根，立方根，掌握解二元一次方程组的方法，非负数的性质，平方根定义，算术平方根，立方根定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ，得③， ①-③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴，， ∴x的平方根为，y的立方根为2． 题型十 无理数的判断 解｜题｜技｜巧 1.开方开不尽的数 一个正数的平方根、立方根等，若开方后结果是无限不循环小数，则为无理数。示例：、、、、都是无理数； 注意：开方开得尽的数是有理数，如属于有理数。 2.含π的数(π本身及π的非零有理数倍) π是无限不循环小数，因此所有含π且化简后无法消去π的数都是无理数。 ○示例都是无理数； ○注意：是有理数，它只是π的近似值，不是π本身。 3.有规律但不循环的无限小数 小数部分有固定规律，但没有循环节，位数无限的数，属于无理数。 示例：0.1010010001·(相邻两个1之间依次多一个0)、0.2323323332…(相邻两个2之间依次多一个3)。 【典例10】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：A．0是整数，是有理数； B．是分数，是有理数； C．是有限小数，是有理数； D．是无理数， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·期末）在，…（两个“3”之间依次多一个“0”）中，无理数有（　　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定． 本题考查的是无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，（两个“3”之间依次多一个“0”）共8个， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列各数中，无理数的个数有（   ） （每两个相邻的2之间多一个1） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数， 逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：， 由无理数的定义可判断是无理数， 所以无理数有三个， 故选：C． 题型十一 无理数整数部分的计算 解｜题｜技｜巧 计算无理数的整数部分，核心方法是夹逼法(也叫“放缩法”),利用完全平方数或立方数的特征，将无理数限制在两个连续整数之间，较小的那个整数就是该无理数的整数部分。具体解题思路分两步走： 二、分步骤解题流程 步骤1：确定无理数的类型，锁定参照数 ★若为算术平方根,找相邻的两个完全平方数； ★若为立方根,找相邻的两个完全立方数。 步骤2：用夹逼法确定无理数的整数范围 通过比较被开方数与参照数的大小，确定无理数介于哪两个连续整数之间。 步骤3：确定整数部分 介于两个连续整数之间的无理数，其整数部分为较小的那个整数。 步骤4：(拓展)求小数部分 小数部分=无理数-整数部分(小数部分一定大于0且小于1)。 【典例11】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． 直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案． 【详解】解：的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，而， ，，， 解得：，，， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）在数轴上画出表示的点，并找出与其最接近的整数，设是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】图见解析，与最接近的整数是3， 【分析】题目主要考查实数与数轴，勾股定理与实数及二次根式的加减运算，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据实数与数轴画图，然后利用数轴得出与最接近的整数是3，，，代入求解即可． 【详解】解：在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使得， 以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，即为， 由数轴得：与最接近的整数是3， 由题意得：，， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知的平方根是的立方根是2，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a的值为5，b的值为2，c的值为3 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出，估算出，则，即可解答； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， c是的整数部分，且 ∴，，， 解得， 答：a的值为5，b的值为2，c的值为3． （2）∵， ∴的平方根为． 题型十二 实数与数轴综合 【典例12】（24-25八年级·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，观察数轴判断的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各个选项的不等式进行判断即可． 【详解】解：A．因为，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．因为，所以，所以此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级·山东济南·期末）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，A、B选项均根据不等式的性质判断正误即可；C选项根据有理数的乘法法则进行计算即可；D．根据有理数的加减法则进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：， A．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； B．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； C．，，，此选项的判断正确，故此选项符合题意； D．，，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【答案】(1)， (2)数轴表示见解析， 【分析】（）根据无理数的定义判断即可； （）估算出无理数的大小，进而找到原点位置，即可把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了无理数的定义及估算，利用数轴比较实数的大小，掌握无理数的定义及估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实数，，，，中，是无理数的有，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴实数在数轴上表示如下：    由数轴可得，． 题型十三 实数比较大小 解｜题｜技｜巧 1.平方法 适用场景：两个正数比较，且含算术平方根(因为正数平方后大小关系不变)。 核心规则：若，则。 示例：比较和3 平方得 2.作差法 适用场景：任意两个实数，尤其适合含代数式的实数比较。 核心规则：设两个实数为m，n，则 3.作商法 适用场景：两个正数，尤其适合分数或含倍数关系的实数。 核心规则：若m>0,n>0,则 4.估值法 适用场景：含无理数的实数，通过代入无理数的近似值计算后比较。 常用近似值：. 5.倒数法 适用场景：两个正数，且倒数易计算。 核心规则：若，则 示例：比较 求倒数： 因为，所以。 【典例13】（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级·山东青岛·期末）比较大小： 3．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 题型十四 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.运算顺序混乱，越级计算 这是最常见的错误，很多学生没有严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的优先级，盲目从左到右计算。 纠错方法：牢记运算优先级口诀——“括号优先算 乘方开方第二级，乘除紧随其后，加减最后算”;同级运算必须从左到右依次进行，复杂运算分步骤 避免跳步。 2.符号处理失误，正负号混淆 符号问题贯穿实数运算始终，尤其是负数的乘方、立方和去括号时，容易出现错误。 易错表现：把(-2)²算成—4，混淆“负数的偶次幂为正，奇次幂为负”的规则；计算时误得2，忽略立方根符号与被开方数一致；去括号时，括号前是负号却不变号，如5-(+2)算成5-+2。 纠错方法：计算负数乘方时，先判断指数奇偶性；开立方前先确定被开方数的符号；去括号前先看括号前的符号，负号则括号内所有项变号。 3.无理数化简错误，违背运算法则 涉及二次根式的化简和合并时，容易因忽略法则条件或混淆同类根式概念而出错。 易错表现：盲目合并不同类二次根式，如；运用积的算术平方根法则时忽略非负条件，如写成；近似值计算时精度不足，如题目要求精确到百分位，却用 代入计算。 纠错方法：只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；使用，必须满足且；近似计算时，无理数的近似值要多取一位，再四舍五入。 【典例14】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂和算术平方根，掌握以上知识点是解题的关键． 分别计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂和算术平方根，再按顺序进行加减运算即可． 【详解】解：原式 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了实数的加减混合运算，有理数的乘方、算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 先计算乘方、算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减即可得． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式                ． 题型十五 实数运算中程序流程 【典例15】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）有一个数值转换器，原理如下： 当输入的数是时，则输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．把代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值． 【详解】因为，4是有理数，所以继续转换．因为，2是有理数，所以继续转换．因为2的算术平方根是，是无理数，输出． 故答案为： 题型十六 实数中新定义问题 解｜题｜技｜巧 实数中新定义问题解题思路 实数中的新定义问题，是指题目自定义一种新运算、新概念(如新数的分类、新的数的性质),要求结合实数的相关知识(平方根、立方根、有理数与无理数等)解决问题。解题核心是“读懂定义→转化定义→结合实数知识求解”,具体步骤如下： 一、核心解题步骤 步骤1：精读题干，吃透新定义的内涵（这是解题的前提，需要明确） 1.新定义的对象：是针对数的分类(如“新无理数”)、新运算，还是新性质(如“完美实数”)； 2.新定义的规则：定义中给出的公式、条件、限制要求(如被开方数的取值范围、运算优先级); 3.新定义与实数原有知识的联系：比如新运算是否包含平方根、立方根，新数的分类是否基于有理数和无理数的区别。 示例：定义一种新运算“⊗”,规则为，先明确：运算对象是实数 a、b，包含算术平方根和立方根，且a的取值范围是。 步骤2：转化新定义，翻译成“常规数学语言”，新定义往往是“包装”后的内容，需要拆解转化为已学的实数知识： 1.若为新运算：直接将定义的公式作为“运算法则”,代入数值或代数式时，严格遵循公式结构； 2.若为新概念(新数):提取定义中的关键条件，转化为不等式、方程等常规形式(如定义“平方实数”:若一个数的算术平方根是有理数，则称这个数为平方实数→转化为：若(m为有理数，),则x是平方实数)。 示例：沿用上述新运算，计算7⊗9→转化为代入计算：,则原式 【典例16】（24-25八年级上·福建南平·期末）设，是实数，定义“★”的一种运算：，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，分别表示出各项，再比较是否相等；本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算． 【详解】解：由题意： ①，故正确； ②，故错误； ③， ， 则，故错误； ④， ， 则，故正确； ∴有2个正确的． 故选B． 【变式1】（24-25八年级·山东泰安·期末）定义为不超过实数x的最大整数，例如，等．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、无理数的估算，理解新定义是解题的关键．分别估算和的大小，再根据新定义得出和的值，再相加即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到a，b的值； （2）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组的解法即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意得：， 解得：， ∴a的值为2，b的值为1； （2）解： 将代入方程组， 得：， 解之得： 又∵， ∴， ∴， 解得：． 题型十七 实数中的实际应用 【典例17】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【变式1】（24-25八年级·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 题型十八 与实数相关的找规律问题 【典例18】（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 【变式1】（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； 理由：； （2）解：； ； ； …… ； （3）解： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．1与2之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是得出． 根据开方运算，可得边长，根据可得到答案． 【详解】解：该正方形的边长为， ∵， ∴在4与5之间， 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）下列语句正确的是（   ） A．9的平方根是 B．9的算术平方根是3 C．是的算术平方根 D．是的平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、9的平方根是，故A错误； B、9的算术平方根是3，故B正确； C、的算术平方根是，故C错误； D、的平方根是，故D错误； 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）的立方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根的求解，根据立方根，算术平方根的定义进行求解即可 【详解】解：， ， 则的算术平方根是， 故答案为：，3 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，求代数式的值， 根据求出x，y，再代入待求式求出结果 【详解】解：∵ ∴ 解得 所以代数式 故答案为：1 5．（25-26八年级上·上海松江·月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，实数的运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再计算算术平方根后合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； （2）解：当，时， 原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 3．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 6．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）对任意实数定义一种新运算，规定． (1) ．（用含的代数式表示） (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新运算计算即可求解； （）根据新定义可得关于的分式方程，解方程即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴ 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 4．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根和算术平方根的求解 1. 能精准区分平方根和算术平方根的定义，避免符号混淆；2. 熟练掌握二者的性质，能快速判断一个数是否有平方根；3. 会准确计算非负数的平方根和算术平方根，同时能根据的非负性解决简单求值问题 属于基础必考点，多以选择题、填空题形式出现，难度较低。常考查求具体数的平方根或算术平方根，也会考查的非负性相关题型 立方根的定义及其应用 1. 理解立方根与立方运算的互逆关系；2. 牢记立方根的特殊性质，能快速计算正数、负数和0的立方根；3. 能利用对含负数的立方根进行化简 常与平方根结合考查，出现在选择题、填空题中。题目多为求具体数的立方根，偶尔会考查立方根与平方根的性质对比类题目，难度中等偏易，很少出现复杂计算 无理数与实数综合 1. 能准确区分有理数和无理数，避免将无限循环小数误判为无理数；2. 掌握实数的分类方法，理解实数与数轴的一一对应关系；3. 会求实数的相反数、绝对值，能运用实数性质解决简单问题 高频考点，题型涵盖选择、填空和简单解答题。常考无理数的判断、实数的分类，也会结合数轴考查实数的大小比较，难度适中。在单元测试或期中期末考中，该考点常与后续函数知识初步关联，为后续学习铺垫 实数的混合运算 1. 熟练掌握开方运算，能准确计算算式中的平方根、立方根；2. 明确实数混合运算的顺序，能规范完成混合运算，减少计算失误；3. 能灵活运用运算律简化运算过程 属于必考计算题型，常出现在填空题的计算空或解答题的前几题。题目多是平方根、立方根与有理数的混合计算，难度中等。考查重点是计算的准确性，易错点集中在符号错误和开方结果出错，是拉开基础分差距的关键考点之一 知识点01 平方根和算术平方根 1. 平方根的定义与性质 定义：如果一个数的平方等于a(即x2=a)，那么这个数x叫做a的 ，记作 性质：①正数有两个平方根，它们互为 ；②0的平方根是 ；③负数 平方根（因为任何实数的平方都非负） 2.算术平方根的定义与性质 定义：正数a的正的平方根叫做a的 ，记作；规定0的算术平方根是 性质：①算术平方根的结果非负；②被开方数非负（有意义的条件是）；③； 知识点02 立方根 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a（即x3=a）,那么这个数x叫做a的 ，记作 2.立方根的性质 1.任何实数都有且只有一个立方根； 2.正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 ； 3.重要公式：；； 知识点03 无理数的定义与本质 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做 ，无理数不能表示成两个整数的比值（即不能写成分数的形式，p、q是整数且q≠0） 2.无理数的本质特征 无限性：小数部分的位数是无限的，没有尽头。 不循环性：小数部分没有固定的循环节，数字排列没有规律。 注意：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3.常见的无理数类型 ①开方开不尽的数 一个数的平方根、立方根等开方运算结果是无限不循环小数的数。例如等； ②含π的数 π（圆周率）本身是无限不循环小数，所有含π且化简后不能消去π的数都是无理数，例如：π-1,2π等 ③有规律但不循环的小数 小数部分有规律排列，但没有循环节的无限小数，例如： 0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多一个0） 0.2323323332⋯（相邻两个2之间依次多一个3）； 知识点04 实数的相关概念 1.实数的定义 实数： 和 统称为实数。 2.实数的分类 ①按定义分类 ②按正负性分类 3.实数与数轴的关系 实数与数轴上的点 ，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 4.实数的相关运算 ①实数可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、 ，正数和 0 还可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算。 ②有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、运算顺序，对实数同样适用。 5.实数大小的比较 ①正数 > 0 > 负数； ②两个正数比较：绝对值大的数大； ③两个负数比较：绝对值大的数反而小； ④含无理数的实数比较 平方法：如比较，因为，，，所以； 估值法：如比较和2，因为，所以 题型一 利用平方根和立方根的概念判断 易｜错｜点｜拨 一、 混淆平方根与算术平方根的概念 易错表现 误认为 “一个正数的平方根就是它的算术平方根”，例如判断 “9的平方根是3” 为正确； 混淆符号含义，认为，把算术平方根的符号等同于平方根的符号。 纠错依据 平方根定义：正数有两个平方根，互为相反数，记作,的结果一定是非负的。 结论修正：9的平方根是±3，算术平方根是3；。 二、混淆平方根与立方根的性质差异 易错表现 类比平方根的性质，认为 “负数没有立方根”； 判断“：2和-2”为正确 纠错依据 平方根性质：负数没有平方根，正数有两个平方根； 立方根性质：任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 【典例1】（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【变式1】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的算术平方根是3 C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 题型二 利用平方根判断等式是否正确 易｜错｜点｜拨 步骤 1： 验证被开方数的取值范围 平方根和算术平方根的被开方数必须满足a≥0，若等式中出现被开方数为负数的情况，直接判定等式不成立。 示例：判断 被开方数-4＜0，无意义，等式不成立。 步骤2：分析等式两边的符号和含义 重点区分“”(算术平方根、非负)和“”（平方根、正负两个值）的区别，避免混淆符号导致误判 示例1：判断=5是否正确 左边表示算术平方根，结果为5，与右边相等，等式成立； 示例2：判断=±5是否正确 左边表示算术平方根，结果只能是5，不能为负数，等式不成立； 【典例2】（23-24八年级·云南迪庆·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级·北京门头沟·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级·江苏南京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 求一个数的平方根 【典例3】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的绝对值是 ． 【变式1】（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）27的立方根是 ，9的平方根是 ． 题型四 利用算术平方根的非负性求代数式的值 解｜题｜技｜巧 题型1：非负数和为0，求字母值及代数式值(常见形式： 核心依据：算术平方根双重非负性：.非负数和为0,则每个非负数均为0 解题步骤：①识别非负数项：找出等式中的算术平方根、绝对值、平方项； ②列方程：令每个非负数项等于0； ③解方程组：求出字母的取值； ④代入计算：将字母值代入代数式求值 示例演示： 题型2:算术平方根有意义，求代数式最值() 核心依据： 解题步骤：①确定字母范围：由a≥0列不等式，求出字母的取值范围； ②分析最值条件：根据,判断代数式的最大/最小值； ③计算最值：当时，代入求代数式的最值。 题型3:含多个算术平方根，求字母取值及代数式值 核心依据：被开方数同时非负a≥0且-a≤0，联立得a=0 解题步骤：①联立不等式：根据每个算术平方根的被开方数非负，列不等式组； ②解不等式组：求出字母的唯一取值； ③代入求值：将字母值代入代数式计算 【典例4】（23-24八年级上·四川达州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 题型五 已知一个数的算术平方根求这个数 【典例5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）一个正数a的两个平方根是与，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. (1)求和的值； (2)求的立方根. 题型六 利用算术平方根估值 解｜题｜技｜巧 利用算术平方根估值的核心是找到被开方数相邻的两个完全平方数，通过“夹逼法”确定算术平方根的取值范围，再根据题目要求精确到指定位数，具体思路如下： 一、核心原理 若a、b、c均为正数，且，则 是估值的关键参照 二、分步骤解题流程 步骤1：确定被开方数相邻的两个完全平方数 找到两个连续整数n和n+1,使得,由此确定的整数部分为n。 步骤2：根据精度要求，细化小数部分估值(可选) 若题目要求精确到十分位、百分位，需在整数范围基础上，进一步缩小取值区间： 步骤3:验证估值合理性(可选) 将估值结果平方，与原被开方数对比，判断误差是否符合题目要求。 【典例6】（25-26八年级上·河南开封·期中）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【变式2】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 题型七 平方根和立方根中规律探索题型 【典例7】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【变式3】（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   题型八 平方根和立方根中解方程 易｜错｜点｜拨 ①解方程前必须先化为标准形式，禁止直接对非标准形式开方；②平方根方程要先判断a的正负，立方根方程无需判断；③开平方时右边一定要加±，开立方时不能加±。 【典例8】（24-25八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 题型九 算术平方根和立方根综合 【典例9】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知与互为相反数，求x的平方根和y的立方根． 题型十 无理数的判断 解｜题｜技｜巧 1.开方开不尽的数 一个正数的平方根、立方根等，若开方后结果是无限不循环小数，则为无理数。示例：、、、、都是无理数； 注意：开方开得尽的数是有理数，如属于有理数。 2.含π的数(π本身及π的非零有理数倍) π是无限不循环小数，因此所有含π且化简后无法消去π的数都是无理数。 ○示例都是无理数； ○注意：是有理数，它只是π的近似值，不是π本身。 3.有规律但不循环的无限小数 小数部分有固定规律，但没有循环节，位数无限的数，属于无理数。 示例：0.1010010001·(相邻两个1之间依次多一个0)、0.2323323332…(相邻两个2之间依次多一个3)。 【典例10】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·期末）在，…（两个“3”之间依次多一个“0”）中，无理数有（　　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列各数中，无理数的个数有（   ） （每两个相邻的2之间多一个1） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 无理数整数部分的计算 解｜题｜技｜巧 计算无理数的整数部分，核心方法是夹逼法(也叫“放缩法”),利用完全平方数或立方数的特征，将无理数限制在两个连续整数之间，较小的那个整数就是该无理数的整数部分。具体解题思路分两步走： 二、分步骤解题流程 步骤1：确定无理数的类型，锁定参照数 ★若为算术平方根,找相邻的两个完全平方数； ★若为立方根,找相邻的两个完全立方数。 步骤2：用夹逼法确定无理数的整数范围 通过比较被开方数与参照数的大小，确定无理数介于哪两个连续整数之间。 步骤3：确定整数部分 介于两个连续整数之间的无理数，其整数部分为较小的那个整数。 步骤4：(拓展)求小数部分 小数部分=无理数-整数部分(小数部分一定大于0且小于1)。 【典例11】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）在数轴上画出表示的点，并找出与其最接近的整数，设是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知的平方根是的立方根是2，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型十二 实数与数轴综合 【典例12】（24-25八年级·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级·山东济南·期末）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 题型十三 实数比较大小 解｜题｜技｜巧 1.平方法 适用场景：两个正数比较，且含算术平方根(因为正数平方后大小关系不变)。 核心规则：若，则。 示例：比较和3 平方得 2.作差法 适用场景：任意两个实数，尤其适合含代数式的实数比较。 核心规则：设两个实数为m，n，则 3.作商法 适用场景：两个正数，尤其适合分数或含倍数关系的实数。 核心规则：若m>0,n>0,则 4.估值法 适用场景：含无理数的实数，通过代入无理数的近似值计算后比较。 常用近似值：. 5.倒数法 适用场景：两个正数，且倒数易计算。 核心规则：若，则 示例：比较 求倒数： 因为，所以。 【典例13】（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小 （填“”，“”或“”） 【变式2】（24-25八年级·山东青岛·期末）比较大小： 3．（选填“>”“<”或“=”） 题型十四 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.运算顺序混乱，越级计算 这是最常见的错误，很多学生没有严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的优先级，盲目从左到右计算。 纠错方法：牢记运算优先级口诀——“括号优先算 乘方开方第二级，乘除紧随其后，加减最后算”;同级运算必须从左到右依次进行，复杂运算分步骤 避免跳步。 2.符号处理失误，正负号混淆 符号问题贯穿实数运算始终，尤其是负数的乘方、立方和去括号时，容易出现错误。 易错表现：把(-2)²算成—4，混淆“负数的偶次幂为正，奇次幂为负”的规则；计算时误得2，忽略立方根符号与被开方数一致；去括号时，括号前是负号却不变号，如5-(+2)算成5-+2。 纠错方法：计算负数乘方时，先判断指数奇偶性；开立方前先确定被开方数的符号；去括号前先看括号前的符号，负号则括号内所有项变号。 3.无理数化简错误，违背运算法则 涉及二次根式的化简和合并时，容易因忽略法则条件或混淆同类根式概念而出错。 易错表现：盲目合并不同类二次根式，如；运用积的算术平方根法则时忽略非负条件，如写成；近似值计算时精度不足，如题目要求精确到百分位，却用 代入计算。 纠错方法：只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；使用，必须满足且；近似计算时，无理数的近似值要多取一位，再四舍五入。 【典例14】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）计算： 【变式2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 题型十五 实数运算中程序流程 【典例15】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）有一个数值转换器，原理如下： 当输入的数是时，则输出的数是 ． 题型十六 实数中新定义问题 解｜题｜技｜巧 实数中新定义问题解题思路 实数中的新定义问题，是指题目自定义一种新运算、新概念(如新数的分类、新的数的性质),要求结合实数的相关知识(平方根、立方根、有理数与无理数等)解决问题。解题核心是“读懂定义→转化定义→结合实数知识求解”,具体步骤如下： 一、核心解题步骤 步骤1：精读题干，吃透新定义的内涵（这是解题的前提，需要明确） 1.新定义的对象：是针对数的分类(如“新无理数”)、新运算，还是新性质(如“完美实数”)； 2.新定义的规则：定义中给出的公式、条件、限制要求(如被开方数的取值范围、运算优先级); 3.新定义与实数原有知识的联系：比如新运算是否包含平方根、立方根，新数的分类是否基于有理数和无理数的区别。 示例：定义一种新运算“⊗”,规则为，先明确：运算对象是实数 a、b，包含算术平方根和立方根，且a的取值范围是。 步骤2：转化新定义，翻译成“常规数学语言”，新定义往往是“包装”后的内容，需要拆解转化为已学的实数知识： 1.若为新运算：直接将定义的公式作为“运算法则”,代入数值或代数式时，严格遵循公式结构； 2.若为新概念(新数):提取定义中的关键条件，转化为不等式、方程等常规形式(如定义“平方实数”:若一个数的算术平方根是有理数，则称这个数为平方实数→转化为：若(m为有理数，),则x是平方实数)。 示例：沿用上述新运算，计算7⊗9→转化为代入计算：,则原式 【典例16】（24-25八年级上·福建南平·期末）设，是实数，定义“★”的一种运算：，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级·山东泰安·期末）定义为不超过实数x的最大整数，例如，等．那么 ． 【变式2】（24-25八年级·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 题型十七 实数中的实际应用 【典例17】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 【变式1】（24-25八年级·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 题型十八 与实数相关的找规律问题 【典例18】（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【变式1】（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．1与2之间 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）下列语句正确的是（   ） A．9的平方根是 B．9的算术平方根是3 C．是的算术平方根 D．是的平方根 3．（24-25八年级上·江苏·期末）的立方根是 ，的算术平方根是 ． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 5．（25-26八年级上·上海松江·月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 6．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）对任意实数定义一种新运算，规定． (1) ．（用含的代数式表示） (2)已知，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 4．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $